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(下册)1

第六章空间解析几何和矢量代数1

6-1空间直角坐标系、矢量代数1

Ⅰ.内容提要1

1.空间直角坐标系1

2.矢量代数2

Ⅱ.解题方法分类指导与范例5

1.根据有关定义,直接进行计算的题6

2.根据矢量的有关定义进行判断的题7

3.用矢量的方法证明图形的几何性质10

4.应用矢量的运算性质进行计算和证明的题12

Ⅲ.课堂练习题及其说明14

Ⅳ.补充题17

6-2空间平面的方程与直线的方程18

Ⅰ.内容提要18

1.空间平面的方程18

2.空间直线的方程19

Ⅱ.解题方法分类指导与范例21

1.由已知条件写出平面或直线的方程21

2.点、平面、直线间的位置关系26

3.点到直线或平面的距离、两直线间的距离30

4.综合题36

Ⅲ.课堂练习题及其说明44

Ⅳ.补充题50

6-3二次曲面52

Ⅰ.内容提要52

1.球面53

2.椭球面53

3.锥面53

4.椭球抛物面53

5.单叶双曲面53

6.双叶双曲面53

7.双曲抛物面53

8.柱面53

9.旋转曲面53

Ⅱ.解题方法分类指导与范例53

Ⅲ.课堂练习题及其说明61

Ⅳ.补充题65

第七章多元函数微分学68

7-1函数、极限、连续68

Ⅰ.内容提要68

1.有关平面点集的简单知识68

2.二元函数的定义68

3.二元函数极限的定义69

4.二元函数极限的运算法则69

5.二元函数连续性的定义70

6.在有界闭区域上的二元连续函数的性质70

7.二元函数的运算性质71

Ⅱ.解题方法分类指导与范例71

1.建立函数表达式71

2.求定义域73

3.二元函数的极限76

4.讨论二元函数的连续性80

5.综合题82

Ⅲ.课堂练习题及其说明85

Ⅳ.补充题87

7-2偏导数、全微分及其在近似计算中的应用87

Ⅰ.内容提要87

1.偏导数的意义88

2.偏导数与连续的关系88

3.全增量的意义88

4.全微分的定义88

5.可微与偏导数的关系89

6.高阶偏导数89

7.可微函数全增量的近似表达式90

Ⅱ.解题方法分类指导与范例90

1.求一阶偏导数、高阶偏导数90

2.证明偏导数满足给定的方程94

3.全微分及应用全微分进行近似计算95

4.连续、可导、可微之间关系的讨论98

5.综合题101

Ⅲ.课堂练习题及其说明105

Ⅳ.补充题107

7-3多元函数的微分法108

Ⅰ.内容提要108

1.复合函数微分法108

2.全微分的微分形式不变性109

3.隐函数的微分法109

4用参数方程表示的函数的微分法110

Ⅱ.解题方法分类指导与范例111

1.复合函数微分法111

2.隐函数的微分法118

3.由参数方程所表示之函数的微分法136

4.综合题138

Ⅲ.课堂练习题及其说明142

Ⅳ.补充题145

7-4偏导数的应用147

Ⅰ.内容提要147

1.空间曲线的切线及法平面147

2.空间曲面的切平面及法线147

3.方向导数、梯度148

4.二元函数的泰勒展式149

5.极值、最大值和最小值150

Ⅱ.解题方法分类指导与范例151

1.空间曲线的切线与法平面151

2.空是曲面的切平面与法线154

3.方向导数、梯度157

4.二元函数的泰勒展式160

5.极值、最大值和最小值164

6.综合题174

Ⅲ.课堂练习题及其说明179

Ⅳ.补充题184

第八章重积分187

8-1二重积分187

Ⅰ.内容提要187

1.定义187

2.存在定理187

3.几何意义187

4.性质188

5.计算方法——累次积分法189

6.二重积分的变量替换公式190

Ⅱ.解题方法分类指导与范例191

1.二重积分的计算191

2.二重积分计算中的几个技巧问题194

3.综合题207

Ⅲ.课堂练习题及其说明213

Ⅳ.补充题218

8-2三重积分220

Ⅰ.内容提要220

1.定义220

2.三重积分的存在性220

3.性质220

4.计算方法220

5.三重积分的变量替换公式222

Ⅱ.解题方法分类指导与范例223

1.三重积分的计算步骤223

2.计算三重积分的几个技巧问题226

3.综合题239

Ⅲ.课堂练习题及其说明246

Ⅳ.补充题251

8-3重积分的应用252

Ⅰ.内容提要252

1.曲面的面积252

2.质量253

3.静力矩和重心253

4.转动惯量254

Ⅱ.解题方法分类指导与范例254

1.曲面的面积255

2.质量258

3.重心262

4.转动惯量265

5.综合题268

Ⅲ.课堂练习题及其说明271

Ⅳ.补充题275

第九章曲线积分、曲面积分276

9-1曲线积分276

Ⅰ.内容提要276

1.第一型曲线积分(对弧长的曲线积分)276

2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)278

3.两类曲线积分之间的关系279

4.格林公式·曲线积分与路径无关的条件280

Ⅱ.解题方法分类指导与范例280

1.第一型曲线积分280

2.第二型曲线积分287

3.综合题304

Ⅲ.课堂练习题及其说明311

Ⅳ.补充题317

9-2曲面积分319

Ⅰ.内容提要319

1.第一型曲面积分(对曲面的面积的曲面积分)319

2.第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)320

3.两类曲面积分之间的关系322

4.奥、斯公式323

5.面积分与曲面(形状)无关的条件323

6.四个等价条件324

Ⅱ.解题方法分类指导与范例324

1.第一型曲面积分的计算324

2.第二型曲面积分330

3.斯托克斯公式的应用339

4.空间曲线积分与路径无关问题、求原函数问题344

5.综合题347

Ⅲ.课堂练习题及其说明352

Ⅳ.补充题360

9-3矢量分析补步361

Ⅰ.内容提要361

1.矢量函数的极限、连续和微商361

2.矢量场364

3.二阶微分算子366

4.几种重要的矢量场367

Ⅱ.解题方法分类指导与范例367

1.通量、散度367

2.环量、旋度371

3.综合题376

Ⅲ.课堂练习题及其说明379

Ⅳ.补充题383

第十章无穷级数385

10-1常数项级数385

Ⅰ.内容提要385

1.数项级数的基本概念和性质385

2.数项级数敛散性的判别法386

Ⅱ.解题方法分类指导与范例388

1.数项级数判敛的一般步骤和方法选择388

2.一般判敛法390

3.正项级数的判敛法395

4.交错级数的判敛法405

5.任意项级数的判敛法408

6.综合题411

Ⅲ.课堂练习题及其说明418

Ⅳ.补充题424

10-2幂级数426

Ⅰ.内容提要426

1.函数项级数的基本概念426

2.幂级数的收敛半径、收敛区域及和函数428

3.展开函数为幂级数、幂级数的应用430

Ⅱ.解题方法分类指导与范例431

1.求幂级数的收敛半径和收敛区间431

2.求幂级数在收敛区间内的和函数437

3.将函数展开成幂级数445

4.幂级数的应用462

5.综合题470

Ⅲ.课堂练习题及其说明477

Ⅳ.补充题485

10-3付里叶(Fourier)级数486

Ⅰ.内容提要486

1.三角级数、三角函数系的正交性487

2.付里叶级数及其收敛定理487

3.正弦级数与余弦级数489

4.付氏级数的复数形式489

Ⅱ.解题方法分类指导与范例489

1.将以2π为周期的函数展成付氏级数489

2.在有限区间上展开函数为付氏级数493

3.奇、偶函数的付氏级数497

4.将定义在任意区间[-L,L]上的函数f(x)展成付氏级数501

5.将在区间[0,π]或[0,L]上定义的函数展成正弦(或余弦)级数507

6.将函数展为复数形式的付氏级数515

7.综合题518

Ⅲ.课堂练习题及其说明529

Ⅳ.补充题529

第十一章广义积分和含参变量的积分538

11-1广义积分538

Ⅰ.内容提要538

1.无穷积分538

2.瑕积分541

3.Γ-函数与B-函数(欧拉(Euler)积分)543

Ⅱ.解题方法分类指导与范例544

1.广义积分的计算方法544

2.广义积分的判敛方法555

3.综合题565

Ⅲ.课堂练习题及其说明572

Ⅳ.补充题578

11-2含参变量的积分579

Ⅰ.内容提要579

1.含参变量的积分579

2.含参变量的广义积分581

Ⅱ.解题方法分类指导与范例582

1.应用连续性求含参变量积分的极限583

2.应用公式求含参变量积分的导数585

3.应用对参数的微分法计算积分588

4.应用积分符号下的积分法计算积分590

5.判别含参数广义积分的一致收敛性592

6.广义积分号下的微分法与积分法595

Ⅲ.课堂练习题及其说明598

Ⅳ.补充题603

附录一计算机及应用专业教育质量评估正式试点(1988.6)《高等数学》统考试题及其参考解答与评分标准605

附录二1992年硕士研究生招生考试《高等数学》全国统一试题及其参考解答与评分标准614

附录三硕士招生考试试题1986年10所高等院校联试题635

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