《解析几何学 第1卷 第2分册》求取 ⇩

第二部分平面解析几何165

引言165

37 关於在笛卡儿坐标中用有两个变数的方程表示的曲线。曲线的参数方程165

1．解析几何的基本观念165

2．在笛卡儿坐标中用方程表示的曲线。例子166

3．曲线的参数方程169

4．曲线的交点170

5．在笛卡儿坐标变换下曲线方程的变换170

1．代数曲线和超越曲线171

38 代数曲线和超越曲线171

2．代数曲线的方程的次数172

第三章 平面上的直线173

第一篇 平面上直线的方程173

39 直线，作为一阶曲线173

40 表示同一条直线的一次方程175

41 直线按它的方程的作图177

42 按各种已知条件求直线的方程178

1．已知斜率和纵轴上的截距。线性函数179

2．已知一个点和方向向量。直线的参数方程179

4．已知两个点。三个点共线的条件180

3．已知一个点和斜率180

43 把点的坐标代入直线方程左边的结果182

5．已知两条坐标轴上的截距182

1．三项式4x+By+C的正负号的几何意义183

2．线性不等式的几何意义184

3．三项式Ax+By+C的绝对值的几何意义185

4．线段被直线所分成的比值。已知新笛卡儿坐标轴的方程求坐标变换185

44а 直线的法化方程。从点到直线的距离（第一种讲法）187

1．法化因子187

5．直线方程法化的问题187

2．直线的法化方程。从点到直线的距离188

3．向量（A,B），作为线性函数Ax+By+C的梯度189

4．在一般笛卡儿坐标系统的情形中，直线方程的法化189

5．直线方程的海色法线式189

44б 直线的法化方程。从点到直线的距离（第二种讲法）191

1．直线方程的度量解释191

2．法化因子。直线的法化方程。直线方程的海色法线式192

3．从点到直线的距离193

45 平面上两条直线相互位置的三种可能情形。平行的条件。两条直线的交点194

1．两条直线重合的条件194

4．在一般的笛卡儿坐标系统的情形中，直线方程的法化194

第二篇 平面上两条直线的相互位置194

2．两条直线平行的条件195

3．平面上区别两条直线相互位置的三种可能情形的普遍规则195

4．两条直线的交点196

46 平面上有顺序的一对方向中间的角196

1．平面上两个方向中间的角和有顺序的一对方向中间的角196

2．有顺序的一对由向量规定的方向中间的角；它的公式197

47 平面上有顺序的一对直线中间的角。两条直线的垂直条件198

1．平面上有顺序的一对直线中间的角；它用正切的规定法198

3．两个方向的垂直条件198

2．有顺序的一对直线中间角的正切，用这些直线在直角坐标里的斜率表达的公式199

3．两条直线的垂直条件，用这两条直线在直角坐标里的斜率来表达的式子199

4．有顺序的一对由普遍方程规定的直线中间的角，它的正切的公式和这样两条直线的垂直条件200

第三篇 直线束。缩短记号的方法202

48 直线束的方程202

1．直线束202

2．包含着两条已知直线的直线束的方程202

3．直线束方程的研究203

49 平面上三条直线相互位置的七种可能情形204

50 平面上的直线和空间中的向量的对比205

51 关於平面上的直线的缩短记号的方法。平面上任意直线的方程，作为组成三角形的三条直线方程的线性组合206

第四篇 凸集合。线性不等式207

52 凸集合。线性不等式组207

1．凸集合的定义和例子207

2．关於凸集合的交的定理209

3．凸外盖209

4．有限的点集合的凸外盖210

5．线性不等式组的几何意义211

53 三个线性不等式规定三角形的必要和充分的条件213

第四章 椭圆，双曲线，抛物线217

1．图形的仿射和度量性质219

54 椭圆的仿射性质219

第一篇 椭圆219

2．任意的圆周，作为椭圆的特别情形220

3．图形的对称中心221

4．椭圆的中心221

5．椭圆与直线的相交222

6．椭圆的直径222

7．共轭直径223

55 椭圆的对称轴。椭圆，作为圆周压缩的结果和作为圆周的正射影225

1．图形的对称轴225

2．椭圆的两条对称轴的存在225

3．椭圆作为圆周压缩的结果225

4．在不是圆周的椭圆中只有两条对称轴226

6．平面仿射变换的立方向227

5．椭圆的半轴227

7．椭圆作为圆周的正射影228

56 关於椭圆的阿坡隆尼亚定理229

1．关於椭圆的第一个阿坡隆尼亚定理229

2．关於椭圆的第二个阿坡隆尼亚定理229

1．平面上把椭圆变成自己的仿射变换用平面上把圆周变成自己的仿射变换来诱发230

2．椭圆旋转230

57 椭圆旋转、变换的诱发230

3．椭圆旋转的角231

4．平面上把椭圆变成自己的所有仿射变换的决定231

5．变换诱发的普遍方法232

6．椭圆旋转的公式233

58 椭圆的标准方程和普遍形状234

1．椭圆的标准方程234

2．椭圆作为圆周压缩的结果234

3．椭圆的中心、轴线和顶点235

59 椭圆的直径（解析法）236

1．椭圆与直线的相交236

4．椭圆的面积236

2．椭圆的直径238

3．共轭直径239

60 椭圆的焦点、离心率、准线和焦参数240

1．椭圆的焦点和离心率240

2．椭圆的准线241

3．椭圆的焦参数241

61 椭圆的焦点性质242

62 椭圆的准线性质244

1．曲线的切线245

63 椭圆的切线245

2．标准坐标里椭圆切线的方程246

3．椭圆切线作为角的平分线的性质248

64 椭圆的主要作图251

1．仿射作图251

2．用仿射方法来完成仿射作图251

3．椭圆按着两个共轭半径的仿射作图252

4．椭图按着轴线的作图253

5．椭圆按着轴线的第二种作图254

6．椭圆规255

8．椭圆的参数方程256

9．椭圆按着焦点和长轴的作图256

7．雷翁那陀·达·芬奇的镟床头256

10．椭圆用纸片摺叠的作图257

11．椭圆的中心、轴线、焦点和准线按着它的周线的作图258

12．已知切点的椭圆切线的作图259

13．椭圆切线从椭圆外的点的作图260

第二篇　双曲线260

65　等边双曲线260

1．等边双曲线的定义260

2．等边双曲线对於渐近线的方程261

3．等边双曲线对於渐近线的方程的几何意义263

2．双曲线的渐近线264

3．双曲线只有两条渐近线264

66　双曲线的仿射性质：两个几何的定义，渐近线和中心264

1．一般双曲线的两个几何的定义264

4．双曲线的中心265

5．共轭双曲线265

6．共渐近线的双曲线族266

67．双曲线的对称轴作为等边双曲线压缩结果的一般双曲线267

1．双曲线的对称轴267

2．顶点，实轴和虚轴268

3．双曲线的“外切长方形”268

4．作为等边双曲线压缩结果的一般双曲线269

1．双曲旋转的定义和总的描述270

68　双曲旋转270

2．夹在双曲线和它的渐近线中间的面积的无限性272

3．把双曲线变成自己的任意仿射变换272

69　双曲线的仿射性质：与直线的相交，直径273

1．关於在双曲旋转下直线的变换的引理273

2．双曲线与直线的相交274

3．双曲线的直径275

4．共轭直径277

5．共轭方向的作图278

2．关於双曲线的第二个阿坡隆尼亚定理279

70　关於双曲线的阿坡隆尼亚定理279

1．关於双曲线的第一个阿坡隆尼亚定理279

71　双曲旋转的系数和角。双曲函数280

1．双曲旋转的系数280

2．双曲旋转的角280

3．在双曲旋转的角和系数中间的函数关系281

4．双曲函数283

5．正双曲旋转的公式。用指数表示双曲函数的式子284

6．一般双曲旋转的公式285

1．双曲线的标准方程286

7．罗伦兹变换286

72　双曲线的标准方程和普遍形状286

2．双曲线的中心和轴线287

3．双曲线的分支和渐近线288

73　双曲线的直径（解析法）290

1．双曲线与直线的相交290

2．双曲线的直径292

3．共轭直径294

1．双曲线的离心率295

2．双曲线的焦点和准线295

74　双曲线的离心率、焦点、准线和焦参数295

3．双曲线的焦参数296

75　双曲线的焦点性质296

76　双曲线的准线性质298

77　双曲线的切线299

1．标准坐标里双曲线切线的方程299

2．渐近线是双曲线的切线当切点远在无穷远处时的极限位置301

3．双曲线切线作为平分线的性质302

4．双曲线的切线从渐近线中间的角所截下的面积303

78　双曲线的主要作图303

1．双曲线按着渐近线和一个点的仿射作图303

2．双曲线按着焦点和实轴的作图304

3．双曲线用纸片摺叠的作图305

4．双曲线的中心、轴线、焦点、渐近线和准线按着它的周线的作图306

5．已知切点的双曲线切线的作图308

6．双曲线切线从双曲线外一个点的作图308

第三篇　抛物线308

79　抛物线的普遍形状308

80　抛物线的平行移动311

1．从抛物线y＝kx2经过平行移动而得到的抛物线的普遍方程311

2．通过三个点的抛物线的引进法311

81 抛物旋转313

82 抛物线与直线的相交。抛物线的直径315

1．抛物线与直线的相交315

2．抛物线的直径316

3．与抛物线的直径共轭的方向316

83 任意抛物线的对称轴。所有抛物线的相似317

1．任意抛物线的对称轴的存在317

2．在以任意抛物线的顶点为原点、以对称轴为纵轴的直角坐标系统里，这个抛物线的方程317

3．所有抛物线的相似319

84 把抛物线变成自己的仿射变换319

85 抛物线的标准方程。焦点，准线和焦参数320

1．抛物线的标准方程321

2．焦点，准线和焦参数322

86 抛物线的直径（解析法）322

1．抛物线与直线的相交323

2．抛物线的直径323

87 抛物线的准线性质325

88 抛物线的切线326

1．标准坐标里抛物线切线的方程326

2．抛物线切线作为平分线的性质328

1．抛物线按着切线、通过切点的直径和一个点的作图329

89 抛物线的主要作图329

2．抛物线按焦点和准线的作图331

3．抛物线用纸片摺叠的作图331

4．抛物线的对称轴、焦点和准线按着它的周线的作图332

5．已知切点的抛物线切线的作图333

6．抛物线切线从抛物线外一个点的作图333

第四篇 椭圆、双曲线和抛物线的族334

90 共焦点的椭圆和双曲线334

1．共焦点的椭圆和双曲线的族的方程334

2．共焦点的椭圆族和共焦点的双曲线族的正交性334

2．同位相似的椭圆族的方程335

1．两个变数函数的平准线335

91 同位相似的椭圆、双曲线和抛物线的族335

3．共渐近线的双曲线族的方程336

4．“同位相似”的抛物线336

92 椭圆、双曲线和抛物线对於顶点和通过焦点的轴线说的方程337

第五篇 椭圆、双曲线和抛物线在极坐标里的方程338

93．极坐标338

1．极坐标的定义338

2．连系极坐标和直角坐标的公式339

94 椭圆、双曲线和抛物线在极坐标里的焦点方程340

3．在极坐标里的曲线方程的例子340

第六篇 椭圆、双曲线和抛物线作为圆锥截线341

95 圆锥截线341

1．正圆锥曲面341

2．圆锥与不同倾斜度的平面相交341

3．椭圆作为圆锥截线342

4．双曲线作为圆锥截线343

5．抛物线作为圆锥截线344

6．椭圆和双曲线的准线344

96 二阶锥面345

97 椭圆、双曲线和抛物线作为圆周的透视345

第五章 二阶曲线的一般理论347

98 曲线的仿射分类的原则348

1．图形的仿射类348

第一篇 二阶曲线利用雅可比的配平方法的仿射分类348

2．由已知次数的代数方程表达的曲线的仿射分类问题349

99 用配平方的方法把带两个变数的二次多项式引向最简单的形状350

1．仿射等价的多项式350

2．用配平方的方法把带两个变数的二次多项式引向最简单的形状351

100 二阶曲线的仿射分类355

1．二阶曲线的八个仿射类355

101 从二阶曲线的方程应用配平方的方法求它的仿射类和它在平面上的位置的一些例子359

2．最简单的多项式的仿射不等价性359

第二篇 二阶曲线的归范方程、标准方程和仿射分类365

102 利用变数的正交变换把二元二次形式变成平方和366

103 利用变数的正交变换把带两个变数的二次多项式变成归范多项式和标准多项式367

1．变成归范多项式的变换367

2．整理成标准形状369

104 二阶曲线的仿射分类372

1．在直角坐标里由标准方程表达的曲线372

2．由同样形状的标准方程表达的二阶曲线的仿射等价性373

4．二阶曲线的仿射类376

3．由不同形状的标准方程表达的二阶曲线的仿射不等价性376

第三篇 二阶曲线标准方程的参数利用不变量的计算法377

105 关於二次形式的变换的定理377

1．二次形式的矩阵377

2．在变数的齐次线性变换下二次形式的变换378

3．在变数的齐次线性变换下二次形式的行列式的改变380

106 带两个变数的二次多项式的前两个不变量381

107 带两个变数的二次多项式的第三个不变量384

108 半不变量385

109 带两个变数的二次多项式的归范类型通过不变量和半不变量的检验法389

110 归范多项式的系数通过不变量和半不变量的计算法390

111 二阶曲线的类和它的标准方程利用不变量的决定法总表394

112 特别情形：圆周、等边双曲线和一对垂直线的方法的检验法400

1．表达圆周的二次方程的检验法400

2．表达等边双曲线的二次方程的检验法402

3．表达一对互相垂直的直线的二次方程的检验法402

113 对於一般的笛卡儿坐标系统而言，带两个变数的二次多项式的度量不变量403

1．度量不变量403

2．前两个度量不变量405

3．第三个度量不变量406

4．度量半不变量407

114 在已知度量的任意标架里，从二阶曲线的已知方程求它的标准方程408

第四篇 在原来的直角坐标系统的标架里，二阶曲线的位置409

115 二阶中心曲线位置问题的解决410

1．把坐标原点平行移动到中心410

2．椭圆和双曲线的轴线412

3．一对相交的直线414

4．双曲线的渐近线415

5．例子415

116 抛物线位置问题的解决418

117 一对平行直线位置问题的解决424

1．定义428

第五篇 在复二维空间里的二阶曲线428

118 关於复二维空间428

2．直线的参数方程429

3．平面上用方向向量的坐标来规定方向430

4．变换成新的笛卡儿坐标431

119 二阶曲线与直线的交点432

120 二阶曲线的渐近方向。椭圆型、双曲型和抛物型曲线435

1．渐近方向435

2．关於首项系数趋向於零的二次方程的根的引理435

3．二阶曲线的“无穷远点”436

4．椭圆型、双曲型和抛物型曲线437

121 二阶曲线的中心439

1．决定中心的方程439

2．中心的和非中心的二阶曲线440

3．把坐标原点移到中心441

122 二阶曲线的直径443

1．与已知的非渐近方向共轭的直径443

2．直径的方程443

3．二阶中心曲线的直径444

4．渐近线446

5．二阶非中心曲线的直径447

6．主直径448

7．二阶中心曲线对於共轭直径说的方程450

8．二阶非中心曲线对於直径和共轭方向的轴线说的方程450

9．把实二阶曲线的方程引向标准形状451

123 二阶曲线的切线452

1．二阶曲线切线的代数形式上的定义452

2．切线的方程453

3．一对不重合直线的情形454

4．切线和直径中间的关系454

5．不可分解的二阶曲线、对於切线和通过切点的直径说的方程454

索引456