《微积分学初步》

第一篇函数与极限论初步1

第一章函数1

1 绝对值的概念及其有关的性质1

2 数集、区间、邻域3

3 常量与变量6

4 函数的定义7

5 函数的记号9

6 函数的定义域12

7 函数的表示法17

8 函数的图象19

9 两种特殊的函数21

10 充要条件24

11 函数的几个简单特性26

12 反函数及其图形39

13 基本初等函数及其主要性质43

14 复合函数49

15 初等函数52

16 函数关系的建立53

复习问题56

习题一57

习题一之提示与答案62

第二章极限论65

1 数列的极限65

2 函数的极限75

3 左、右极限86

4 无穷小量89

5 无穷大量96

6 极限的一些基本性质100

7 有关极限的求法103

8 极限存在的两个充分准则及两个重要的极限113

9 例题117

10 无穷小量的比较129

复习问题135

习题二136

习题二之提示与答案142

第三章连续函数145

1 函数的增量145

2 函数连续的概念147

3 函数的间断点及其分类154

4 连续函数的运算，初等函数的连续性160

5 连续函数在闭区间上的特性166

复习问题169

习题三170

习题三之提示及答案172

第二篇微分学初步175

第四章导数175

1 均匀变化175

2 一般变化规律的变化率176

3 导数181

4 导数的几何意义185

5 左、右导数187

6 函数的连续性与可导性的关系190

复习问题193

习题四193

习题四之提示与答案195

第五章求导数的基本公式和法则197

1 求导数的基本公式表197

2 常量的导数198

3 幂函数的导数199

4 函数的代数和的导数200

5 两个函数之积的导数202

6 商的导数204

7 复合函数的导数206

8 三角函数的导数210

9 对数函数的导数214

10 反函数的导数217

11 指数函数的导数217

12 任意幂函数的导数219

13 反三角函数的导数220

14 导数计算及应用举例223

15 隐函数的求导法则233

16 参数方程的求导法则237

复习问题241

习题五241

习题五之提示与答案245

第六章中值定理与函数性态的研究249

1 罗尔定理249

2 拉格朗日定理252

3 柯西定理258

4 罗彼塔法则261

5 函数增减性的判定法278

6 函数的极值280

7 极值的第一充分准则282

8 函数在区间上的最大值和最小值287

9 高阶导数293

10 曲线的凹凸与拐点299

11 极值的第二充分准则305

12 极值在经济问题上的应用308

13 曲线的渐近线316

14 函数作图321

复习问题334

习题六334

习题六之提示与答案340

第七章微分及其应用344

1 微分及其几何意义344

2 微分公式、微分与导数的关系346

3 微分形式的不变性349

4 高阶微分及其与导数记号的关系351

5 微分在近似计算中的应用353

6 由参数方程所表示的函数的高阶导数360

7 曲率的定义363

8 弧长的微分365

9 计算曲率的公式366

10 曲率圆370

11 方程的近似解376

复习问题384

习题七384

习题七之提示与答案386

第三篇积分学初步389

第八章不定积分389

1 根据函数的导数或微分求函数390

2 不定积分391

3 不定积分的性质395

4 不定积分的几何意义396

5 基本积分表397

6 分项积分法403

7 第一类换元法406

8 第二类换元法423

9 分部积分法432

10 有理函数的积分442

11 三角函数有理式的积分455

12 简单无理函数的积分463

13 积分表的用法468

14 不定积分中的几个问题470

复习问题474

习题八475

习题八之提示与答案478

第九章定积分483

1 由于求面积而引起求积分和的极限483

2 求和的极限法不限于求面积488

3 定积分的定义及存在定理492

4 定积分的几何意义497

5 定积分的简单性质499

6 定积分与不定积分的关系505

7 定积分的换元积分法513

8 定积分的分部积分法518

9 奇函数和偶函数在对称区间上的积分523

10 利用定积分的性质估值及求定积分的导数525

11 利用定积分求极限532

12 广义积分535

复习问题548

习题九549

习题九之提示与答案552

第十章定积分的应用556

1 建立定积分算式的两种方法556

2 平面图形的面积558

3 曲线的长度572

4 旋转体的体积576

5 旋转体的表面积581

6 连续函数在区间上的平均值583

7 平面图形的静力矩及重心586

8 变力所做的功592

9 流体的静压力596

10 积分在经济上的应用599

11 定积分的近似计算603

复习问题611

习题十611

习题十之提示与答案614

第四篇补 篇617

第十一章多元函数的微分法617

1 偏导数和偏微分617

2 全微分及其应用621

复习问题627

习题十627

习题十一之提示与答案629

第十二章函数展开与幂级数632

1 级数的定义632

2 级数收敛的必要条件633

3 条件收敛与绝对收敛634

4 比较原则与达朗倍尔判定法636

5 幂级数及其收敛性的判定法639

6 幂级数的逐项微分与逐项积分643

7 马克劳林级数644

8 泰勒级数646

9 函数展开成泰勒级数的条件647

10 将函数展开成x的幂级数的例649

11 利用级数进行近似计算654

12 按照差x-a的幂而展开的例658

复习问题664

习题十二664

习题十二之提示与答案666

积分简表669

结束语683