《解析几何学 第1卷 第1、2分册》求取 ⇩

第一部分笛卡儿坐标、向量、线性变换1

第一章平面上和空间中的笛卡儿坐标和向量二阶和三阶矩阵的几何1

第一篇笛卡儿坐标和向量：仿射关系1

1坐标轴、平面上和空间中的笛卡儿坐标1

1．坐标轴1

2．平面上的笛卡儿坐标2

3．平面上的右和左坐标系统3

4．空间中的笛卡儿坐标4

5．空间中的右和左坐标系统6

6．一般的笛卡儿坐标、斜角坐标和直角坐标6

2向量，它们的加法、减法和乘上数量的乘法7

1．向量，作为有顺序的点偶或者有方向的线段7

2．向量的相等7

3．自由向量8

4．共线和共面向量9

5．向量乘上数量的乘法9

6．向量的加法和减法10

7．向量的线性组合11

3笛卡儿坐标的向量引进法11

1．直线上向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法12

2．平面上向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法12

3．空间中向量的坐标和笛卡儿坐标的向量引进法14

4．一般的笛卡儿坐标，斜角坐标和直角坐标。基本的坐标平行四边形和基本的坐标平行六面体15

4直线上的向量16

1．直线上向量乘上数量的乘积的坐标16

2．直线上向量的和以及差的坐标16

3．直线上向量的任意线性组合的坐标17

4．直线上向量的代数系统和实数的代数系统的同构18

5平面上和空间中的射影、向量的线性组合的射影18

1．到直线上的正射影18

2．到直线上平行於任意直线或者平面的射影18

3．到平面上的射影19

4．关於向量射影的引理19

5．向量的任意线性组合的射影20

6向量的线性组合的坐标、向量加法和向量乘上数量的乘法的基本法则21

1．向量在坐标轴上射影的数值21

2．向量的线性组合的坐标21

3．平面上或者空间中向量的代数系统和有顺序的实数偶或者实数三位的代数系统的同构22

4．向量加法和向量乘上数量的乘法的基本法则22

5．附言23

6．两个向量共线相三个点共线的检验法23

7变成新的笛卡儿坐标的变换24

1．任意笛卡儿坐标的变换公式25

2．平面上直角坐标的变换公式26

第二篇笛卡儿坐标和向量：度量关系27

8向量在轴线上的正射影28

1．两个方向中间的角28

2．向量在轴线上的正射影的数值28

9数量乘积29

1．数量乘积的定义和基本的几何性质29

2．数量乘积和向量在轴线上的正射影30

3．数量乘积的基本的代数性质31

10标架的度量规定法32

1．参数32

2．在结晶学里所采用的标架的度量参数32

3．标架的基本的度量参数33

4．标架的度量矩阵34

5．标架参数的必要和充分的条件35

11基本的度量公式36

1．平面上标架的双线性度量形式36

2．空间中标架的双线性度量形式37

3．标架的二次度量形式38

4．向量长度和两个向量中间的角利用标架的二次形式和双线性形式表示的式子39

5．在直角坐标里关於数量乘积、向量长度和两个向量中间的角的公式40

6．方向余弦41

12对偶标架、反变和共变坐标41

1．平面上和空间中的对偶标架42

2．给了两个向量对於对偶的两个标架的坐标，求它们的数量乘积的公式43

3．反变和共变坐标44

第三篇关於坐标的基本问题45

13两个点中间的距离45

1．坐标轴上两个点中间的距离45

2．在直角坐标里，平面或者空间的两个点中间的距离45

3．在一般的笛卡儿坐标里，平面或者空间的两个点中间的距离46

14分线段成已知比值47

1．分线段成内分和外分比值47

2．分线段成已知比值的点，关於它的坐标的公式48

3．线段中点的坐标50

4．附言50

15重心51

1．平行力组的合力所作用的点51

2．质点组的重心52

16三角形和多角形的面积53

1．在直角坐标里三角形的面积53

2．平面上有向多角形的概念55

3．关於面积遮盖的引理55

4．在直角坐标里多角形的面积58

5．在一般的笛卡儿坐标里多角形的面积59

17 平面面积计60

第四篇二阶和三阶矩阵的几何61

18二阶和三阶行列式的几何意义61

1．平面上作在有序向量偶上的平行四边形的面积和空间中作在有序向量三位上的平行六面体的体积61

2．记号（a,b）和（a,b,c）的主要性质62

3．二阶行列式，作为平面上作在有序向量偶上的平行四边形面积的比值64

4．三阶行列式，作为作在有序向量三位上的平行六面体体积的比值65

5．在直角坐标里三角形的面积和四面体的体积68

6．三个点在一条直线上和四个点在一个平面上的必要和充分的条件68

19行列式运算的法则69

1．矩阵，按行和列作为向量组69

2．行列式的基本性质69

3．行列式元素的代数补余式，按一排的元素展开行列式71

20张在向量上的空间、向量的线性相关、矩阵的秩数72

1．张在向量上的空间72

2．向量的线性相关73

3．空间的维数和线性无关向量的个数73

4．张在向量上的空间的维数和向量矩阵的秩数74

21线性方程组76

1．有三个未知数的一组三个一次方程，作为沿着三个向量去分解向量的问题76

2．克拉磨公式78

3．有三个未知数的一组三个齐次一次方程，作为求与三个已知向量正交的向量的问题80

4．有三个未知数的一组两个齐次一次方程80

22向量乘积81

1．空间中的有向平面段·二重向量81

2．自由二重向量82

3．向量乘积83

4．三个向量的混合乘积83

5．向量乘积的直角坐标85

6．向量乘积的基本性质86

7．空间中三角形的面积87

8．关於对偶标架的向量的公式88

第二章正交映射和仿射映射89

23引言89

1．变换在几何学中的意义89

2．映射90

3．变换的乘法91

4．变换的乘积对於因子次序的依赖性91

5．群的概念92

6．关於变换群93

第一篇正交映射的几何理论93

24正交映射的定义和最简单的性质93

1．运动93

2．反射94

3．正交映射94

4．关於正交映射的基本引理95

25 关於正交映射的第一基本定理98

26关於正交变换的第二基本定理99

1．第一种和第二种正交变换99

2．关於正交变换的第二基本定理101

3．正交变换几何的若干进一步的结果102

第二篇仿射映射的几何理论103

27仿射映射的定义和最简单的性质103

1．仿射映射103

2．压缩104

3．关於仿射映射的引理106

28а简单比值作为仿射映射的不变量（第一种讲法）107

1．关於线段中点的引理107

2．达布引理108

3．简单比值的不变性110

28б简单比值作为仿射映射的不变量（第二种讲法）111

1．函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)111

2．实数域的一个代数性质113

3．简单比值的不变性115

29 关於仿射映射的第一基本定理117

30关於仿射映射的第二基本定理119

1．关於仿射映射的第二基本定理119

2．在平面仿射映射下面积的改变和在空间仿射变换下体积的改变122

3．在仿射映射下长度的改变122

31若干特殊的仿射映射123

1．同位相似123

2．相似124

3．？切125

第三篇线性变换126

32仿射映射126

1．仿射映射的定义126

2．仿射映射的基本性质128

3．变积系数．第一种和第二种的仿射变换129

4．在仿射映射下，任意平面图形的面积和任意空间体的体积的改变131

5．仿射变换乘积的变积系数132

6．正交映射132

7．仿射变换群和它的若干子群133

33仿射变换，作为行列式不等於零的线性变换135

1．仿射变换的公式135

2．仿射变换作为行列式不零等於的线性变换136

3．退化的线性变换138

4．非退化的线性变换的两重解释139

34齐次线性变换．行列式不等於零的正方矩阵的群140

1．齐次线性变换140

2．行列式不等於零的正方矩阵的几何意义141

3．齐次线性变换的乘法和正方矩阵的乘法141

4．行列式不等於零的正方矩阵的群143

5．矩阵乘积的行列式144

6．矩阵的转置和它与矩阵相乘的关系145

7．对於原标架逐次的像而言，仿射变换乘积的矩阵146

8．在变到新的坐标标架时，仿射变换矩阵的改变147

9．带三个未知数的三个线性方程的组，作为求在有已知矩阵的仿射变换下变成已知向量的向量的问题149

35正交矩阵149

1．正交矩阵的定义149

2．正交关系150

3．正交矩阵，作为保留变数的平方和不变的齐次线性变换的矩阵152

36 欧拉角154

索引157

第二部分平面解析几何165

引言165

37关於在笛卡儿坐标中用有两个变数的方程表示的曲线。曲线的参数方程165

1．解析几何的基本观念165

2．在笛卡儿坐标中用方程表示的曲线。例子166

3．曲线的参数方程169

4．曲线的交点170

5．在笛卡儿坐标变换下曲线方程的变换170

38代数曲线和超越曲线171

1．代数曲线和超越曲线171

2．代数曲线的方程的次数172

第三章平面上的直线173

第一篇平面上直线的方程173

39 直线，作为一阶曲线173

40 表示同一条直线的一次方程175

41 直线按它的方程的作图177

42按各种已知条件求直线的方程178

1．已知斜率和纵轴上的截距。线性函数179

2．已知一个点和方向向量。直线的参数方程179

3．已知一个点和斜率180

4．已知两个点。三个点共线的条件180

5．已知两条坐标轴上的截距182

43把点的坐标代入直线方程左边的结果182

1．三项式Ax+By+C的正负号的几何意义183

2．线性不等式的几何意义184

3．三项式Ax+By+C的绝对值的几何意义185

4．线段被直线所分成的比值。已知新笛卡儿坐标轴的方程求坐标变换185

5．直线方程法化的问题187

44а直线的法化方程。从点到直线的距离（第一种讲法）187

1．法化因子187

2．直线的法化方程。从点到直线的距离188

3．向量（A,B），作为线性函数Ax+By+C的梯度189

4．在一般笛卡儿坐标系统的情形中，直线方程的法化189

5．直线方程的海色法线式189

44б直线的法化方程。从点到直线的距离（第二种讲法）191

1．直线方程的度量解释191

2．法化因子。直线的法化方程。直线方程的海色法线式192

3．从点到直线的距离193

4．在一般的笛卡儿坐标系统的情形中，直线方程的法化194

第二篇平面上两条直线的相互位置194

45平面上两条直线相互位置的三种可能情形。平行的条件。两条直线的交点194

1．两条直线重合的条件194

2．两条直线平行的条件195

3．平面上区别两条直线相互位置的三种可能情形的普遍规则195

4．两条直线的交点196

46平面上有顺序的一对方向中间的角196

1．平面上两个方向中间的角和有顺序的一对方向中间的角196

2．有顺序的一对由向量规定的方向中间的角；它的公式197

3．两个方向的垂直条件198

47平面上有顺序的一对直线中间的角。两条直线的垂直条件198

1．平面上有顺序的一对直线中间的角；它用正切的规定法198

2．有顺序的一对直线中间角的正切，用这些直线在直角坐标里的斜率表达的公式199

3．两条直线的垂直条件，用这两条直线在直角坐标里的斜率来表达的式子199

4．有顺序的一对由普遍方程规定的直线中间的角，它的正切的公式和这样两条直线的垂直条件200

第三篇直线束。缩短记号的方法202

48直线束的方程202

1．直线束202

2．包含着两条已知直线的直线束的方程202

3．直线束方程的研究203

49 平面上三条直线相互位置的七种可能情形204

50 平面上的直线和空间中的向量的对比205

51 关於平面上的直线的缩短记号的方法。平面上任意直线的方程，作为组成三角形的三条直线方程的线性组合206

第四篇凸集合。线性不等式207

52凸集合。线性不等式组207

1．凸集合的定义和例子207

2．关於凸集合的交的定理209

3．凸外盖209

4．有限的点集合的凸外盖210

5．线性不等式组的几何意义211

53 三个线性不等式规定三角形的必要和充分的条件213

第四章椭圆，双曲线，抛物线217

第一篇椭圆219

54椭圆的仿射性质219

1．图形的仿射和度量性质219

2．任意的圆周，作为椭圆的特别情形220

3．图形的对称中心221

4．椭圆的中心221

5．椭圆与直线的相交222

6．椭圆的直径222

7．共轭直径223

55椭圆的对称轴。椭圆，作为圆周压缩的结果和作为圆周的正射影225

1．图形的对称轴225

2．椭圆的两条对称轴的存在225

3．椭圆作为圆周压缩的结果225

4．在不是圆周的椭圆中只有两条对称轴226

5．椭圆的半轴227

6．平面仿射变换的立方向227

7．椭圆作为圆周的正射影228

56关於椭圆的阿坡隆尼亚定理229

1．关於椭圆的第一个阿坡隆尼亚定理229

2．关於椭圆的第二个阿坡隆尼亚定理229

57椭圆旋转、变换的诱发230

1．平面上把椭圆变成自已的仿射变换用平面上把圆周变成自己的仿射变换来诱发230

2．椭圆旋转230

3．椭圆旋转的角231

4．平面上把椭圆变成自己的所有仿射变换的决定231

5．变换诱发的普遍方法232

6．椭圆旋转的公式233

58椭圆的标准方程和普遍形状234

1．椭圆的标准方程234

2．椭圆作为圆周压缩的结果234

3．椭圆的中心、轴线和顶点235

4．椭圆的面积236

59椭圆的直径（解析法）236

1．椭圆与直线的相交236

2．椭圆的直径238

3．共轭直径239

60椭圆的焦点、离心率、准线和焦参数240

1．椭圆的焦点和离心率240

2．椭圆的准线241

3．椭圆的焦参数241

61 椭圆的焦点性质242

62 椭圆的准线性质244

63椭圆的切线245

1．曲线的切线245

2．标准坐标里椭圆切线的方程246

3．椭圆切线作为角的平分线的性质248

64椭圆的主要作图251

1．仿射作图251

2．用仿射方法来完成仿射作图251

3．椭圆按着两个共轭半径的仿射作图252

4．椭图按着轴线的作图253

5．椭圆按着轴线的第二种作图254

6．椭圆规255

7．雷翁那陀·达·芬奇的镟床头256

8．椭圆的参数方程256

9．椭圆按着焦点和长轴的作图256

10．椭圆用纸片摺叠的作图257

11．椭圆的中心、轴线、焦点和准线按着它的周线的作图258

12．已知切点的椭圆切线的作图259

13．椭圆切线从椭圆外的点的作图260

第二篇双曲线260

65等边双曲线260

1．等边双曲线的定义260

2．等边双曲线对於渐近线的方程261

3．等边双曲线对於渐近线的方程的几何意义263

66双曲线的仿射性质：两个几何的定义，渐近线和中心264

1．一般双曲线的两个几何的定义264

2．双曲线的渐近线264

3．双曲线只有两条渐近线264

4．双曲线的中心265

5．共轭双曲线265

6．共渐近线的双曲线族266

67．双曲线的对称轴作为等边双曲线压缩结果的一般双曲线267

1．双曲线的对称轴267

2．顶点、实轴和虚轴268

3．双曲线的“外切长方形”268

4．作为等边双曲线压缩结果的一般双曲线269

68双曲旋转270

1．双曲旋转的定义和总的描述270

2．夹在双曲线和它的渐近线中间的面积的无限性272

3．把双曲线变成自己的任意仿射变换272

69双曲线的仿射性质：与直线的相交，直径273

1．关於在双曲旋转下直线的变换的引理273

2．双曲线与直线的相交274

3．双曲线的直径275

4．共轭直径277

5．共轭方向的作图278

70关於双曲线的阿坡隆尼亚定理279

1．关於双曲线的第一个阿坡隆尼亚定理279

2．关於双曲线的第二个阿坡隆尼亚定理279

71双曲旋转的系数和角。双曲函数280

1．双曲旋转的系数280

2．双曲旋转的角280

3．在双曲旋转的角和系数中间的函数关系281

4．双曲函数283

5．正双曲旋转的公式。用指数表示双曲函数的式子284

6．一般双曲旋转的公式285

7．罗伦兹变换286

72双曲线的标准方程和普遍形状286

1．双曲线的标准方程286

2．双曲线的中心和轴线287

3．双曲线的分支和渐近线288

73双曲线的直径（解析法）290

1．双曲线与直线的相交290

2．双曲线的直径292

3．共轭直径294

74双曲线的离心率、焦点、准线和焦参数295

1．双曲线的离心率295

2．双曲线的焦点和准线295

3．双曲线的焦参数296

75 双曲线的焦点性质296

76 双曲线的准线性质298

77双曲线的切线299

1．标准坐标里双曲线切线的方程299

2．渐近线是双曲线的切线当切点远在无穷远处时的极限位置301

3．双曲线切线作为平分线的性质302

4．双曲线的切线从渐近线中间的角所截下的面积303

78双曲线的主要作图303

1．双曲线按着渐近线和一个点的仿射作图303

2．双曲线按着焦点和实轴的作图304

3．双曲线用纸片摺叠的作图305

4．双曲线的中心、轴线、焦点、渐近线和准线按着它的周线的作图306

5．已知切点的双曲线切线的作图308

6．双曲线切线从双曲线外一个点的作图308

第三篇抛物线308

79 抛物线的普遍形状308

80抛物线的平行移动311

1．从抛物线y=kx2经过平行移动而得到的抛物线的普遍方程311

2．通过三个点的抛物线的引进法311

81 抛物旋转313

82抛物线与直线的相交。抛物线的直径315

1．抛物线与直线的相交315

2．抛物线的直径316

3．与抛物线的直径共轭的方向316

83任意抛物线的对称轴。所有抛物线的相似317

1．任意抛物线的对称轴的存在317

2．在以任意抛物线的顶点为原点、以对称轴为纵轴的直角坐标系统里，这个抛物线的方程317

3．所有抛物线的相似319

84 把抛物线变成自已的仿射变换319

85抛物线的标准方程。焦点，准线和焦参数320

1．抛物线的标准方程321

2．焦点，准线和焦参数322

86抛物线的直径（解析法）322

1．抛物线与直线的相交323

2．抛物线的直径323

87 抛物线的准线性质325

88抛物线的切线326

1．标准坐标里抛物线切线的方程326

2．抛物线切线作为平分线的性质328

89抛物线的主要作图329

1．抛物线按着切线、通过切点的直径和一个点的作图329

2．抛物线按焦点和准线的作图331

3．抛物线用纸片摺叠的作图331

4．抛物线的对称轴、焦点和准线按着它的周线的作图332

5．已知切点的抛物线切线的作图333

6．抛物线切线从抛物线外一个点的作图333

第四篇椭圆、双曲线和抛物线的族334

90共焦点的椭圆和双曲线334

1．共焦点的椭圆和双曲线的族的方程334

2．共焦点的椭圆族和共焦点的双曲线族的正交性334

91同位相似的椭圆、双曲线和抛物线的族335

1．两个变数函数的平准线335

2 同位相似的椭圆族的方程335

3．共渐近线的双曲线族的方程336

4．“同位相似”的抛物线336

92 椭圆、双曲线和抛物线对於顶点和通过焦点的轴线说的方程337

第五篇椭圆、双曲线和抛物线在极坐标里的方程338

93．极坐标338

1．极坐标的定义338

2．连系极坐标和直角坐标的公式339

3．在极坐标里的曲线方程的例子340

94椭圆、双曲线和抛物线在极坐标里的焦点方程340

第六篇椭圆、双曲线和抛物线作为圆锥截线341

95圆锥截线341

1．正圆锥曲面341

2．圆锥与不同倾斜度的平面相交341

3．椭圆作为圆锥截线342

4．双曲线作为圆锥截线343

5．抛物线作为圆锥截线344

6．椭圆和双曲线的准线344

96 二阶锥面345

97 椭圆、双曲线和抛物线作为圆周的透视345

第五章二阶曲线的一般理论347

第一篇二阶曲线利用雅可比的配平方法的仿射分类348

98曲线的仿射分类的原则348

1．图形的仿射类348

2．由已知次数的代数方程表达的曲线的仿射分类问题349

99用配平方的方法把带两个变数的二次多项式引向最简单的形状350

1．仿射等价的多项式350

2．用配平方的方法把带两个变数的二次多项式引向最简单的形状351

100二阶曲线的仿射分类355

1．二阶曲线的八个仿射类355

2．最简单的多项式的仿射不等价性359

101 从二阶曲线的方程应用配平方的方法求它的仿射类和它在平面上的位置的一些例子359

第二篇二阶曲线的归范方程、标准方程和仿射分类365

102 利用变数的正交变换把二元二次形式变成平方和366

103利用变数的正交变换把带两个变数的二次多项式变成归范多项式和标准多项式367

1．变成归范多项式的变换367

2．整理成标准形状369

104二阶曲线的仿射分类372

1．在直角坐标里由标准方程表达的曲线372

2．由同样形状的标准方程表达的二阶曲线的仿射等价性373

3．由不同形状的标准方程表达的二阶曲线的仿射不等价性376

4．二阶曲线的仿射类376

第三篇二阶曲线标准方程的参数利用不变量的计算法377

105关於二次形式的变换的定理377

1．二次形式的矩阵377

2．在变数的齐次线性变换下二次形式的变换378

3．在变数的齐次线性变换下二次形式的行列式的改变380

106 带两个变数的二次多项式的前两个不变量381

107 带两个变数的二次多项式的第三个不变量384

108 半不变量385

109 带两个变数的二次多项式的归范类型通过不变量和半不变量的检验法389

110 归范多项式的系数通过不变量和半不变量的计算法390

111 二阶曲线的类和它的标准方程利用不变量的决定法·总表394

112特别情形：圆周、等边双曲线和一对垂直线的方法的检验法400

1．表达圆周的二次方程的检验法400

2．表达等边双曲线的二次方程的检验法402

3．表达一对互相垂直的直线的二次方程的检验法402

113对於一般的笛卡儿坐标系统而言，带两个变数的二次多项式的度量不变量403

1．度量不变量403

2．前两个度量不变量405

3．第三个度量不变量406

4．度量半不变量407

114 在已知度量的任意标架里，从二阶曲线的已知方程求它的标准方程408

第四篇在原来的直角坐标系统的标架里，二阶曲线的位置409

115二阶中心曲线位置问题的解决410

1．把坐标原点平行移动到中心410

2．椭圆和双曲线的轴线412

3．一对相交的直线414

4．双曲线的渐近线415

5．例子415

116 抛物线位置问题的解决418

117 一对平行直线位置问题的解决424

第五篇在复二维空间里的二阶曲线428

118关於复二维空间428

1．定义428

2．直线的参数方程429

3．平面上用方向向量的坐标来规定方向430

4．变换成新的笛卡儿坐标431

119 二阶曲线与直线的交点432

120二阶曲线的渐近方向。椭圆型、双曲型和抛物型曲线435

1．渐近方向435

2．关於首项系数趋向於零的二次方程的根的引理435

3．二阶曲线的“无穷远点”436

4．椭圆型、双曲型和抛物型曲线437

121二阶曲线的中心439

1．决定中心的方程439

2．中心的和非中心的二阶曲线440

3．把坐标原点移到中心441

122二阶曲线的直径443

1．与已知的非渐近方向共轭的直径443

2．直径的方程443

3．二阶中心曲线的直径444

4．渐近线446

5．二阶非中心曲线的直径447

6．主直径448

7．二阶中心曲线对於共轭直径说的方程450

8．二阶非中心曲线对於直径和共轭方向的轴线说的方程450

9．把实二阶曲线的方程引向标准形状451

123二阶曲线的切线452

1．二阶曲线切线的代数形式上的定义452

2．切线的方程453

3．一对不重合直线的情形454

4．切线和直径中间的关系454

5．不可分解的二阶曲线、对於切线和通过切点的直径说的方程454

索引456