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第一章 集合与映射1

§1 集合1

集合1

集合运算4

前言5

有限集与无限集6

Descartes乘积集合8

习题9

§2映射与函数10

映射10

一元实函数14

初等函数15

函数的分段表示，隐式表示与参数表示16

函数的简单特性19

两个常用不等式21

习题23

第二章 数列极限25

§1 实数系的连续性25

实数系25

最大数与最小数27

上确界与下确界27

附录 Dedekind切割定理30

习题32

§2 数列极限33

数列与数列极限33

数列极限的性质38

数列极限的四则运算41

习题43

§3 无穷大量45

无穷大量45

待定型47

习题50

单调有界数列收敛定理51

§4 收敛准则51

π和е55

闭区间套定理59

子列61

Bolzano-Weierstrass定理62

Cauchy收敛原理63

实数系的基本定理65

习题67

第三章 函数极限与连续函数70

§1 函数极限70

函数极限的定义70

函数极限的性质73

函数极限的四则运算76

函数极限与数列极限的关系77

单侧极限79

函数极限定义的扩充79

习题84

§2 连续函数86

连续函数的定义86

连续函数的四则运算89

不连续点的类型89

反函数连续性定理91

复合函数的连续性93

习题96

§3 无穷小量与无穷大量的阶98

无穷小量的比较98

无穷大量的比较100

等价量102

习题105

§4 闭区间上的连续函数106

有界性定理106

最值定理107

零点存在定理108

中间值定理109

一致连续概念109

习题114

§1 微分和导数116

微分概念的导出背景116

第四章 微分116

微分的定义117

微分和导数119

习题120

§2 导数的意义和性质121

产生导数的实际背景121

导数的几何意义122

单侧导数127

习题129

从定义出发求导函数130

§3 导数四则运算和反函数求导法则130

求导的四则运算法则132

反函数求导法则135

习题139

§4 复合函数求导法则及其应用140

复合函数求导法则140

一阶微分的形式不变性144

参数形式的函数的求导公式146

习题150

§5 高阶导数和高阶微分152

高阶导数的实际背景及定义152

高阶导数的运算法则155

高阶微分160

习题162

第五章 微分中值定理及其应用164

§1 微分中值定理164

极值与Fermat引理164

Rolle定理166

Lagrange中值定理168

用Lagrange中值定理讨论函数性质170

Cauchy中值定理176

习题178

待定型极限和L’Hospital法则180

§2 L’Hospital法则180

可化为0/0型或?型的极限184

习题188

§3 插值多项式和Taylor公式189

插值多项式和余项189

Lagrange插值多项式和Taylor公式192

习题196

§4 函数的Taylor公式及其应用198

函数在x＝0处的Taylor公式198

Taylor公式的应用203

习题210

函数作图212

§5 应用举例212

最值问题217

数学建模221

习题224

§6 函数方程的近似求解226

解析方法和数值方法226

二分法227

Newton迭代法228

计算实习题233

§1 不定积分的概念和运算法则235

微分的逆运算——不定积分235

第六章 不定积分235

不定积分的线性性质237

习题240

§2 换元积分法和分部积分法241

换元积分法241

分部积分法246

习题251

§3 有理函数的不定积分及其应用253

有理函数的不定积分253

可化成有理函数不定积分的情况257

习题260

定积分概念的导出背景263

第七章 定积分263

§1 定积分的概念和可积条件263

定积分的定义266

Darboux和267

Riemann可积的充分必要条件270

习题276

§2 定积分的基本性质276

习题282

§3 微积分基本定理283

从实例看微分与积分的联系283

微积分基本定理——Newton-Leibniz公式285

定积分的换元积分法和分部积分法289

习题297

§4 定积分在几何中的应用299

求平面图形的面积299

求曲线的弧长305

求某些特殊形状的几何体的体积309

求旋转体的侧面积312

习题314

附录 常用几何曲线图317

§5 微积分实际应用举例320

微元法320

由静态分布求总量320

求动态效应323

简单数学模型和求解324

从Kepler行星运动定律到万有引力定律327

习题329

§6 定积分的数值计算331

数值积分331

Newton-Cotes求积公式331

复化求积公式336

Gauss型求积公式338

计算实习题340

反常积分342

§1 反常积分的概念和计算342

第八章 反常积分342

反常积分计算348

习题353

计算实习题354

§2 反常积分的收敛判别法355

反常积分的Cauchy收敛原理355

非负函数反常积分的收敛判别法356

一般函数反常积分的收敛判别法357

无界函数反常积分的收敛判别法360

习题364

索引367