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第一章 气体动力学基础1

一、气体动力学问题的数学模型1

1．1 连续介质的定义1

1．2 连续介质的特点2

1．3 描写连续介质运动的拉格朗日坐标与欧拉坐标4

1．4 拉格朗日坐标与欧拉坐标之间的关系5

二、积分形式的气体动力学方程7

2．1 欧拉变量的气体动力学方程7

2．2 拉格朗日变量的气体动力学方程11

2．3 一维气体流动的积分方程12

三、微分形式的气体动力学方程14

3．1 欧拉变景的微分方程14

3．2 拉格朗日变量的微分方程16

3．3 一维不定常气体运动的微分方程18

3．4 拉格朗日质量坐标下的气体动力学方程19

3．5 拉格朗日质量坐标下气体动力学问题的特点21

3．6 柱对称和球对称流动的拉格朗日坐标23

3．7 体积改变法则27

3．8 能量方程的不同形式28

四、 一维不定常双曲型气体动力学方程组32

4．1 气体动力学问题的声学近似32

3．9 拉格朗日坐标下的积分方程32

4．2 声速35

4．3 拟线性双曲型方程组37

4．4 气体力学方程组的特征形式38

4．5 黎曼（Riemann）不变量40

五、间断解43

5．1 间断关系式43

5．2 接触间断45

5．3 激波——雨果尼奥（Hugoniot）绝热曲线45

5．4 理想气体中的激波46

5．5 切姆普林（Цимплен）理论48

5．6 强激波的极限解49

六、激波波阵的结构51

6．1 问题的提法51

6．2 粘性介质激波波阵的结构53

6．3 有热传导的激波波阵结构56

6．4 等温跳跃58

七、活塞问题59

7．1 问题的提法59

7．2 自模拟解60

7．3 活塞向气体作加速运动的问题63

7．4 活塞背向气体运动的问题65

8．1 问题的提法69

八、黎曼问题69

8．2 问题的解析解70

九、变截面管道流动的气体动力学方程组72

9．1 欧拉坐标下的基本方程组72

9．2 拉格朗日坐标下的基本方程组75

第二章 气体动力学方程组的完全守恒型差分格式77

一、差分格式的基本概念77

1．1 概述77

1．2 网格77

1．4 微分算子的差分逼近79

1．3 网格函数和网格函数的范数79

1．5 逼近误差80

1．6 用差分方程逼近微分方程81

1．7常用符号和公式85

二、数值计算中的非等步长问题86

2．1 概述86

2．2 格距逐渐变化的非均匀网格89

2．3 被广泛采用的一种格距逐渐变化的非均匀网格差分格式90

2．4 坐标变换法92

2．5 结束语93

3．1 差分问题的提法94

三、守恒型差分格式与非守恒型差分格式94

3．2 建立气体力学差分格式的例子95

3．3 差分格式的分析98

3．4 守恒型差分格式和非守恒现象的例子101

3．5 积分插值法106

3．6 气体力学方程组守恒型格式的分析108

四、完全守恒型差分格式109

4．1 问题的提法109

4．2 格式的完全守恒条件112

4．3 守恒型差分格式族的分析115

4．4 柱对称和球对称气体力学方程的完全守恒型差分格式族117

4．5 一维变截面管道内流动的完全守恒型差分格式族119

五、齐次差分格式和人工粘性123

5．1 概述123

5．2 间断解的计算123

5．3 人工粘性125

5．4 边界结点上的差分格式128

5．5 大面积计算时计算范围的确定法130

5．6 网格上的积分关系130

5．7 两种气体的分界面132

六、数值计算结果134

6．1 实验课题的选择134

6．3 隐式非守恒余项的估计135

6．2 按非守恒型差分格式的计算结果135

6．4 守恒型差分格式积分形式余项的估计137

6．5 守恒型格式与完全守恒型格式的差别138

七、热传导方程的差分格式141

7．1 热传导方程的守恒型差分格式141

7．2 热导率的逼近143

7．3 边界条件的提法145

7．4 某些解析解147

一、差分格式稳定性的理解151

1．1 格式的收敛性151

第三章 气体力学差分格式的稳定性151

1．2 差分格式的适定性与稳定性152

1．3 声学方程——气体力学方程的线性模型154

1．4 线性传输方程155

二、传输方程差分格式的稳定性、谱方法和极值原理156

2．1 传输方程的差分格式156

2．2 调和法157

2．3 差分格式y？+ays=0的稳定性分析158

2．4 谱方法158

2．5 差分格式y?+ays=0的稳定性分析159

2．6 极大值原理160

2．7 几何解释161

2．8 中心差分格式164

2．9 隐式差分格式164

三、差分格式稳定性分析的能量方法169

3．1 一些定义169

3．2 共轭算子170

3．3用能量法分析差分格式的稳定性171

四、包含两个方程的方程组差分格式的稳定性174

4．1 用调和法分析“十字”差分格式的稳定性174

4．2 微分问题的能量关系式176

4．3 差分格式的能量关系式177

4．4 完全守恒型差分格式的稳定性178

4．5 显式完全守恒型格式的改进及稳定性分析182

4．6 变截面管道流动完全守恒型差分格式的稳定性183

4．7 “十字”格式稳定的充分条件184

五、粘性对差分格式稳定性的影响186

5．1 带粘性的传输方程186

5．2 格式yi+ay?=vys?的稳定性187

5．3 带粘性的“十字”格式的稳定性188

5．4 带粘性的传输方程的中心差分格式189

六、热传导方程差分格式的稳定性190

6．1 稳定性的必要条件190

6．2 稳定性的充分条件192

6．3 渐近稳定性194

七、用能量法分析热传导方程混合问题的平均稳定性196

7．1 热传导方程混合问题及四点隐式格式196

7．2 平均稳定性定义197

7．3 差分计算中的符号和恒等式198

7．4 四点隐式格式的平均稳定性199

7．5 热传导方程混合问题六点隐式格式的平均稳定性201

八、其它几种分析稳定性的方法203

8．1 赫特（Hirt）启发式分析法203

8．2 离散点扰动的稳定性分析207

8．3 冯·诺依曼（Von Neumann）稳定性分析211

8．4 冯·诺依曼方法在多维问题上的应用214

九、稳定性理论的实际应用216

9．1 用赫特启发式分析法对一维气体动力学方程的鲁萨诺夫（Pycaнов）格式进行改进216

9．2 冯·诺依曼方法对变截面管道流动问题差分格式的稳定性分析219

9．3 数值计算中某些摆动现象的分析223

9．4 冯·诺依曼方法对变截面管道流动问题的完全守恒型差分格式的稳定性分析225

第四章 气体动力学方程组差分格式的求解229

一、显式格式及简单迭代法229

1．1 显式格式的求解229

1．2 隐式格式的简单迭代法230

1．3 迭代过程的收敛性231

2．1 求解非线性方程的牛顿法233

二、牛顿法和追赶法233

2．2 追赶法235

2．3 矩阵追赶法238

三、牛顿法在气体力学差分方程中的应用240

3．1 等温情形240

3．2 迭代过程的收敛性245

3．3 牛顿迭代法在等温激波计算中的收敛条件251

3．4 绝热情况隐式完全守恒格式的牛顿迭代公式252

四、边界条件256

4．1 速度的边界条件256

4．2 压力的边界条件257

5．1 方程组的无量纲化259

五、对求解气体力学问题的一些建议259

5．2 程序设计的模块化263

5．3 利用准确解调试程序264

六、用完全守恒型格式计算黎曼问题的算例265

6．1 问题的提法265

6．2 数值结果的分析及比较265

附录269

附录1 隐式完全守恒格式计算黎曼问题的框图及程序269

附录2 欧拉坐标下的一个气体力学完全守恒型差分格式273

参考文献278