《解析几何学 第2卷》求取 ⇩

第三部分 空间解析几何1

124. 引论：曲面方程1

1. 在笛卡儿坐标中由方程表示的曲面，例1

2. 柱面2

3. 锥面3

4. 旋转曲面3

5. 在笛卡儿坐标变换下曲面方程的变换4

6. 曲面的分类5

7. 平面截曲面的截线5

8. 曲面的水平线图6

第六章 空间中的平面和直线7

第一篇 空间中的平面7

125. 平面，作为一阶曲面7

126. 表示同一个平面的一次方程10

127. 按方程作平面11

128. 按各种已知条件求平面的方程14

1. 已知在一条坐标轴上的截距和在通过该轴的两个坐标平面上的截痕的斜率14

2. 已知一个点和与平面共面的两个不共线的向量14

3. 已知三个点15

4. 已知在坐标轴上的三个截距16

129. 平面的参数方程17

130. 把点的坐标代入平面方程左端的结果18

1. 线性表达式Ax+By+Cz+D的正负号的几何意义18

2. 线性不等式的几何意义19

3. 线性表达式Ax+By+Cz+D的绝对值的几何意义19

4. 线段被平面所分成的比值，已知新坐标平面的方程求笛卡儿坐标变换20

5. 平面方程法化的问题21

131. 空间中平面的倾斜度21

1. 法化因子22

132. 平面方程的法化。从点到平面的距离22

2. 平面的法化方程。从点到平面的距离23

3. 向量(A，B，C)作为线性函数Ax+By+Cz+D的梯度24

4. 在一般笛卡儿坐标系统中平面方程的法化24

5. 平面方程的海色法式24

133. 空间中两个平面的相互位置的三种可能情形。两个平面平行的条件25

134. 两个平面之间的角27

135. 平面束28

136. 三个平面的相互位置的八种可能情形29

137. 平面把31

第二篇 空间中的直线33

138. 空间中直线的方程33

1. 经过已知点朝着已知方向的直线的参数方程33

2. 直线的标准方程34

3. 直线的法化方程36

4. 直线的归范方程37

5. 直线的普遍方程38

139. 空间中两条直线的相互位置41

140. 点到直线的距离42

141. 两条直线之间的角和距离43

1. 两条直线之间的角。两条直线的垂直条件43

2. 两条直线之间的距离44

第三篇 空间中的平面和直线46

142. 空间中平面和直线的相互位置46

143. 平面和直线之间的角。平面和直线的垂直条件47

1. 平面和直线之间的角48

2. 在直角坐标中平面和直线的垂直条件49

144. 关于寻求平面方程和直线方程的几个问题50

第七章 椭圆面，双曲面，抛物面56

第一篇 在标准坐标系统中的椭圆面，双曲面和抛物面58

145. 椭圆面的标准方程和普遍形状58

1. 椭圆面的标准方程58

2. 椭圆面的对称平面，对称轴和对称中心58

3. 椭圆面的普遍形状58

4. 扁的和长的旋转椭圆面，球面60

146. 双曲面和二阶锥面的标准方程和普遍形状60

1. 双曲面的标准方程60

2. 双曲面的对称平面，对称轴和对称中心61

3. 单叶双曲面的普遍形状61

4. 双叶双曲面的普遍形状62

5. 单叶和双叶旋转双曲面63

6. 二阶锥面64

7. 共渐近锥面的双曲面族65

147. 抛物面的标准方程和普遍形状66

1. 抛物面的标准方程66

2. 抛物面的对称平面和对称轴66

3. 椭圆抛物面的普遍形状66

4. 双曲抛物面的普遍形状68

148. 二阶曲面的直母线70

1. 单叶双曲面的直母线72

2. 双曲抛物面的直母线78

3. 二阶锥面的直母线82

4. 二阶柱面的直母线82

5. 经过任意三条两两相错的直线的二阶曲面的作图法83

149. 二阶曲面的图形截线83

1. 预备知识84

2. 椭圆面，双曲面，二阶锥面，椭圆抛物面和椭圆柱面的图形截线84

3. 脐点89

4. 其他二阶曲面的图形截线90

第二篇 椭圆面(几何理论)90

150. 椭圆面的仿射性质91

1. 椭圆面作为任意球面的仿射像91

2. 椭圆面的中心91

3. 椭圆面的径平面91

4. 平面截椭圆面的截线92

5. 椭圆面的直径92

6. 椭圆面的共轭的直径和径平面93

7. 椭圆面的共轭的三条直径和共轭的三个径平面93

8. 把椭圆面变成自己的仿射变换94

151. 椭圆面的一些度量性质96

1. 椭圆面作为单位球面经过三个互相垂直的“压缩”的结果96

2. 球面，扁的和长的旋转椭圆面，一般椭圆面97

3. 把单位半径的球面变成已知椭圆面的“压缩”系数的几何意义99

4. 椭圆面的三条主直径的组100

5. 空间仿射变换的主方向101

6. 椭圆面的三条主直径作为互相垂直的三条对称轴102

7. 椭圆面的旋转轴103

8. 椭圆面的对称平面104

9. 椭圆面的圆形截线104

10. 椭圆面的标准方程106

第三篇 双曲面(几何理论)107

152. 共渐近锥面的双曲面族107

1. 等边的单叶和双叶的旋转双曲面以及正圆锥面107

2. 双曲面的中心110

3. 渐近锥面110

153. 空间的双曲旋转111

1. 正双曲旋转111

2. 关于在正双曲旋转下直线和平面的变换的引理112

1. 双曲面和二阶锥面的平面截线，双曲面的直径114

154. 双曲面的仿射性质114

2. 双曲面的径平面117

3. 双曲面的共轭的直径和径平面119

4. 双曲面的共轭的三条直径和共轭的三个径平面119

5. 单叶双曲面的直母线120

6. 双曲面的几何定义124

7. 把双曲面变成自己的任意仿射变换125

8. 把双曲面变成自己的仿射变换的分解成初等的旋转126

155. 双曲面的一些度量性质127

1. 二阶锥面作为正椭圆锥面127

2. 锥面和渐近于它的双曲面的贯轴128

3. 双叶双曲面的顶点，单叶双曲面的腰椭圆和顶点129

5. 双曲面的三条主直径作为互相垂直的三条对称轴130

4. 双曲面的三条主直径的组130

6. 双曲面的对称平面131

7. 双曲面和二阶锥面的圆形截线131

8. 双曲面的标准方程132

第四篇 抛物面(几何理论)133

156. 把抛物面变成自己的仿射变换134

1. 抛物旋转134

2. 把旋转抛物面变成自己的椭圆旋转136

3. 把等边双曲抛物面变成自己的双曲旋转137

4. 在把抛物面变成自己的仿射变换下，关于直线和平面的变换的引理138

157. 抛物面的仿射性质140

1. 椭圆抛物面的平面截线和直径140

2. 双曲抛物面的平面截线和直径141

3. 椭圆抛物面的径平面143

4. 双曲抛物面的径平面144

5. 双曲抛物面的直母线145

6. 把抛物面变成自己的任意的仿射变换147

158. 抛物面的一些度量性质149

1. 抛物面的主直径(轴)和主径平面149

2. 抛物面的对称平面150

3. 抛物面的对称轴151

4. 椭圆抛物面的圆形截线154

5. 抛物面的标准方程156

第八章 二阶曲面的一般理论158

第一篇 二阶曲面利用配平方法的仿射分类158

159. 用配平方的方法把带三个变数的二次多项式化成最简单的形状158

160. 二阶曲面的仿射分类163

1. 二阶曲面的十五个仿射类163

2. 归范多项式的仿射不等价性167

第二篇 二阶曲面的归范方程，标准方程和仿射分类168

161. 利用变数的正交变换把三元二次形式变成平方和169

162. 利用变数的正交变换把带三个变数的二次多项式变成归范多项式和标准多项式172

1. 变成归范多项式172

2. 整理成标准形状175

163. 二阶曲面的仿射分类178

1. 在直角坐标里由标准方程表达的二阶曲面178

2. 由同样形状的标准方程表达的二阶曲面的仿射等价性180

3. 由不同形状的标准方程表达的二阶非零曲面的仿射不等价性181

4. 二阶曲面的仿射类182

第三篇 二阶曲面标准方程的参数利用不变量的计算法183

164. 带三个变数的二次多项式的前三个不变量183

165. 带三个变数的二次多项式的第四个不变量187

166. 半不变量189

168. 归范多项式的系数通过不变量和半不变量的计算法193

167. 带三个变数的二次多项式的归范类型通过不变量和半不变量的检验法193

169. 二阶曲面的类和它的标准方程利用不变量的决定法，总表201

170. 球面方程的检验法204

第四篇 在复三维空间里的二阶曲面206

171. 关于复三维空间206

1. 定义206

2. 用两个点规定直线。直线的方向向量208

3. 向量和平面的平行性。三个向量共面的检验法209

4. 通过一个已知点平行于两个不共线的已知向量的平面的方程210

5. 两个平面的相互位置212

6. 平面和直线的相互位置213

7. 两条直线的相互位置214

8. 在空间中用方向向量坐标的比值来给定方向217

9. 变换成新的笛卡儿坐标218

10. 仿射变换219

172. 二阶曲面与直线的交点220

1. 二阶曲面和直线的公共点的决定220

2. 渐近方向和非渐近方向223

3. 渐近方向的锥面225

173. 二阶曲面的中心227

1. 决定中心的方程227

2. 中心二阶曲面和非中心二阶曲面229

3. 把坐标原点移到中心231

174. 二阶锥面232

1. 渐近锥面232

2. 以坐标原点作为顶点的二阶锥面的普遍方程232

3. 包含着自己的中心的二阶曲面232

4. 二阶锥面分解成一对平面的条件233

5. 二阶曲面的秩235

7. 二阶锥面与通过顶点的平面的相交236

6. 二次形式的秩236

1. 与已知的非渐近方向共轭的径平面237

175. 二阶曲面的径平面237

2. 奇异方向238

3. 与非奇异的渐近方向共轭的径平面241

4. 两个径平面平行的检验法241

5. 径平面束242

6. 中心二阶曲面的径平面242

7. 有中心直线的曲面的径平面243

8. 抛物面的径平面244

9. 秩1的曲面的径平面245

10. 共轭方向246

176. 实二阶曲面的主方向和主径平面247

1. 主方向247

3. 特征方程的根和主方向248

2. 特征方程248

4. 特征方程根的重数的检验法252

5. 主径平面252

6. 秩1的曲面的主径平面254

177. 二阶曲面的直径255

1. 二阶曲面的平面截线255

2. 二阶曲面的中心平面截线255

3. 直径256

4. 中心二阶曲面的直径257

5. 秩2的曲面的直径258

6. 实二阶曲面的主直径259

178. 二阶曲面的切平面和直母线259

1. 切平面259

2. 曲面与切平面的交线261

3. 不可分解的二阶曲面的直母线262

4. 通过曲面上给定的非奇异点的母线的求法266

5. 不可分解的二阶锥面的切平面266

6. 非锥状的中心二阶曲面的切平面和直母线266

7. 抛物面的切平面和直母线268

8. 有中心直线的曲面的切平面和直母线269

9. 秩1的曲面的切平面和直母线270

10. 实二阶曲面的椭圆点，双曲点和抛物点270

179. 二阶曲面的归范方程和仿射分类273

1. 二阶曲面的归范方程273

2. 复三维空间中复二阶曲面的仿射分类276

3. 复三维空间中实二阶曲面的仿射分类277

第四部分 射影平面上和射影空间中的解析几何281

第九章 射影平面上的解析几何281

1. 透视射影和过渡到射影平面的必要性282

180. 射影平面282

第一篇 射影平面、射影映射(几何理论)282

2. 用假元素补充欧几里得平面283

3. 射影平面286

4. 射影平面上点和直线的关联性287

181. 射影映射288

1. 射影映射的定义和最简单的性质288

2. 透视射影作为射影映射289

3. 把的射影映射和欧几里得平面的仿射映射之间的联系292

4. 关于射影映射的第一基本定理293

5. 关于射影映射的第二基本定理295

6. 在把的射影映射和空间的仿射变换之间的联系297

7. 射影变换群300

8. 射影的概念和性质300

9. 欧几里得平面的仿射变换群，作为射影平面的射影变换群的子群301

1. 欧几里得平面上共直线的三个点的仿射不变量302

182. 共直线的四个点和共束的四条直线的射影不变量。射影的顺序关系302

2. 射影平面上不共直线的四个点303

3. 把里四条共面直线的射影不变量304

4. 把里属于同一个平面束的四个平面的射影不变量306

5. 射影平面上共直线的四个点和属于同一个束的四条直线的射影不变量307

6. 直线上四个真点的二重比值310

7. 真束的四条直线的二重比值312

8. 直线上和束中的射影的顺序关系314

9. 调和分离317

183. 射影平面上的对偶原则318

1. 对射变换318

2. 对偶原则321

3. 帕普定理322

1. 直线把中的射影坐标324

184. 射影平面上的射影坐标324

第二篇射影坐标、一阶和二阶曲线324

2. 补充子假元素的欧几里得平面上的射影坐标326

3. 三线坐标327

4. 三个点共直线的条件328

5. 射影坐标系统的基点329

6. 齐次坐标330

7. 非齐次射影坐标333

185. 射影坐标的变换公式和射影变换的公式336

1. 齐次射影坐标的变换公式336

2. 非齐次射影坐标的变换公式337

3. 射影变换的公式337

186. 射影平面上的曲线338

1. 由射影坐标中的方程表示的曲线338

4. 代数曲线339

2. 射影平面上的曲线和欧几里空间里的锥面之间的联系339

3. 在射影坐标的变换下，射影平面上曲线方程的变换339

187. 射影坐标里的直线340

1. 射影坐标里直线的方程340

2. 射影平面上通过两个已知点的直线的方程341

3. 射影平面上直线的参数方程341

4. 直线上的齐次和非齐次射影坐标342

5. 直线上的射影坐标的变换公式344

188. 射影平面上二阶曲线的射影分类345

1. 射影平面上曲线的射影分类和空间里锥面的仿射分类之间的联系345

2. 三元二次形式的仿射分类345

3. 射影平面上二阶曲线的五个射影类347

189. 二阶曲线的仿射射影分类349

1. 补充了假元素的欧几里得平面上的卵状二阶曲线349

2. 补充了假元素的欧几里得平面上的二阶曲线的十一个仿射射影类351

190. 卵状二阶曲线的切线；内点和外点353

1. 卵状二阶曲线与直线的相交353

2. 卵状二阶曲线的内点和外点355

191. 射影平面对于卵状二阶曲线的配极变换357

1. 二阶锥面的直径和径平面357

2. 把对于二阶锥面的配极变换358

3. 卵状二阶曲线的极点和极线360

4. 射影平面的配极变换362

5. 利用切线作极线363

6. 极线的主要几何性质364

7. 利用第四调和点的作图来作极线366

8. 直径作为假点的极线367

192. 卵状二阶曲线利用处在射影对应中的两个束来形成，巴斯加定理和白良松定理368

1. 射影直线和射影直线束的射影映射368

9. 中心作为假直线的极点368

2. 直线和束的透视对应369

3. 利用两个直线束的不是透视的射影对应，来作卵状二阶曲线371

4. 利用两个直线束的不是透视的射影对应，来作卵状二阶曲线的切线族375

5. 巴斯加定理376

6. 白良松定理378

第三篇 射影平面。射影坐标。射影变换(解析理论)378

193. 射影平面378

1. 成比例的三数组和数偶的类378

2. 射影平面381

3. 两条直线的相互位置382

4. 直线的坐标383

5. 通过两个给定的点的直线方程。三个点共线的条件383

6. 射影平面，作为欧几里得空间的直线和平面把384

7. 欧几里得平面上的齐次笛卡儿坐标。射影平面作为补充了假点的欧几里得平面385

8. 射影平面的一般概念389

194. 射影平面上的对偶原则390

1. 对射变换390

2. 对偶原则390

3. 代沙葛定理391

4. 直线束作为共线点列的对偶像393

195. 射影平面上的射影坐标393

1. 射影坐标393

2. 射影坐标系统的基点396

3. 射影坐标的变换公式397

4. 三线坐标400

5. 在任意射影坐标中直线的方程402

6. 非齐次射影坐标403

1. 射影变换的定义和基本性质404

196. 射影平面的射影变换404

2. 射影的概念和性质406

3. 射影变换的公式406

4. 射影平面的射影变换的群407

5. 欧几里得平面的仿射射影变换群，作为射影平面的射影变换群的子群409

197. 直线上和直线束中的射影坐标410

1. 直线的参数方程410

2. 直线上的射影坐标411

3. 直线上的非齐次射影坐标414

4. 真直线上的齐次笛卡儿坐标414

5. 直线上射影坐标的变换公式416

6. 直线束中的射影坐标417

198. 直线和直线束的射影映射417

1. 直线的射影映射417

2. 直线的射影变换的公式420

3. 第一种和第二种射影变换421

4. 直线束的射影映射422

199. 二重比值422

1. 共直线的四个有顺序的点的二重比值422

2. 在直线上的射影坐标里四个点的二重比值423

3. 共直线的四个真点的二重比值424

4. 束中四条有顺序的直线的二重比值425

5. 真束的四条直线的二重比值425

6. 对偶原则的推广427

7. 在共线点列和直线束的透视对应下二重比值的保留427

8. 调和点组428

200. 复射影平面429

第四篇 射影平面上的二阶曲线431

201. 复欧几里得平面上和复射影平面上的二阶曲线的联系432

1. 二阶曲线和直线的公共点434

202. 二阶曲线与直线的交点434

2. 可分解的二阶曲线437

203. 二重点。二阶曲线的秩438

1. 二阶曲线的二重点438

2. 二阶曲线的秩440

204. 二阶曲线的切线441

205. 二阶曲线的极点和极线442

1. 点对于二阶曲线的调和共轭性442

2. 极点和极线444

3. 直径作为假点的极线445

4. 中心作为假直线的极点446

5. 极线的基本性质447

6. 不可分解的二阶曲线的极点和极线448

7. 从不在不可分解的二阶曲线上的点引向这条曲线的切线448

8. 不可分解的实二阶曲线的外点和内点449

9. 可分解的二阶曲线的极点和极线450

10. 自配极三角形451

206. 二阶曲线的射影分类452

1. 二阶曲线对于自配极的基本坐标三角形的方程452

2. 复二阶曲线的射影分类453

3. 实二阶曲线的射影分类454

4. 在固定的坐标系统中表示同一条二阶曲线的方程456

207. 二阶曲线的仿射射影分类458

1. 实二阶曲线的仿射射影分类459

2. 欧几里得平面上二阶曲线的仿射分类464

3. 复二阶曲线的仿射射影分类465

4. 复欧几里得平面上复二阶曲线的仿射分类466

1. 成比例的四数组的类467

208. 射影空间467

第一篇 射影空间。射影坐标。射影变换467

第十章 射影空间中的解析几何467

2. 射影空间468

3. 矩阵的秩和齐次线性方程组中线性无关的解的个数469

4. 三个点共线的条件470

5. 平面和直线的相互位置471

6. 两个平面的相互位置472

7. 四个点共面的条件472

8. 通过不在一条直线上的三个点的平面的方程473

9. 平面的参数方程474

10. 两条直线的相互位置476

11. 欧几里得空间里的齐次笛卡儿坐标，射影空间作为补充了假点的欧几里得空间477

209. 射影坐标481

1. 射影空间中的射影坐标481

2. 射影坐标系统的基点482

3. 射影坐标的变换公式483

4. 在空间的任意射影坐标系统里的平面和直线484

5. 平面上和直线上的射影坐标484

210. 射影变换487

1. 射影空间的射影变换的定义和基本性质487

2. 射影变换的公式487

3. 射影空间的射影变换群488

4. 欧几里得空间的仿射变换群作为射影空间的射影变换群的子群488

5. 射影空间中直线的透视对应488

211. 复射影空间490

第二篇 射影空间中的二阶曲面491

212. 复欧几里得空间和复射影空间的二阶曲面之间的联系492

213. 二阶曲面与平面和直线的交点493

1. 二阶曲面和平面的公共点。可分解的二阶曲面493

2. 二阶曲面和直线的公共点495

1. 二阶曲面的二重点497

2. 二阶曲面的秩497

214. 二重点。二阶曲面的秩497

3. 二阶锥面498

215. 二阶曲面的切平面和直母线499

1. 切平面499

2. 二阶曲面与切平面的交线500

3. 不可分解的实二阶曲面的椭圆点，双曲点和抛物点502

4. 二阶曲面的直母线503

216. 二阶曲面的极点和极平面505

1. 点对于二阶曲面的调和共轭性505

2. 极点和极平面506

3. 径平面作为假点的极平面。中心作为假平面的极点506

5. 非锥状二阶曲面的极点和极平面507

4. 极平面的基本性质507

6. 切锥面508

7. 自配极四面体509

217. 二阶曲面的射影分类511

1. 二阶曲面对于自配极的基本坐标四面体的方程511

2. 复二阶曲面的射影分类512

3. 实二阶曲面的射影分类512

4. 在固定的坐标系统中表示同一个二阶曲面的方程514

218. 二阶曲面的仿射射影分类515

1. 实二阶曲面的仿射射影分类516

2. 欧几里得空间中二阶曲面的仿射分类522

3. 复二阶曲面的仿射射影分类523

4. 复欧几里得空间中复二阶曲面的仿射分类524

索引525