《高等数学讲义 上》

序言1

第一章 变量与函数1

1 实数系.函数概念1

1.2 绝对值.区间与邻域4

1.3 变量与函数7

2 函数的进一步讨论11

2.1 函数的表示方法11

2.2 一些特殊类型的函数14

2.3 隐函数18

2.4 反函数与复合函数19

2.5 初等函数23

2.6 函数的参数表示法31

习题34

第二章 函数的极限与连续38

1 数列的极限38

1.1 数列38

1.2 无穷小量40

1.3 数列的极限44

习题57

2.1 函数的极限定义60

2 函数的极限60

2.2 函数极限的基本性质67

2.3 函数极限的四则运算.两个判别法则68

2.4 复合函数与反函数的极限71

2.5 两个重要极限74

2.6 无穷大量.无穷大量与无穷小量的阶77

习题79

3 函数的连续性83

3.1 连续函数的定义83

3.2 连续函数的运算.初等函数的连续性85

3.3 函数的间断点及其分类86

3.4 函数的一致连续概念90

3.5 闭区间上连续函数的性质92

习题94

第三章 微分学97

1 函数的导数概念97

1.1 问题的提出97

1.2 导数的定义99

1.3 导数的几何意义100

1.4 左导数与右导数101

1.5 函数的可导性与连续性的关系104

1.6 函数求导的基本公式105

习题107

2 求导法则108

2.1 导数的四则运算108

2.2 反函数的求导法则110

2.3 复合函数的求导法则112

2.4 隐函数的求导法则115

2.5 由参数方程确定的函数的求导法则118

2.6 高阶导数120

2.7 导数的简单应用125

习题129

3 微分及其应用134

3.1 问题的提出134

3.2 微分的定义135

3.3 可微与可导的关系137

3.4 微分的几何意义138

3.5 微分法则139

3.6 高阶微分140

3.7 微分的简单应用142

习题146

1 微分学基本定理147

第四章 微分学基本定理及其应用147

2 基本定理的一些应用151

2.1 函数为常数的条件151

2.2 函数单调性的判断152

2.3 对证明不等式的应用154

习题156

3 不定式的定值158

3.1 ？型不定式159

3.2 ？型不定式161

3.3 其它类型的不定式164

习题167

4 泰勒(Taylor)公式168

4.1 问题的提出168

4.2 泰勒公式的一般形式169

4.3 余项估计170

4.4 例题173

习题178

5 函数的极值.最大值与最小值179

5.1 函数的极值及其必要条件179

5.2 极值的充分条件180

5.3 函数的最大值与最小值184

4.1 积分区间为无穷区间的广义积分187

习题192

6 曲线的凹凸与函数的作图194

6.1 曲线的凹凸与拐点194

6.2 曲线的渐近线198

6.3 函数作图202

习题205

7 曲率与弧微分206

7.1 曲率的概念206

7.2 弧微分207

7.3 曲率的计算208

7.4 曲率圆(密切圆)210

习题214

8 方程的近似解法214

8.1 弦截法(割线法)215

8.2 切线法(牛顿Newton法)216

8.3 收敛性、实例218

习题220

9 插值法220

9.1 拉格朗日插值法221

9.2 埃尔米特(Hermite)插值225

习题229

1 不定积分的概念230

1.1 原函数与不定积分230

第五章 不定积分230

1.2 基本积分表231

1.3 不定积分的性质232

习题234

2 积分法235

2.1 “凑”微分法235

2.2 换元积分法236

2.3 分部积分法241

2.4 有理函数的不定积分244

2.5 三角函数有理式的积分251

2.6 某些无理函数的积分255

习题259

第六章 定积分263

1 定积分的概念263

1.1 定积分概念的引进263

1.2 定积分的定义269

1.3 连续函数的可积性271

2 定积分的基本性质及牛顿-莱布尼兹公式274

2.1 定积分的基本性质274

2.2 牛顿-莱布尼兹公式278

3.1 定积分的换元法281

3 定积分的换元法与分部积分法281

3.2 定积分的分部积分法284

4 广义积分初步286

4.2 被积函数为无界函数的广义积分288

习题290

5 定积分的应用295

5.1 平面上连续曲线围成图形的面积296

5.2 体积的计算300

5.3 曲线的弧长303

5.4 旋转体的侧面积308

5.5 重心(质量中心)309

5.6 转动惯量315

5.7 力与功316

5.8 连续函数的平均值与均方根321

习题322

6 定积分的近似计算328

6.1 梯形公式328

6.2 抛物线公式--辛卜生(Simpson)公式329

6.3 近似积分中的误差估计331

习题336

第七章 微分方程初步337

1 基本概念337

2 一阶微分方程339

2.1 一阶可分离变量的微分方程339

2.2 可化为分离变量的微分方程343

2.3 一阶线性微分方程348

2.4 导数未解出的某些简单方程351

习题355

3.1 方程y″=f(x)358

3 特殊类型的二阶微分方程358

3.2 方程y″=f(x,y′)359

3.3 方程y″=f(y,y′)359

习题361

4 二阶线性微分方程362

4.1 齐次线性方程的一般理论362

4.2 非齐次线性方程的解367

4.3 二阶常系数线性方程370

4.4 尤拉方程374

习题375