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(上册)1

第一章函数、极限、连续1

1.1 函数1

1.1 预备知识1

1.2 函数的概念及其图形4

1.3 函数值的计算，分段函数6

1.4 函数的几种常见性态7

1.5 反函数9

1.6 函数的四则运算及复合运算11

1.7 基本初等函数的性质与图形13

1.8 初等函数与几个作图方法18

1.9 双曲函数21

1.10 本节小结23

习题1.124

1.2 极限与连续的概念26

2.1 数列的极限27

2.2 函数在无穷远处的极限29

2.3 函数在一点的极限31

2.4 单侧极限33

2.5 函数连续的概念34

2.6 函数极限与数列极限的关系36

习题1.237

1.3 极限与连续的基本性质38

3.1 一般变量的极限38

3.2 无穷小与无穷大39

3.3 保序性定理及其推论41

3.4 极限与连续的四则运算法则43

3.5 复合函数的极限与连续45

3.6 初等函数的连续性46

3.7 函数的间断点及其分类47

习题1.348

3.8 幂指函数的极限48

1.4 极限存在的准则与两个重要极限50

4.1 夹逼定理50

4.2 重要极限？=151

4.3 单调有界变量必有极限准则52

4.4 重要极限lim(1+？)x=e54

4.5 无穷小、无穷大的比较56

4.6 本节小结59

习题1.460

1.5 闭区间上连续函数的性质62

5.1 介值定理62

5.2 最值定理63

5.3 反函数的连续性定理64

习题1.564

1.1 导数的定义65

2.1 导数的概念65

第二章 导数与微分65

1.2 求导的例68

1.3 单侧导数、无穷导数70

1.4 可导与连续的关系71

习题2.172

2.2 求导的运算法则73

2.1 求导的四则运算法则74

2.2 复合函数的求导公式——链锁法则75

2.3 反函数的求导公式78

2.4 隐函数的求导法79

2.5 参数式函数的求导法81

2.6 导数的基本公式与求导的运算法则小结82

2.7 相关变率问题83

习题2.284

3.1 高阶导数的概念88

2.3 高阶导数88

3.2 函数乘积的n阶导数公式90

习题2.392

2.4 微分93

4.1 微分的定义93

4.2 可微与可导的关系。微分的几何意义94

4.3 微分的运算法则96

4.4 微分在近似计算中的应用97

4.5 本节小结100

习题2.4101

第三章 微分中值定理与导数的应用103

3.1 微分中值定理103

1.1 费尔马定理——极值的必要条件103

1.2 微分中值定理105

习题3.1108

3.2 罗必塔法则110

习题3.2115

3.3 泰勒公式117

习题3.3121

3.4 利用导数作函数的图形122

4.1 函数单调性判别法122

4.2 函数极值判别法125

4.3 曲线的凹凸性与拐点127

4.4 函数的渐近线130

4.5 利用导数作函数的图形133

习题3.4135

3.5 最值问题应用举例137

习题3.5140

3.6 曲率142

6.1 曲率的概念及其计算公式142

6.2 曲率半径与曲率圆145

习题3.6146

6.3 曲率中心的计算公式146

3.7 方程近似根的求法147

7.1 二分法147

7.2 切线法149

习题3.7151

第四章 定积分、不定积分及其计算152

4.1 定积分的概念与性质152

1.1 曲边梯形面积的求法152

1.2 定积分的定义154

1.3 重要的可积性定理156

1.4 定积分的性质156

1.5 第一中值定理159

习题4.1160

2.1 原函数与不定积分的概念161

4.2 不定积分的概念与性质161

2.2 基本积分公式表163

2.3 分项积分法164

习题4.2165

4.3 积分学基本定理165

3.1 变上限积分166

3.2 牛顿-莱布尼兹公式167

习题4.3169

4.4 换元积分法与分部积分法171

4.1 不定积分的第一换元积分法171

4.2 不定积分的第二换元积分法176

习题4.4(a)179

4.3 定积分的换元积分法180

习题4.4(b)185

4.4 分部积分法186

4.5 基本积分公式表二190

4.6 积分表的查法191

习题4.4(c)192

4.5 几类函数的一般积分法193

5.1 有理函数的积分法194

5.2 三角有理式的积分197

5.3 简单无理函数的积分198

习题4.5199

4.6 定积分的近似计算法199

6.1 梯形法200

6.2 中矩形法201

6.3 辛普森法202

习题4.6206

4.7 广义积分206

7.1 无穷积分207

7.2 瑕积分209

习题4.7212

第五章 定积分的应用与微分方程初步214

5.1 定积分在几何上的应用214

1.1 定积分的微元法214

1.2 平面图形的面积216

1.3 依平行截面的面积求立体的体积218

1.4 平面曲线的弧长221

1.5 旋转面面积的求法227

习题5.1229

5.2 定积分在物理上的应用232

2.1 变力下直线运动所作的功232

2.2 引力的计算234

2.3 交流电路的平均值问题235

习题5.2238

3.1 常微分方程的概念241

5.3 微分方程初步241

3.2 可分离变量方程的解法244

3.3 一阶线性微分方程的解法246

3.4 本节小结249

习题5.3249

第六章 空间解析几何252

6.1 空间直角坐标系252

1.1 空间直角坐标系252

1.2 两点的距离255

习题6.1256

6.2 空间向量的概念及其线性运算256

2.1 空间向量的概念257

2.2 向量的加减法258

2.3 向量的数乘259

2.4 向量的坐标表示261

2.5 向量的模与方向余弦的计算公式263

习题6.2265

6.3 向量的乘积266

3.1 两向量的数量积266

3.2 三阶行列式268

3.3 两向量的向量积268

3.4 三向量的混合积272

3.5 三向量的向量积274

习题6.3275

6.4 平面及其方程276

4.1 平面的点法式方程与一般方程276

4.2 点到平面的距离279

4.3 平面图形的画法280

习题6.4282

6.5 空间直线及其方程284

5.1 空间直线的方程284

5.2 两直线、两平面及直线与平面的夹角287

5.3 平面束289

习题6.5290

6.6 曲面及其方程292

6.1 曲面的一般方程与参数方程293

6.2 柱面295

6.3 旋转曲面297

习题6.6299

6.7 空间曲线及其方程300

7.1 曲线的一般方程与参数方程300

7.2 曲线在坐标面上的投影301

7.3 曲线的一般方程与参数方程的互化302

习题6.7304

6.8 二次曲面的方程304

8.1 椭球面305

8.2 抛物面306

8.3 双曲面307

8.4 直纹面309

习题6.8309

附录高等数学的理论、方法与习题再讨论311

1 函数、极限、连续311

1.1 理论与方法讨论311

1 本书关于函数、极限、连续有什么特点？311

2 函数的现代定义是如何表述的？311

3 函数一节的重点是什么？312

4 若极限？(x)存在且极限？(x)不存在，问极限？［f(x)±g(x)］与？(x)g(x)是否存在？312

5 如何用ε-δ语言表述极限？(x)≠B？312

6 较一般的复合函数求极限的定理是什么？313

7 若角x用一周等于360度的度作单位，则？等于多少？313

8 符号“о”、“～”、“О”的一般含义是什么？313

10 符号“о”与“О”参加运算时，是否有交换律与传递律？314

9 о(u)的运算性质是什么？314

1.2 习题选解、提示与补充举例315

2 一元函数微分学317

2.1 理论与方法讨论317

1 第二章导数与微分的要点是什么？317

2 本书中值定理与导数的应用一章有什么特点？318

3 函数f在点α可导,是否在α点的某邻域上连续？318

4 分段函数在分界点上单侧导数的求法319

5 带皮亚诺余项的泰勒公式319

6 用导数证明不等式的方法321

2.2 习题选解、提示与补充举例322

3 一元函数积分学326

3.1 理论与方法讨论326

1 本书一元函数积分学有什么特点？326

2 牛顿-莱布尼兹公式的其他形式326

4 奇偶函数在对称区间上不定积分的性质328

3 原函数与不定积分在概念上要注意什么？328

5 不定积分两种换元积分法的关系329

6 分段函数原函数的求法329

7 改进的第一积分中值公式330

8 改进的第一积分中值公式的一个应用是否正确？331

9 在闭区间上连续或逐段连续的函数，其定积分存在的简单证明332

3.2 习题选解、提示与补充举例335

4 空间解析几何338

理论与方法讨论338

1 向量的运算与运算中的注意点338

2 两向量间垂直与平行的充要条件338

3 向量的点乘有哪些用处？338

4 两直线共面的充要条件339

5 两直线的距离公式339

答案340