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第一编 自修纲要1

第一章 数学纲要1

第一节 代数1

1. 二项定理1

2. 行列式运算2

3. 对数性质2

4. 部分分数3

第二节 函数5

1. 变败及常数5

2. 函数定义5

3. 因双数及自双数6

4. 代数函数及超越函数6

5. 有理函数6

6. 显函数及隐函数7

7. 单值函数及多值函数7

8. 函数记号7

9. 逆函数8

第三节 级数9

1. 敛级数及发级数9

2. 绝对收敛及条件收敛9

3. 级数测验10

(a)普通测验法10

(b)比较测验法10

(c)比率测验法11

4. 常用级数12

(a) 几何极数12

(b) 调和级数12

(c) 二项级数12

(d) 指数级数13

(e) 对数级数13

(f) 幂组数13

第四节 三角公式14

1. 弧度法14

2. 基本关系14

3. 两角和及差的函数14

4. 倍角函数15

5. 半角函数15

6. 函数的和与差15

7. 正弦定律16

8. 馀弦定律16

9. 正切定律16

10. 逆函数16

11. 三角形面积16

12. 等边三角形面积17

第五节 几何公式17

1. 面积17

2. 表积17

3. 体积17

第六节 解析几何18

1. 两点间的距离18

2. 三解形面积18

3. 直线方程式18

4. 圆方程式20

5. 抛物线方程式21

6. 椭圆方程式21

7. 双曲线方程式22

8. 立体解析几何22

9. 圆锥曲线26

第二章 微分纲要27

第一节 极限27

1. 极限的意义27

2. 极限的记号27

3. 极限的特例27

第二节 增量28

第三节 导数28

第四节 微分法及微分公式29

1. 代数函数的微分公式29

2. 对数函数及指数函数微分公式32

3. 三角函数微分公式34

4. 反三角函数微分公式37

第五节 逐次微分法41

1. 马克劳林定理41

2. 台劳定理42

3. 来本之定理44

第六节 微分45

第七节 导数间的关系45

第八节 导数变换46

第九节 偏导数48

第十节 全微分49

第十一节 极大及极小50

1. 一自双数的极大值及极小值50

2. 两自双数的极大值及极小值51

3. 三自为数的极大值及极小值52

第十二节 曲线方向52

(a) 直角坐标52

(b) 极坐标53

第十三节 两曲线交角54

(a) 直角坐标54

(b) 极坐标54

第十四节 切线及法线方程式55

第十五节 渐近线56

第十六节 弧导数57

(a) 直角坐标57

(b) 极坐标58

第十七节 弯曲方向58

第十八节 反曲点59

第十九节 曲率圆60

第二十节 曲率半径60

第二十一节 曲率中心61

第二十二节 渐屈线及渐伸线62

第二十三节、相切阶62

第二十四散 包络63

第三章 积分纲要65

第一节 积分定义65

第二节 积分原理65

(a) 积分常数65

(b) 积分的和65

(c) 常口数65

第三节 积分基本公式66

第四节 定积分应用72

1. 求面积法72

(a) 直角坐标72

(b) 极坐标73

2. 求弧长法74

(a) 直角坐标74

(b) 极坐标75

3. 求体积法76

4. 求表积法77

5. 断面求积法78

第五节 重积分78

第六节 重积分应用79

1. 转动惯量79

(a) 平面转动惯量79

(b) 立体转动惯量82

2. 旋转体积及表积83

3. 任何立体的表积及体积83

(a) 表积83

(b) 体积86

第七节 重心87

1. 白波氏定理88

第八节 吸引力88

第四章 附录90

第一节 曲线备考90

1. 蔓形线90

2. 箕舌线90

3. 蔓叶线91

4. 悬链线92

5. 正焦弦抛物线93

6. 三次抛物线93

7. 半三次抛物线94

8. 曲线？2+？=194

9. 曲线a4y2=a2x4-z694

10. 圆r=asinθ+bcosθ95

11. 阿基米德螺线95

12. 双曲螺线96

13. 对数螺线97

14. 焦点抛物线97

15. 等轴双曲线98

16. 双纽线99

17. 四瓣蕾薇线99

18. 心脏线100

19. 摆线100

20. 准摆线101

21. 外摆线102

22. 内摆线104

第二节 双曲线函数及公式105

第三节 微分公式备考110

(A) 导数110

(B) 微分112

第四节 积分公式备考113

第五节 积分辅助公式119

附原名译名对照表121

第二编 微分例题详解129

例题(一) 函数129

例题(二) 导数134

例题(三) 导数应用141

例题(四) 初步微分法147

例题(五) 对数及指数函数微分法168

例题(六) 三角函数微分法185

例题(七) 三角反函数微分法202

例题(八) 导数关系216

例题(九) 逐次微分法223

例题(十) 来本之定理应用236

例题(十一) 微分及无穷小240

例题(十二) 隐函数导数243

例题(十三) 级数测验250

例题(十四) 收敛值判定256

例题(十五) 马克劳林氏定理应用259

例题(十六) 级数计算277

例题(十七) 台劳氏定理应用280

例题(十八) 不定型288

例题(十九) 不定型(续)293

例题(二十) 极大及极小条件299

例题(二十一) 极大及极小应用问题314

例题(二十二) 偏微分法348

例题(二十三) 切面及法线方程式355

例题(二十四) 高阶偏微分法360

例题(二十五) 全导数及全微分369

例题(二十六) 台劳氏定理推演378

例题(二十七) 导数变换380

例题(二十八) 多双数函数极大与极小值387

例题(二十九) 曲线方向；切线及法线；切距及交角406

例题(三十) 任一点(x1,y1)切线及法线方程式418

例题(三十一) 渐近线方程式426

例题(三十二) 极坐标曲线方向431

例题(三十三) 曲率定向及反曲点442

例题(三十四) 曲率半径449

例题(三十五) 曲率中心及渐屈线461

例题(三十六) 相切阶468

例题(三十七) 包络方程式473

第三编 积分例题祥解485

例题(一) 基本积分式485

例题(二) 指数积分式493

例题(三) 三角函数积分式495

例题(四) 其他重要积分式505

例题(五) 积分简单应用514

例题(六) 常数判定520

例题(七) 有理分数积分法530

(A) 分母因数均为一次，且无重复530

(B) 分母因数均为一次，但有重复535

(C) 分母含有二次因数，但无重复539

(D) 分母含有二次因数，且有重复550

例题(八) 无理函数积分法567

(A) 含有(ax+b)?积分法567

(B) 含有？积分法576

例题(九) 三角函数简易积分法581

(A) sinn xdx,cosn xdx及sinm x cosn xdx积分法581

(B) tann xdx,cotn xdx,secn xdx,cosecn xdx,tanm x secn xdx及cotm x cosecn xdx积分法585

(C) 用倍角公式求sinm x cosn xdx积分法592

例题(十) 部分积分法595

例题(十一) 含有eax sin nxdx及e?x cos nxdx积分法611

例题(十二) 用辅助公式求积分法618

(I) 二项代数式618

(II) 三角函数630

例题(十三) 代换积分法637

(A) 含有(a+bx2)?积分法637

(B) 含有？及？用三角函数代换积分法639

(C) 三角函数用代数代换积分法648

(D) 以tan?=z有理数代换积分法654

(E) 混合代换法659

例题(十四) 积分求和法664

例题(十五) 广义积分法677

例题(十六) 变更极限法678

例题(十七) 定积分求面积法683

(A) 直角坐标683

(B) 极坐标696

例题(十八) 定积分求弧长法706

(A) 直角坐标706

(B) 极坐标715

例题(十九) 定积分求旋转曲面体积法723

例题(二十) 定积分求旋转曲面求积法734

例题(二十一) 断面求体积法743

例题(二十二) 重积分法750

例题(二十三) 重积分应用754

(A) 直角坐标754

(B) 极坐标766

(C) 求旋转曲面体积及表积769

例题(二十四) 求任何立体表积、体积及转动惯量776

(A) 求表积法776

(B) 求体积法784

(C) 求转动惯量792

例题(二十五) 求重心法797

例题(二十六) 应用白波氏定理求旋转表积及体积810

例题(二十七) 流体压力811

例题(二十八) 流体压力中心820

例题(二十九) 吸引力825

例题(三十) 双曲线函数827