《微积分解题方法与技巧》求取 ⇩

第一章 关于函数问题的若干方法1

1.1 函数的四种表示法1

1.1.1 解析法1

1.1.2 列表法1

1.1.3 图示法1

1.1.4 叙述法1

1.2 函数定义域的表示法与求法1

1.2.1 函数定义域的表示法1

1.2.2 函数定义域的求法2

1.3 函数值和函数值域的求法4

1.3.1 函数值4

1.3.2 函数值域的求法5

1.4 反函数的图象和求法6

1.5 函数的作图法7

1.5.1 平移作图法7

1.5.2 伸缩作图法8

1.5.3 图形叠加法8

1.5.4 绝对值函数作图法8

1.5.5 分级函数作图法9

1.5.6 一般复合函数作图法9

1.5.7 利用f(x)的图形作f(-x)和-f(x)的图形10

1.5.8 极坐标方程作图法10

1.5.9 参变量方程作图法10

1.5.10 隐函数作图法11

1.5.11 微分作图法11

1.6.1 单调性判别性12

1.6 函数简单性质的判别法12

1.6.2 有界性判别法13

1.6.3 奇偶性判别法14

1.6.4 周期性判别法14

第二章 求极限的方法16

2.1 利用有关公式求极限16

2.2 求和式极限的部分分式法16

2.3 求乘积极限的商式法16

2.4 单调数列法17

2.5 利用数列的递推关系求极限17

2.6 级数法19

2.7 定积分法19

2.8 斯笃兹方法20

2.10 化简分式或实行有理化的方法21

2.9 不等式估值法21

2.11 变量代换法22

2.12 先取对数法22

2.13 利用函数极限与数列极限的关系求极限23

2.14 利用基本极限的结果求极限24

2.15 代替法24

2.16 洛必达法则25

2.17 展开法26

2.18 利用导数的定义求极限27

2.19 利用微分中值定理求极限27

2.20 利用积分中值定理求极限28

2.21 利用黎曼引理求极限28

2.22 二重极限29

2.24 幂级数的极限31

2.23 二次极限31

2.25 含参变量积分的极限32

第三章 求导数的方法33

3.1 复合函数求导法33

3.2 高阶导数33

3.3 反函数的导数34

3.4 隐函数的导数34

3.5 用参变量表示的函数的导数35

3.6 对数求导法35

3.7 根据函数的特性进行化简36

3.8 利用变量代换进行化简36

3.9 抽象函数求导法37

3.10 分段函数求导法37

3.12.1 用一阶偏导数的定义及一元函数的求导公式39

3.11 应用泰勒展开式求导数39

3.12 一阶偏导数的计算39

3.12.2 复合函数求导法40

3.12.3 隐函数求导法41

3.13 高阶偏导数的计算45

3.13.1 利用高阶偏导数的概念直接计算45

3.13.2 分段函数在分段点处的高阶偏导数45

3.13.3 二元函数的n阶偏导数46

3.13.4 复合函数的高阶偏导数46

3.13.5 隐函数的高阶偏导数48

3.14 全导数的计算49

3.15 方向导数的计算50

4.1.1 分解积分法51

4.1 不定积分的基本计算法51

第四章 一元函数积分法51

4.1.2 换元积分法52

4.1.3 分部积分法54

4.1.4 有理函数积分法57

4.1.5 包含二次三项式的最简积分58

4.1.6 三角有理函数的积分法59

4.1.7 某些无理函数的积分法61

4.1.8 一些特殊形式的不定积分问题63

4.2 定积分的基本计算法64

4.2.1 利用定义计算定积分64

4.2.2 利用牛顿--莱布尼兹公式65

4.2.3 定积分的换元积分法66

4.2.4 定积分的分部积分法68

4.2.5 利用定积分的性质及一些常用公式计算定积分69

4.2.6 定积分的近似计算法70

4.3 变上限的定积分71

4.4 广义积分73

4.4.1 两种类型广义分的计算法73

4.4.2 广义积分的审敛法75

4.5 若干综合题76

第五章 多元函数积分法79

5.1 二重积分的计算法79

5.1.1 适当选择积分次序79

5.1.2 适当选择坐标系80

5.1.3 利用被积函数和积分区域的对称性简化计算81

5.1.4 注意被积函数在不同分区域中的符号83

5.1.5 二重积分的换元84

5.1.6 利用格林公式将二重积分化为线积分86

5.1.8 利用二重积分解决定积分有关问题87

5.1.7 二重广义积分的计算87

5.2 三重积分计算法88

5.2.1 化为三次单积分88

5.2.2 利用不同坐标计算(三重积分的换元)88

5.2.3 计算三重积分的“先二后一”法89

5.2.4 “求围定顶”法91

5.3 曲线积分的计算法93

5.3.1 第一型曲线积分的计算93

5.3.2 第二型曲线积分的计算95

5.4 曲面积分的计算法100

5.4.1 第一型曲面积分的计算100

5.4.2 第二型曲面积分的计算101

6.1.1 直接判定法107

6.1.2 正项级数收敛准则107

第六章 有关级数问题的方法107

6.1 数项级数敛散性的判定方法107

6.1.3 比较判敛法108

6.1.4 拉阿伯判敛法111

6.1.5 积分判敛法111

6.1.6 对数判敛法112

6.1.7 任意项级数的收敛准则113

6.1.8 莱布尼兹敛法113

6.1.9 狄里赫利判敛法115

6.2 幂级数解题方法117

6.2.1 收敛半径的确定117

6.2.2 函数展开成幕级数的方法119

6.2.3 求幂级数和函数的方法122

6.2.4 利用幂级数求数项级数的和125

6.3 付立哀级数展开方法127

6.3.1 正交函数族的讨论127

6.3.2 周期函数的付立哀级数展开128

6.3.3 在有限区间上定义的函数的付立哀展开130

6.3.4 利用付立哀展开求数项级数的和133

6.3.5 复数形式的付立哀级数135

6.4 一致收敛性的判敛方法136

第七章 微分方程的解法138

7.1 一阶微分方程的解法138

7.1.1 分离变量法138

7.1.2 可化为齐次的微分方程的解法139

7.1.3 可化为线性的微分方程的解法142

7.1.4 全微分方程的解法145

7.1.5 隐式微分方程的解法150

7.2 某些高阶微分方程的解法152

7.3 常系数线性微分方程的解法156

7.3.1 待定系数法156

7.3.2 微分算子法158

7.3.3 降价法161

7.3.4 常数变易法162

7.3.5 “共轭方程”法163

7.4 变系数线性微分方程的解法164

7.4.1 欧拉方程及其它某些微分方程的解法164

7.4.2 二阶线性微分方程的解法165

7.5 常系数线性微分方程组的解法168

8.1.2 极坐标方程曲线作图172

8.1.1 函数作图的方法与步骤172

第八章 一些应用题的解法172

8.1 用微分的方法作函数的图形172

8.2 空间曲线的切线法平面方程和曲面的切平面、法线方程173

8.2.1 空间曲线的切线与法平面方程173

8.2.2 曲面的切平面和法线方程174

8.3 极值问题的解法175

8.3.1 二元函数无条件极值的求法175

8.3.2 二元函数条件极值的求法178

8.3.3 最大值与最小值的求法180

8.4 面积、体积和弧长的求法181

8.4.1 求平面图形的面积181

8.4.2 求空间体体积185

8.4.4 求曲面的面积188

8.4.3 求曲线弧的长度188

8.5 质量、重心及转动惯量等的求法190

8.5.1 求物体的质量190

8.5.2 求物体的重心或质心191

8.5.3 求物体的转动惯量191

8.5.4 求变力所做的功192

8.5.5 求引力、通量、环流量等192

8.6 有关级数的一些应用题的解法195

8.6.1 数值计算195

8.6.2 幂级数在解微分方程中的应用199

8.7 有关微分方程的一些应用题的解法200

第九章 几种常用的论证方法206

9.1 几种常用的论证方法206

9.1.1 分析性证明法206

9.1.2 综合性证明法208

9.1.3 构造性证明法209

9.1.4 归纳性证明法210

9.1.5 反证性证明法211

9.1.6 反例性证明法211

9.1.7 计算性证明法212

9.2 证明不等式的方法212

9.2.1 配方法212

9.2.2 逐项比较法213

9.2.3 归纳法213

9.2.4 放缩法214

9.2.6 利用微分中值定理215

9.2.7 利用泰勒公式215

9.2.5 利用导数215

9.2.8 凸函数法216

9.2.9 利用级值和最值217

9.2.10 判别式法218

9.2.11 利用定积分的定义218

9.2.12 利用定积分的质性219

9.2.13 利用积分中值定理220

9.2.14 将定积分化为重积分220

9.3 证明方程根的存在性的方法221

9.3.1 利用连续函数的介值定理221

9.3.2 利用函数的单调性221

9.3.3 利用微分中值定理222

9.3.4 利用最大值与最小值定理223

9.3.5 利用积分中值定理223