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第一章 自然边界元方法的一般原理1

1. 引言1

2. 边界归化与边界元方法4

2.1 间接边界归化4

2.2 直接边界归化12

2.3 边界积分方程的数值解法14

3. 自然边界归化的基本思想16

3.1 椭圆边值问题的自然边界归化17

3.2 Neumann问题的等价变分问题22

3.3 自然积分算子的表达式25

4. 强奇异积分的数值计算29

4.1 积分核级数展开法29

4.2 奇异部分分离计算法32

4.3 有限部分积分的近似求积公式41

4.4 正则化方法及间接计算法50

5. 自然边界元解的收敛性与误差估计53

5.1 近似变分问题及其解的收敛性53

5.2 边界上的误差估计57

5.3 区域内的误差估计64

6. 关于Poisson积分公式的计算65

6.1 利用特解求近边界点的解函数值66

6.2 误差估计69

第二章 调和方程边值问题71

1. 引言71

2. 解的复变函数表示72

2.1 定理及其证明72

2.2 简单应用实例74

3.1 区域上的变分问题78

3. 自然边界归化原理78

3.2 自然边界归化及边界上的变分问题81

4. 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式85

4.1 ？为上半平面86

4.2 ？为圆内区域91

4.3 ？为圆外区域96

4.4 几个简单例子97

5. 一般单连通域上的自然边界归化103

5.1 保角映射与自然边界归化103

5.2 对角形域、扇形域与矩形域的应用106

6. 自然积分算子及其逆算子108

6.1 上半平面自然积分算子109

6.2 圆内(外)区域自然积分算子111

7. 自然积分方程的直接研究116

7.1 上半平面自然积分方程117

7.2 圆内(外)区域自然积分方程118

8. 自然积分方程的数值解法122

8.1 刚度矩阵系数的计算公式123

8.2 刚度矩阵的条件数132

8.3 自然边界元解的误差估计136

8.4 数值例子137

9. 断裂及凹角扇形域上自然积分方程的数值解146

9.1 自然积分方程及其边界元解146

9.2 近似解的误差估计149

9.3 解的奇异性分析151

9.4 数值例子152

第三章 重调和方程边值问题158

1. 引言158

2.1 定理及其证明161

2. 解的复变函数表示161

2.2 简单应用实例163

3. 自然边界归化原理167

3.1 区域上的变分问题167

3.2 自然边界归化及边界上的变分问题172

4. 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式178

4.1 ？为上半平面178

4.2 ？为圆内区域184

4.3 ？为圆外区域196

4.4 几个简单例子205

5. 自然积分算子及其逆算子210

5.1 上半平面自然积分算子210

5.2 圆内区域自然积分算子212

5.3 圆外区域自然积分算子215

6. 自然积分方程的直接研究217

6.1 上半平面自然积分方程217

6.2 圆内区域自然积分方程219

6.3 圆外区域自然积分方程226

7. 自然积分方程的数值解法233

7.1 刚度矩阵系数的计算公式235

7.2 自然边界元解的误差估计240

7.3 数值例子243

8. 多重调和方程边值问题249

8.1 解的复变函数表示249

8.2 自然边界归化原理251

8.3 关于上半平面的若干结果254

1. 引言259

第四章 平面弹性问题259

2. 解的复变函数表示263

2.1 定理及其证明263

2.2 简单应用实例267

3. 自然边界归化原理273

3.1 区域上的变分问题273

3.2 自然边界归化及边界上的变分问题276

4. 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式279

4.1 ？为上半平面279

4.2 ？为圆内区域286

4.3 ？为圆外区域300

4.4 几个简单例子308

5. 自然积分算子及其逆算子313

5.1 上半平面自然积分算子314

5.2 圆内区域自然积分算子316

5.3 圆外区域自然积分算子325

6. 自然积分方程的直接研究328

6.1 上半平面自然积分方程328

6.2 圆内区域自然积分方程330

6.3 圆外区域自然积分方程345

7. 自然积分方程的数值解法347

7.1 刚度矩阵系数的计算公式349

7.2 自然边界元解的误差估计354

7.3 数值例子355

第五章 Stokes问题359

1. 引言359

2. 解的复变函数表示360

2.1 定理及其证明361

2.2 简单应用实例365

3. 自然边界归化原理368

3.1 Green公式369

3.2 自然边界归化及等价变分问题372

4. 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式375

4.1 ？为上半平面375

4.2 ？为圆外区域379

4.3 ？为圆内区域388

4.4 几个简单例子391

5. 自然积分算子及其逆算子397

5.1 上半平面自然积分算子398

5.2 圆外区域自然积分算子399

5.3 圆内区域自然积分算子405

6. 自然积分方程的直接研究413

6.1 上半平面自然积分方程413

6.2 圆外区域自然积分方程415

6.3 圆内区域自然积分方程423

7. 自然积分方程的数值解法435

7.1 刚度矩阵系数的计算公式437

7.2 自然边界元解的误差估计440

7.3 数值例子441

1. 引言443

第六章 自然边界元与有限元耦合法443

2. 耦合法解调和方程边值问题444

2.1 断裂区域问题444

2.2 无界区域问题453

2.3 数值例子456

3. 耦合法解重调和方程边值问题461

3.1 耦合法原理461

3.2 收敛性与误差估计463

4.1 耦合原理466

4. 耦合法解平面弹性问题466

4.2 收敛性与误差估计468

5. 耦合法解Stokes问题470

5.1 耦合法原理470

5.2 收敛性与误差估计473

6. 无穷远边界条件的近似475

6.1 积分边界条件的近似475

6.2 误差估计480

参考文献489