《数学猜想》求取 ⇩

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一、从勾股定理到费尔马大定理3

(一)从勾股三角形谈起3

(二)勾股数5

(三)问题的拓广和特例12

1.由“变”到“常”,由“常”到“变”12

2.由相同到相异17

3.由多到少,由少到多27

4.由特殊到一般,由一般到特殊32

5.由形到数,由数到形45

6.从数的性质提出问题50

7.由类比提出问题54

(四)一条著名的旁注57

二、费尔马大定理的探讨60

(一)n=4的费尔马大定理60

(二)关于n=3的欧拉证明63

1.欧拉关于n=3的证明64

2.根式环66

3.关于两平方数之和70

4.一个引理的证明77

5.关于两个平方数之和的若干注80

(三)关于n=3的一个初等证明86

(四)从勒浪德到库姆尔98

1.关于n=5和n=7,分圆整数98

2.代数数论基本知识100

3.关于正则素数104

4.其他一些结果105

(五)费尔马大定理研究的一些新成果106

1.考虑结论反面的必要条件106

2.充分条件108

(六)简评109

三、费尔马大定理与莫德尔猜想114

(一)莫德尔猜想114

(二)解不定方程的一般性问题116

(三)几个重要结果117

1.曲线的沙发列维奇猜想117

2.阿贝尔簇的沙发列维奇猜想118

3.有界高度原理118

4.同源下高的行为119

5.泰特猜想119

(四)莫德尔猜想的证明120

(五)从莫德尔猜想到费尔马大定理122

四、哥德巴赫猜想123

(一)猜想的提出123

(二)悲观的预言与惊人的成果125

(三)圆法126

(四)筛法136

五、地图着色与四色猜想143

(一)四色猜想的提出143

1.什么叫四色猜想143

2.先生问学生和学生问先生144

(二)早期的证明和五色定理145

1.凯利的呼吁145

2.另辟蹊径146

3.约当曲线和欧拉定理146

4.五色定理149

5.肯普的证明150

(三)四色猜想的证明152

1不可避免组和可约构形152

2.公开宣称的一种信念153

3.等价的形式153

4.可约性障碍和放电154

5.新的困难155

6.人机合作证明了四色猜想155

7.解决地图四色问题的重大意义156

(四)平面图156

(五)线(边)着色159

(六)顶点着色163

(七)全色猜想167

六、提出数学猜想的若干方法169

(一)不完全归纳法169

(二)类比法172

(三)变换条件法175

(四)物理模拟法176

(五)联系观察法176

(六)逐级猜想法180

七、判定数学猜想真伪性的几个途径182

(一)举例否定182

(二)逐次趋近185

(三)命题转化188

(四)反证法189

八、数学猜想的艰难性193

(一)有一个逐步完善的过程193

(二)时间长与途径曲折195

1.时间长195

2.途径曲折196

(三)有时得不到多数人的承认201

九、数学猜想的类型、特征与意义204

(一)数学猜想的类型204

1.存在型猜想204

2.规律型猜想205

3.方法型猜想205

(二)数学猜想的特征207

1.真伪的待定性207

2.思想的创新性208

3.目标的具体性209

(三)研讨数学猜想的重要意义210

1.丰富数学理论210

2.促进数学方法论的研究213

3.推动潜科学学的探讨215

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