《场的数学描写方法》

第一章场的概念和图解1

1 矢量代数的基本公式1

1．矢量及其表示法1

2．矢量的线性运算1

3．矢量的标量积3

4．矢量的矢量积3

6．并矢7

2 矢量函数的微分法9

1．矢量函数9

2．矢量函数的极限与连续性10

3．矢量函数的微商12

3 场的概念17

1．场的概念17

2．场的数学表示方法17

3．场的分类18

1．数量场的等值面（线）19

4 场的图形表示法19

2．矢量场的矢量线20

3．矢量线的解析表达式21

习题一24

第二章数量场的梯度26

1 方向导数26

1．方向导数的定义26

2．方向导数的计算公式28

2．梯度的性质及其另一种定义33

2 梯度33

1．梯度定义33

3．梯度的几何性质及其几何作法35

4．梯度的运算法则37

习题二44

第三章矢量场的散度46

1 流量46

1．流场的流量46

3．非均匀流场的流量计算47

2．均匀流场的流量计算47

4．流量的定义48

2 发散量与散度52

1．流场的发数量52

2．发散量的定义53

3．流场的散度54

4．散度的定义55

1．计算公式56

3 散度在直角坐标系下的计算公式56

2．散度的运算法则60

4 奥高公式62

1．散度是导数概念的推广62

2．奥高公式的形式导出63

3．奥高公式及其证明65

4．奥高公式的物理意义72

5．两个推论72

2．奥高公式与分部积分法76

1．奥高公式是微积分基本定理的推广76

5 奥高公式应用之一76

3．格林第一、第二公式77

4．调和函数的积分表达式79

5．调和函数的两个性质83

6 奥高公式应用之二85

1．质量守恒与连续性方程85

2．理想流体的运动方程89

3．静电场的基本方程92

4．扩散方程93

习题三97

第四章矢量场的旋度99

1 旋转量（环流）99

1．流场中旋转运动产生的条件99

2．平面场的旋转量100

3．旋转量和旋转运动的快慢103

2 平面涡旋量的定义及其计算104

1．平面场的涡旋量的定义104

2．流场的涡旋量的直观算法106

3．平面场涡旋量的计算公式108

3 旋度及其计算公式111

1．沿任意方向的涡旋量111

2．空间矢量场的旋度112

3．旋度在直角坐标下的表达式113

4．旋度的运算法则114

4 格林公式和斯托克斯公式116

1．格林公式的形式导出116

2．格林公式118

3．斯托克斯公式128

5 两个基本方程的建立135

1．安培环路定理的微分形式136

2．法拉弟感应定律的微分形式136

6 格林公式的应用138

1．变形的格林公式138

2．二重积分的分部积分公式139

3．格林第一、第二公式139

4．调和函数的积分表达式141

习题四146

第五章？算符148

1 ？算符的引进及其性质148

1．？算符是怎样引进的148

2．？算符的微分性质150

3．？算符的矢量性151

2 ？算符的运算法则154

1．？算符的运算法154

2．？算符的线性运算性质158

3．？算符的复合运算法则158

3 ？算符的基本公式167

1．乘积公式167

2．复合函数公式167

3．二阶微分运算及其基本公式168

习题五170

2 算符在柱坐标下的表达式172

1．？算符在柱坐标下的表达式172

1 梯度、散度、旋度、？172

第六章曲线坐标下梯度、散度、旋度的表达式172

2．单位矢量e？,eψ,e？的“微商”公式174

3．散度在柱坐标下的表达式175

4．旋度在柱坐标下的表达式177

5．？2算符在柱坐标下的表达式178

2 梯度、散度、旋度、？2算符在球坐标下的表达式179

1．？算符在球坐标下的表达式179

2．单位矢量er,eθ,eψ的“微商”公式180

3．散度在球坐标下的表达式182

4．旋度、？2算符在球坐标下的表达式183

3 曲线坐标下梯度、散度、旋度的表达式188

1．参数型方程的曲面面积公式188

2．一对一变换和曲线坐标的概念193

3．变换是一对一的充分条件194

4．曲线坐标的自然标架199

5．笛卡尔坐标向一般直交坐标的过渡202

6．曲线坐标下梯度、散度、旋度的表达式204

习题六214

第七章场的分类、性质和场的方程215

1 位场和标量势215

1．位场和标量势的概念215

2．按曲面是单连通区域上的矢量场的标量势216

3．按曲面是复连通区域上的矢量场的标量势227

4．平面矢量场的标量势232

2 管形场和矢量势234

1．管形场和矢量势的概念234

2．矢量场为管形场的充要条件236

3 调和场和调和函数241

1．调和场和调和函数的概念241

2．矢量场是调和场的充要条件242

3．平面调和场的一些性质243

4 矢量场的分类和描述场的物理量252

1．矢量场的分类252

2．描述场的物理量254

习题七256

习题答案258