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第六章空间解析几何和矢量代数1

6—1空间直角坐标系、矢量代数1

Ⅰ．内容提要1

1． 空间直角坐标系1

2． 矢量代数2

Ⅱ．解题方法分类指导与范例5

1． 根据有关定义、直接进行计算的题6

2． 根据矢量的有关定义进行判断的题7

3． 用矢量的方法证明图形的几何性质10

4． 应用矢量的运算性质进行计算和证明的题12

Ⅲ． 课堂练习题及其说明14

Ⅳ． 补充题17

6—2空间平面的方程与直线的方程18

Ⅰ．内容提要18

1． 空间平面的方程18

2． 空间直线的方程19

Ⅱ．解题方法分类指导与范例21

1． 由已知条件写出平面或直线的方程21

2． 点、平面、直线间的位置关系26

3． 点到直线或平面的距离、两直线间的距离30

4． 综合题36

Ⅲ． 课堂练习题及其说明44

Ⅳ． 补充题50

6—3二次曲面52

Ⅰ．内容提要52

1． 球面53

2． 椭球面53

3． 锥面53

4．椭球抛物面53

5． 单叶双曲面53

6． 双叶双曲面53

7． 双曲抛物面53

8． 柱面53

9． 旋转曲面53

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例53

Ⅲ． 课堂练习题及其说明61

Ⅳ． 补充题65

第七章多元函数微分学68

7—1函数、极限、连续68

Ⅰ．内容提要68

1． 有关平面点集的简单知识68

2． 二元函数的定义68

3． 二元函数极限的定义69

4． 二元函数极限的运算法则69

5． 二元函数连续性的定义70

6． 在有界闭区域上的二元连续函数的性质70

7． 二元函数的运算性质71

Ⅱ．解题方法分类指导与范例71

1． 建立函数表达式71

2． 求定义域73

3． 二元函数的极限76

4． 讨论二元函数的连续性80

5． 综合题82

Ⅲ． 课堂练习题及其说明85

Ⅳ． 补充题87

7—2偏导数、全微分及其在近似计算中的应用87

Ⅰ．内容提要87

1． 偏导数的意义88

2． 偏导数与连续的关系88

3． 全增量的意义88

4． 全微分的定义88

5． 可微与偏导数的关系89

6． 高阶偏导数89

7． 可微函数全增量的近似表达式90

Ⅱ．解题方法分类指导与范例90

1． 求一阶偏导数、高阶偏导数90

2． 证明偏导数满足给定的方程94

3． 全微分及应用全微分进行近似计算95

4． 连续、可导、可微之间关系的讨论98

5． 综合题101

Ⅲ． 课堂练习题及其说明105

Ⅳ． 补充题107

7—3多元函数的微分法108

Ⅰ．内容提要108

1．复合函数微分法108

2． 全微分的微分形式不变性109

3． 隐函数的微分法109

4． 用参数方程表示的函数的微分法110

Ⅱ．解题方法分类指导与范例111

1． 复合函数微分法111

2． 隐函数的微分法118

3． 由参数方程所表示之函数的微分法136

4． 综合题138

Ⅲ． 课堂练习题及其说明142

Ⅳ． 补充题145

7—4偏导数的应用147

Ⅰ．内容提要147

1． 空间曲线的切线及法平面147

2． 空间曲面的切平面及法线147

3． 方向导数、梯度148

4． 二元函数的泰勒展式149

5． 极值、最大值和最小值150

Ⅱ．解题方法分类指导与范例151

1． 空间曲线的切线与法平面151

2． 空是曲面的切平面与法线154

3． 方向导数、梯度157

4． 二元函数的泰勒展式160

5． 极值、最大值和最小值164

6． 综合题174

Ⅲ． 课堂练习题及其说明179

Ⅳ． 补充题184

第八章重积分187

8—1二重积分187

Ⅰ．内容提要187

1． 定义187

2． 存在定理187

3． 几何意义187

4． 性质188

5． 计算方法——累次积分法189

6． 二重积分的变量替换公式190

Ⅱ．解题方法分类指导与范例191

1． 二重积分的计算191

2． 二重积分计算中的几个技巧问题194

3． 综合题207

Ⅲ． 课堂练习题及其说明218

Ⅳ．补充题218

8—2三重积分220

Ⅰ．内容提要220

1． 定义220

2． 三重积分的存在性220

3．性质220

4． 计算方法220

5． 三重积分的变量替换公式222

Ⅱ．解题方法分类指导与范例223

1． 三重积分的计算步骤223

2． 计算三重积分的几个技巧问题226

3． 综合题239

Ⅲ． 课堂练习题及其说明246

Ⅳ． 补充题251

8—3重积分的应用252

Ⅰ．内容提要252

1． 曲面的面积252

2． 质量253

3． 静力矩和重心253

4． 转动惯量254

Ⅱ．解题方法分类指导与范例254

1． 曲面的面积255

2．质量258

3． 重心262

4． 转动惯量265

5．综合题268

Ⅲ． 课堂练习题及其说明271

Ⅳ． 补充题275

第九章曲线积分、曲面积分276

9—1曲线积分276

Ⅰ．内容提要276

1． 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）276

2． 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）278

3． 两类曲线积分之间的关系279

4． 格林公式·曲线积分与路径无关的条件280

Ⅱ．解题方法分类指导与范例280

1． 第一型曲线积分280

2． 第二型曲线积分287

3．综合题304

Ⅲ． 课堂练习题及其说明311

Ⅳ． 补充题317

9—2曲面积分319

Ⅰ．内容提要319

1． 第一型曲面积分（对曲面的面积的曲面积分）319

2． 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）320

3． 两类曲面积分之间的关系322

4． 奥、斯公式323

5．面积分与曲面（形状）无关的条件323

6． 四个等价条件324

Ⅱ．解题方法分类指导与范例324

1． 第一型曲面积分的计算324

2． 第二型曲面积分330

3． 斯托克斯公式的应用339

4． 空间曲线积分与路径无关问题、求原函数问题344

5． 综合题347

Ⅲ． 课堂练习题及其说明352

Ⅳ． 补充题360

9—3矢量分析补步361

Ⅰ．内容提要361

1． 矢量函数的极限、连续和微商361

2． 矢量场364

3．二阶微分算子366

4． 几种重要的矢量场367

Ⅱ．解题方法分类指导与范例367

1．通量、散度367

2．环量、旋度371

3． 综合题376

Ⅲ． 课堂练习题及其说明379

Ⅳ． 补充题383

第十章无穷级数385

10—1常数项级数385

Ⅰ．内容提要385

1． 数项级数的基本概念和性质385

2． 数项级数敛散性的判别法386

Ⅱ．解题方法分类指导与范例388

1． 数项级数判敛的一般步骤和方法选择388

2． 一般判敛法390

3． 正项级数的判敛法395

4． 交错级数的判敛法405

5． 任意项级数的判敛法408

6． 综合题411

Ⅲ． 课堂练习题及其说明418

Ⅳ． 补充题424

10—2幂级数426

Ⅰ．内容提要426

1． 函数项级数的基本概念426

2． 幂级数的收敛半径、收敛区域及和函数428

3． 展开函数为幂级数、幂级数的应用430

Ⅱ．解题方法分类指导与范例431

1． 求幂级数的收敛半径和收敛区间431

2． 求幂级数在收敛区间内的和函数437

3．将函数展开成幂级数445

4． 幂级数的应用462

5．综合题470

Ⅲ． 课堂练习题及其说明477

Ⅳ． 补充题485

10—3付里叶（Fourier）级数486

Ⅰ．内容提要486

1． 三角级数、三角函数系的正交性487

2． 付里叶级数及其收敛定理487

3． 正弦级数与余弦级数489

4． 付氏级数的复数形式489

Ⅱ．解题方法分类指导与范例489

1． 将以2π为周期的函数展成付氏级数489

2． 在有限区间上展开函数为付氏级数493

3． 奇、偶函数的付氏级数497

4． 将定义在任意区间［—L,L］上的函数f（x）展成付氏级数501

5． 将在区间［0,π］或［0,L］上定义的函数展成正弦（或余弦）级数507

6． 将函数展为复数形式的付氏级数515

7． 综合题518

Ⅲ． 课堂练习题及其说明529

Ⅳ． 补充题529

第十一章广义积分和含参变量的积分538

11—1广义积分538

Ⅰ．内容提要538

1．无穷积分538

2． 瑕积分541

3． Г—函数与B—函数（欧拉（Euler）积分）543

Ⅱ．解题方法分类指导与范例544

1． 广义积分的计算方法544

2． 广义积分的判敛方法555

3．综合题565

Ⅲ． 课堂练习题及其说明572

Ⅳ． 补充题578

11—2含参变量的积分579

Ⅰ．内容提要579

1． 含参变量的积分579

2． 含参变量的广义积分581

Ⅱ．解题方法分类指导与范例582

1． 应用连续性求含参变量积分的极限583

2． 应用公式求含参变量积分的导数585

3． 应用对参数的微分法计算积分588

4． 应用积分符号下的积分法计算积分590

5． 判别含参数广义积分的一致收敛性592

6． 广义积分号下的微分法与积分法595

Ⅲ． 课堂练习题及其说明598

Ⅳ． 补充题603

附录605

附录1计算机及应用专业教育质量评估正式试点（1988．6）《高等数学》统考试题及其参考解答与评分标准605

附录2硕士学位研究生招生考试全国统一数学试题汇编614