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第0章 导读——改革解题训练1

§0-1波利亚式的学生1

§0-2数学创造的心智活动规律1

目录1

§0-3努力克服传统教学方法中的弊端4

§0-4怎样解题5

§0-5对怎样使用《指导》的建议9

§0-6几个常用数学符号的意义12

第一章 函数与极限13

§1-1函数13

Ⅰ内容提要13

（1）函数的定义13

（2）函数可能具有的几种重要几何特性14

（5）初等函数15

（6）非初等函数15

（3）反函数的定义15

（4）复合函数的定义15

Ⅱ解题方法分类指导与范例16

（1）确定函数的定义域和值域16

（2）函数符号的运用22

（3）按定义证明函数的几何特性27

（4）求已知函数的反函数32

（5）函数的作图（制曲线）法33

（6）综合题38

Ⅲ课堂练习题及其说明48

Ⅳ补充题60

（2）收敛数列的基本性质63

（1）数列极限的定义63

（3）数列极限存在的判别法63

Ⅰ内容提要63

§1-2数列的极限63

（4）数列极限的四则运算法则64

Ⅱ解题方法分类指导与范例64

（1）根据定义验证极限64

（2）应用极限运算法则求极限69

（3）应用数列极限存在的判别法，证明或计算数列的极限74

（4）应用重要极限？lim（1+1/n）n=e求极限77

（5）求通项由递推关系式给出的数列的极限79

（6）综合题83

Ⅲ课堂练习题及其说明89

Ⅳ补充题104

§1-3函数的极限106

Ⅰ内容提要106

（1）函数极限的定义106

（2）函数极限的性质106

（3）函数极限存在的判别法108

（4）函数极限的四则运算法则109

（5）两个重要极限109

Ⅱ解题方法分类指导与范例109

（1）根据定义验证函数的极限109

（2）应用函数极限存在的判别法则求极限112

（3）应用极限的四则运算法则求极限113

（4）应用两个重要极限求极限116

（5）应用变量代换方法求极限118

（6）综合题119

Ⅲ课堂练习题及其说明128

Ⅳ补充题137

§1-4无穷小量的比较140

Ⅰ内容提要140

（1）lim？αβ=A140

（2）无穷小量代换定理140

Ⅱ解题方法分类指导与范例141

（6）符号：O(β),o(β)141

（1）证明在同一极限过程中的两个无穷小量是等价，同阶，或一个较另一个是高阶的无穷小量141

（4）高阶无穷小量141

（5）K阶无穷小量141

（3）当x→0时，有sinx～x,tgx～x,1-cosx～1/2x2,ex-1～x,ln(1+x)～x,？-1～？1/2x141

（2）在同一极限过程中的几个无穷小量，取定一个作为比较的标准，问，其它无穷小量是它的几阶无穷小量？143

（3）应用等价无穷小量代换定理求极限145

Ⅲ课堂练习题及其说明146

Ⅳ补充题149

§1-5连续函数150

Ⅰ内容提要150

（1）连续函数的定义150

（2）间断点151

（3）连续函数的运算151

（4）初等函数在它们的定义域上是连续的151

（5）函数一致连续的定义151

（1）根据定义证明函数的连续性和一致连续性152

Ⅱ解题方法分类指导与范例152

（6）在闭区间上连续函数的重要性质152

（2）函数连续性的研究153

（3）在闭区间上连续函数性质的应用154

（4）应用函数的连续性求极限156

（5）综合题159

Ⅲ课堂练习题及其说明165

Ⅳ补充题168

§1-6第一章 参考题170

第二章 微分学174

§2-1导数及其运算174

Ⅰ内容提要174

（1）导数的定义174

（2）导数的几何意义174

（3）函数在一点处可导与连续的关系175

（4）求导数的方法175

（5）高阶导数及其计算法177

Ⅱ解题方法分类指导与范例178

（1）函数的导数概念178

（2）求（计算）导数的方法183

（3）综合题194

Ⅲ课堂练习题及其说明201

Ⅳ补充题206

§2-2微分及其应用210

Ⅰ内容提要210

（1）微分的定义210

（2）可微与可导的关系211

（3）微分的几何意义211

（4）微分的基本公式和运算法则211

（5）微分形式的不变性212

（6）高阶微分212

（7）微分的应用213

Ⅱ解题方法分类指导与范例214

（1）求函数在给定点处的增量和微分214

（2）求函数的微分214

（3）求高阶微分217

（4）利用微分作近似计算217

Ⅲ课堂练习题及其说明220

Ⅳ补充题223

2-3中值定里224

Ⅰ内容提要224

（1）罗尔定理224

（2）拉格朗日中值定理224

（3）柯西中值定理224

Ⅱ解题方法分类指导与范例225

（1）验证函数在给定区间上满足中值定理的条件225

和结论225

所在的区间（根的分离）227

（2）运用中值定理判断方程实根的个数以及实根227

（3）运用中值定理证明不等式229

（4）运用中值定理进行推理证明230

（5）综合题233

Ⅲ课堂练习题及其说明239

§2-4未定型极限、泰勒（Taylor）公式242

Ⅰ内容提要242

（1）求未定型的极限（罗必塔法则）242

（2）泰勒公式243

Ⅳ补充题244

Ⅱ解题方法分类指导与范例245

（1）求未定型的极限（罗必塔法则）245

（2）泰勒公式256

Ⅲ课堂练习题及其说明272

Ⅳ补充题276

§2-5导数的应用277

Ⅰ内容提要278

（1）函数的增减性与极值278

（2）函数在区间上的最大值和最小值278

（3）曲线的凹凸与拐点279

（4）曲线的渐近线279

Ⅱ解题方法分类指导与范例280

（1）讨论函数的单调增减性和极值280

（2）最大、最小值问题284

（3）求函数图形的拐点289

（4）作函数的图形292

（5）证明不等式294

（6）综合题297

Ⅲ课堂练习题及其说明302

Ⅳ补充题306

§2-6第二章 参考题308

（2）基本积分公式314

（1）原函数与不定积分的概念314

第三章 不定积分314

内容提要314

§3-1不定积分的概念与计算方法314

（3）不定积分的基本性质315

（4）基本积分法316

Ⅱ解题方法分类指导与范例317

（1）直接积分法318

（2）换元积分法320

（3）分部积分法334

（4）综合题345

Ⅲ课堂练习题及其说明367

Ⅳ补充题375

§3-2几类特殊初等函数的积分法380

Ⅰ内容提要380

（1）有理函数的积分法380

（2）三角函数有理式的积分法382

Ⅱ解题方法分类指导与范例386

（1）有理函数的积分386

（2）三角函数有理式的积分392

（3）简单无理函数的积分399

（4）综合题406

Ⅲ课堂练习题及其说明447

Ⅳ补充题460

§3-3第三章 参考题464

第四章 微分方程初步469

§4-1微分方程的基本概念、一阶微分方程469

Ⅰ内容提要469

（1）微分方程的基本概念469

（2）一阶微分方程470

（1）可分离变量的微分方程的解法472

Ⅱ解题方法分类指导与范例472

（2）一阶线性方程的解法478

（3）综合题487

Ⅲ课堂练习题及其说明495

Ⅳ补充题499

§4-2二阶微分方程501

Ⅰ内容提要501

（1）二阶微分方程的概念501

（2）三类可降阶的二阶微分方程501

（3）二阶线性微分方程的基本概念502

Ⅱ解题方法分类指导与范例503

（1）可降阶的二阶微分方程的解法503

（2）二阶常系数线性齐次微分方程的解法507

（3）二阶常系数线性非齐次微分方程的求解步骤514

Ⅲ课堂练习题及其说明524

Ⅳ补充题530

§4-3第四章 参考题532

Ⅰ内容提要536

§5-1定积分的概念与性质536

（1）定积分的定义536

第五章 定积分536

（2）三类可积函数537

（3）定积分？f（x）dx的几何意义537

（4）定积分的基本性质538

Ⅱ解题方法分类指导与范例539

（1）用定义计算定积分539

（2）定积分的几何意义，应用定积分的性质估值543

（3）证明积分不等式的方法548

（4）定积分中的证明题549

Ⅲ课堂练习题及其说明551

Ⅳ补充题557

Ⅰ内容提要558

（1）变上限的定积分558

§5-2定积分的计算558

（2）牛顿－莱布尼兹公式559

（3）换元积分法559

（4）分部积分法560

（5）常用的公式560

Ⅱ解题方法分类指导与范例561

（1）用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分561

（2）换元积分法563

（3）分部积分法569

（4）被积函数含绝对值或分段函数的积分法573

（5）变上限的积分与有关函数、函数值、极限的求法577

（6）综合题581

（3）简单无理函数的积分法584

Ⅲ课堂练习题及其说明589

Ⅵ补充题594

§5-3定积分的应用598

Ⅰ内容提要598

（1）定积分的几何应用举例598

（2）定积分在物理上的应用举例601

Ⅱ解题方法分类指导与范例603

（1）平面图形的面积604

（2）求体积608

（3）曲线的弧长与旋转体的表面积611

（4）定积分在物理、力学等方面的应用619

（5）综合题623

Ⅲ课堂练习题及其说明630

Ⅳ补充题635

§5-4第五章 参考题637

附录639

附录1硕士招生考试试题1986年10所高等院校联合试题639

附录2硕士学位研究生招生考试全国统一数学试题汇编（1987年—1989年）644

附录3常用数学公式723