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绪论1

第1篇条件独立性和两参数鞅11

1 预备知识13

1.1 常用记号13

1.2 两参数随机过程的基本概念15

1.3 单调类和复合函数定理18

1.4 单参数马尔可夫链20

1.5 条件独立性25

2 两参数鞅35

2.1 单参数鞅35

2.2 各类两参数鞅37

2.3 两参数鞅的轨道正则性40

2.4 两参数逆鞅48

第2篇两参数马尔可夫过程的基本理论53

3 各种两参数马尔可夫性55

3.1 单点马氏性55

3.2 宽过去马氏性56

3.3 宽将来马氏性58

3.4 i 马氏性58

3.5 *马氏性60

3.6 Levy 马氏性60

3.7 等价关系61

3.8 蕴含关系64

3.9 反例70

3.10 强芽马氏性72

3.11 A 过程的马氏性76

3.12 关系图78

4.1 单点转移函数族79

4 单点马尔可夫过程79

4.2 单点马氏过程的单向转移82

4.3 齐次情形和双向随机游动83

5 宽过去马氏过程的一般理论85

5.1 三点转移函数族的定义和例85

5.2 规则的宽过去马氏过程87

5.3 马氏初值的规则宽过去马氏过程93

5.4 宽过去马氏过程的强马氏性96

5.5 化为单参数情形101

5.6 在梯形域上的预测105

5.7 样本函数的有界性108

5.8 样本函数的灯函数性和阶梯性110

5.9 样本函数的连续性114

5.10 样本函数在固定点的连续性117

5.11 在马氏过程上生长马氏过程120

第3篇状态可列的两参数三点转移函数族133

6 状态可列的三点转移函数族135

6.1 基本概念135

6.2 关系定理137

6.3 可测性和远近极限141

6.4 可测族的表现定理145

6.5 近极限函数的性质149

7 三点转移函数族的标准性和参数对称性155

7.1 标准性和状态偶空间的分解155

7.2 参数对称型的若干结果158

7.3 在坐标轴上的扩充167

7.4 偏导数的存在性和四个偏微分方程组168

第4篇几类重要的两参数马尔可夫过程171

8.1 多参数随机游动的定义173

8 两参数随机游动173

8.2 RW2的各种两参数马氏性176

8.3 RW2的单点和三点转移函数族178

8.4 RW2的常返性180

8.5 RW?的周期性181

9 两参数独立增量过程：Levy单189

9.1 Levy 单189

9.2 Levy 单的表现和构造190

9.3 Levy-Ito 轨道分解196

9.4 Levy 单的样本函数201

9.5 Levy 单的 Levy 马氏性202

9.6 Levy 单的局部性质206

9.7 广义 Levy 单及其相关随机过程213

10.2 两参数平稳流221

1O 两参数随机事件流221

10.1 两参数流221

10.3 两参数平稳无后效流223

11 Poisson 单和广义 Poisson 单230

11.1 广义 Poisson 单230

11.2 广义 Poisson 单的基本性质231

11.3 Poisson 单的等价定义234

11.4 广义 Poisson 单的截口定理237

11.5 广义 Poisson 单的各种马氏性238

11.6 广义 Poisson 单不存在三点转移函数族239

11.7 广义 Poisson 单的存在定理241

11.8 广义 Poisson 单的第二存在定理244

11.9 Poisson 单的鞅刻划244

11.10 广义 Poisson 单的跳线与轨道245

11.11 广义 Poisson 单样本函数的刻划250

11.12 广义 Poisson 单在射线上的导出过程252

12 Brown 单253

12.1 白噪声与 Brown 单253

12.2 Brown 单的导出过程254

12.3 鞅性与0—1律255

12.4 样本函数的连续性256

12.5 强马尔可夫性和反射原理260

12.6 奇点蔓延263

12.7 Levy 马氏性266

12.8 水平曲线269

12.9 广义 Brown 单271

13 两参数 Ornstein-Uhlenbeck 过程272

13.1 定义272

13.2 基本性质273

13.3 各种马氏性275

13.4 在射线上的导出过程277

13.5 奇点蔓延281

13.6 转移概率及预测286

第5篇马尔可夫型两参数随机微分方程293

14 作为随机微分方程解的两参数马氏过程295

14.1 马氏型两参数随机微分方程295

14.2 记号和 Yeh 定理295

14.3 马氏型方程的解297

14.4 马氏型方程解的各种马氏性302

14.5 较强条件下马氏型方程的解及其估计307

14.6 较强条件下马氏型方程解的宽过去强马氏性311

注释315

参考文献317

索引337