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引言1

第一章 复数与复变函数3

1.复数3

1.复数域3

2.复平面4

3.复数的模与幅角6

4.复数的乘幂与方根10

5.共轭复数12

6.曲线的复数方程13

2.区域与约当曲线16

1.平面点集的几个基本概念16

2.复平面上的点集16

3.单连通区域20

3.复变函数的概念及其极限与连续性21

1.复变函数的概念21

2.复变函数的极限与连续性25

4.复球面与无穷远点28

1.复球面28

2.扩充复平面上的几个概念30

习题31

1.导数与解析函数的定义36

第二章 解析函数36

1.解析函数的概念与柯西-黎曼条件36

2.柯西-黎曼条件38

3.由柯西-黎曼条件所得的推论43

2.解析函数与调和函数的关系44

3.初等解析函数48

1.指数函数48

2.三角函数与双曲函数49

4.初等多值解析函数52

1.根式函数53

2.对数函数63

3.反三解函数与反双曲函数68

4.一般幂函数与一般指数函数71

习题72

第三章 复变函数的积分76

1.复积分的概念及其简单性质76

1.复积分的定义及其计算方法76

2.复变函数积分的基本性质79

3.沿逐段光滑曲线积分的计算问题80

1.柯西积分定理83

2.柯西积分定理83

2.柯西积分定理的古莎证明84

3.不定积分88

4.柯西积分定理的推广91

5.柯西积分定理推广到复围线的情形92

3.柯西积分公式及其推论94

1.柯西积分公式94

2.解析函数的无穷可微性97

3.柯西不等式，刘维尔定理99

4.解析函数的等价概念100

4.平面向量场--解析函数的应用(一)101

1.流量与环量102

2.无源、漏的无旋流动103

3.复势104

习题106

第四章 解析函数的幂级数表示法109

1.复级数的基本性质109

1.数项级数109

2.一致收敛的复函数项级数112

3.解析函数项级数116

1.幂级数的敛散性117

2.幂级数117

2.柯西-阿达玛定理120

3.幂级数和的解析性124

3.解析函数的泰勒展式125

1.泰勒定理125

2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况127

3.一些初等函数的泰勒展式128

4.解析函数的零点及唯一性定理134

1.解析函数的零点134

2.唯一性定理135

3.最大模原理137

习题139

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点142

1.解析函数的罗朗展式142

1.双边幂级数142

2.解析函数的罗朗展式143

3.罗朗级数与泰勒级数的关系146

4.解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式148

1.孤立奇点的三种类型151

2.解析函数的孤立奇点151

2.可去奇点152

3.极点153

4.本性奇点155

3.解析函数在无穷远点的性质159

4.整函数与亚纯函数概念163

1.整函数163

2.亚纯函数164

5.解析函数的应用(二)165

1.奇点的流体力学意义165

2.在电场中的应用举例167

习题170

第六章 残数及其应用174

1.残数174

1.残数的定义及残数定理174

2.残数的求法176

3.无穷远点的残数181

2.用残数计算实积分183

1.计算？R(eosθ，sinθ)dθ型积分183

2.计算？dr型积分187

3.计算？eimrdx型积分190

4.计算积分路径上有奇点的积分193

5.杂例194

6.关于多值函数的积分197

3.幅角原理及其应用207

1.对数残数207

2.幅角原理209

3.儒歇定理211

习题214

1.解析开拓概念218

1.解析开拓的一般要概念与幂级数开拓218

第七章 解析开拓218

2.完全解析函数221

3.解析开拓的幂级数方法223

2.透弧解析开拓，对称原理226

3.多值解析函数及其黎曼面229

1.多值解析函数的概念229

2.黎曼面概念231

习题235

1.解析变换的保角性--导数的几何意义237

1.解析变换的特性237

第八章 保形变换237

2.解析变换的保域性239

3.单叶解析变换的保形性240

2.线性变换243

1.线变换及其分解243

2.线性变换的保圆周性245

3.线性变换的保形性246

4.线性变换的保交比性248

5.线性变换的保对称点性249

6.线性变换的应用251

3.某些初等函数所构成的保形变换254

1.幂函数与根式函数254

2.指数函数与对数函数256

3.由圆弧构成的两角形区域的保形变换257

4.机翼剖面函数及其反函数所构成的保形变换258

5.其他例子261

4.关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理264

1.黎曼存在定理264

2.边界对应定理268

1.对称原理的一般形式270

5.多角形区域的保形变换270

2.克利斯托弗一席瓦尔兹公式274

3.退化情形279

4.广义多角形举例282

习题285

第九章 调和函数289

1.平均值定理与极值原理289

1.平均值定理289

2.极值原理290

1.波阿松积分公式291

2.波阿松积分公式与狄利克莱问题291

2.狄利克莱问题292

3.单位圆内狄利克莱问题的解293

4.上半平面内狄利克莱问题的解295

习题298

附录 整函数与亚纯函数近代理论简介299

1.关于整函数299

2.关于亚纯函数301

3.波莱尔定理、伐里龙定理304

4.杨、张定理305