《高等数学解题方法指导 下》

（下册）1

第六章空间解析几何和矢量代数1

6-1空间直角坐标系、矢量代数1

Ⅰ．内容提要1

1．空间直角坐标系1

2．矢量代数2

Ⅱ．解题方法分类指导与范例5

1．根据有关定义，直接进行计算的题6

2．根据矢量的有关定义进行判断的题7

3．用矢量的方法证明图形的几何性质10

4．应用矢量的运算性质进行计算和证明的题12

Ⅲ．课堂练习题及其说明14

Ⅳ．补充题17

6-2空间平面的方程与直线的方程18

Ⅰ．内容提要18

1．空间平面的方程18

2．空间直线的方程19

Ⅱ．解题方法分类指导与范例21

1．由已知条件写出平面或直线的方程21

2．点、平面、直线间的位置关系26

3．点到直线或平面的距离、两直线间的距离30

4．综合题36

Ⅲ．课堂练习题及其说明44

Ⅳ．补充题50

6-3二次曲面52

Ⅰ．内容提要52

1．球面53

2．椭球面53

3．锥面53

4．椭球抛物面53

5．单叶双曲面53

6．双叶双曲面53

7．双曲抛物面53

8．柱面53

9．旋转曲面53

Ⅱ．解题方法分类指导与范例53

Ⅲ．课堂练习题及其说明61

Ⅳ．补充题65

第七章多元函数微分学68

7-1函数、极限、连续68

Ⅰ．内容提要68

1．有关平面点集的简单知识68

2．二元函数的定义68

3．二元函数极限的定义69

4．二元函数极限的运算法则69

5．二元函数连续性的定义70

6．在有界闭区域上的二元连续函数的性质70

7．二元函数的运算性质71

Ⅱ．解题方法分类指导与范例71

1．建立函数表达式71

2．求定义域73

3．二元函数的极限76

4．讨论二元函数的连续性80

5．综合题82

Ⅲ．课堂练习题及其说明85

Ⅳ．补充题87

7-2偏导数、全微分及其在近似计算中的应用87

Ⅰ．内容提要87

1．偏导数的意义88

2．偏导数与连续的关系88

3．全增量的意义88

4．全微分的定义88

5．可微与偏导数的关系89

6．高阶偏导数89

7．可微函数全增量的近似表达式90

Ⅱ．解题方法分类指导与范例90

1．求一阶偏导数、高阶偏导数90

2．证明偏导数满足给定的方程94

3．全微分及应用全微分进行近似计算95

4．连续、可导、可微之间关系的讨论98

5．综合题101

Ⅲ．课堂练习题及其说明105

Ⅳ．补充题107

7-3多元函数的微分法108

Ⅰ．内容提要108

1．复合函数微分法108

2．全微分的微分形式不变性109

3．隐函数的微分法109

4用参数方程表示的函数的微分法110

Ⅱ．解题方法分类指导与范例111

1．复合函数微分法111

2．隐函数的微分法118

3．由参数方程所表示之函数的微分法136

4．综合题138

Ⅲ．课堂练习题及其说明142

Ⅳ．补充题145

7-4偏导数的应用147

Ⅰ．内容提要147

1．空间曲线的切线及法平面147

2．空间曲面的切平面及法线147

3．方向导数、梯度148

4．二元函数的泰勒展式149

5．极值、最大值和最小值150

Ⅱ．解题方法分类指导与范例151

1．空间曲线的切线与法平面151

2．空是曲面的切平面与法线154

3．方向导数、梯度157

4．二元函数的泰勒展式160

5．极值、最大值和最小值164

6．综合题174

Ⅲ．课堂练习题及其说明179

Ⅳ．补充题184

第八章重积分187

8-1二重积分187

Ⅰ．内容提要187

1．定义187

2．存在定理187

3．几何意义187

4．性质188

5．计算方法——累次积分法189

6．二重积分的变量替换公式190

Ⅱ．解题方法分类指导与范例191

1．二重积分的计算191

2．二重积分计算中的几个技巧问题194

3．综合题207

Ⅲ．课堂练习题及其说明213

Ⅳ．补充题218

8-2三重积分220

Ⅰ．内容提要220

1．定义220

2．三重积分的存在性220

3．性质220

4．计算方法220

5．三重积分的变量替换公式222

Ⅱ．解题方法分类指导与范例223

1．三重积分的计算步骤223

2．计算三重积分的几个技巧问题226

3．综合题239

Ⅲ．课堂练习题及其说明246

Ⅳ．补充题251

8-3重积分的应用252

Ⅰ．内容提要252

1．曲面的面积252

2．质量253

3．静力矩和重心253

4．转动惯量254

Ⅱ．解题方法分类指导与范例254

1．曲面的面积255

2．质量258

3．重心262

4．转动惯量265

5．综合题268

Ⅲ．课堂练习题及其说明271

Ⅳ．补充题275

第九章曲线积分、曲面积分276

9-1曲线积分276

Ⅰ．内容提要276

1．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）276

2．第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）278

3．两类曲线积分之间的关系279

4．格林公式·曲线积分与路径无关的条件280

Ⅱ．解题方法分类指导与范例280

1．第一型曲线积分280

2．第二型曲线积分287

3．综合题304

Ⅲ．课堂练习题及其说明311

Ⅳ．补充题317

9-2曲面积分319

Ⅰ．内容提要319

1．第一型曲面积分（对曲面的面积的曲面积分）319

2．第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）320

3．两类曲面积分之间的关系322

4．奥、斯公式323

5．面积分与曲面（形状）无关的条件323

6．四个等价条件324

Ⅱ．解题方法分类指导与范例324

1．第一型曲面积分的计算324

2．第二型曲面积分330

3．斯托克斯公式的应用339

4．空间曲线积分与路径无关问题、求原函数问题344

5．综合题347

Ⅲ．课堂练习题及其说明352

Ⅳ．补充题360

9-3矢量分析补步361

Ⅰ．内容提要361

1．矢量函数的极限、连续和微商361

2．矢量场364

3．二阶微分算子366

4．几种重要的矢量场367

Ⅱ．解题方法分类指导与范例367

1．通量、散度367

2．环量、旋度371

3．综合题376

Ⅲ．课堂练习题及其说明379

Ⅳ．补充题383

第十章无穷级数385

10-1常数项级数385

Ⅰ．内容提要385

1．数项级数的基本概念和性质385

2．数项级数敛散性的判别法386

Ⅱ．解题方法分类指导与范例388

1．数项级数判敛的一般步骤和方法选择388

2．一般判敛法390

3．正项级数的判敛法395

4．交错级数的判敛法405

5．任意项级数的判敛法408

6．综合题411

Ⅲ．课堂练习题及其说明418

Ⅳ．补充题424

10-2幂级数426

Ⅰ．内容提要426

1．函数项级数的基本概念426

2．幂级数的收敛半径、收敛区域及和函数428

3．展开函数为幂级数、幂级数的应用430

Ⅱ．解题方法分类指导与范例431

1．求幂级数的收敛半径和收敛区间431

2．求幂级数在收敛区间内的和函数437

3．将函数展开成幂级数445

4．幂级数的应用462

5．综合题470

Ⅲ．课堂练习题及其说明477

Ⅳ．补充题485

10-3付里叶（Fourier）级数486

Ⅰ．内容提要486

1．三角级数、三角函数系的正交性487

2．付里叶级数及其收敛定理487

3．正弦级数与余弦级数489

4．付氏级数的复数形式489

Ⅱ．解题方法分类指导与范例489

1．将以2π为周期的函数展成付氏级数489

2．在有限区间上展开函数为付氏级数493

3．奇、偶函数的付氏级数497

4．将定义在任意区间［-L,L］上的函数f（x）展成付氏级数501

5．将在区间［0,π］或［0,L］上定义的函数展成正弦（或余弦）级数507

6．将函数展为复数形式的付氏级数515

7．综合题518

Ⅲ．课堂练习题及其说明529

Ⅳ．补充题529

第十一章广义积分和含参变量的积分538

11-1广义积分538

Ⅰ．内容提要538

1．无穷积分538

2．瑕积分541

3．Γ-函数与B-函数（欧拉（Euler）积分）543

Ⅱ．解题方法分类指导与范例544

1．广义积分的计算方法544

2．广义积分的判敛方法555

3．综合题565

Ⅲ．课堂练习题及其说明572

Ⅳ．补充题578

11-2含参变量的积分579

Ⅰ．内容提要579

1．含参变量的积分579

2．含参变量的广义积分581

Ⅱ．解题方法分类指导与范例582

1．应用连续性求含参变量积分的极限583

2．应用公式求含参变量积分的导数585

3．应用对参数的微分法计算积分588

4．应用积分符号下的积分法计算积分590

5．判别含参数广义积分的一致收敛性592

6．广义积分号下的微分法与积分法595

Ⅲ．课堂练习题及其说明598

Ⅳ．补充题603

附录一计算机及应用专业教育质量评估正式试点（1988．6）《高等数学》统考试题及其参考解答与评分标准605

附录二1992年硕士研究生招生考试《高等数学》全国统一试题及其参考解答与评分标准614

附录三硕士招生考试试题1986年10所高等院校联试题635