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第1章 对象和误差1

1．1 计算方法的对象与特点1

1．1．1 研究的对象1

1．1．2 主要特点1

本书用法说明1

符号表2

1．1．3 基本线索2

1．2 误差与有效数字3

1．2．1 误差的来源及分类3

1．2．2 误差概念5

1．2．3 有效数字5

1．3．1 算术运算结果的误差界6

1．3 误差分析6

1．3．2 函数求值的误差估计7

1．3．3 误差分析的方法9

1．4 数值运算的一些简单原则12

第2章 插值法16

2．1 引言16

2．1．1 插值的意义16

2．1．2 插值问题的提法16

2．1．3 插值多项式的存在唯一性17

2．1．4 插值法的主要线索18

2．2 Lagrange插值18

2．2．1 基函数18

2．2．2 Lagrange插值多项式20

2．2．3 余项21

2．3 Aitken法22

2．3．1 问题的提出22

2．3．2 Aitken法的描述23

2．3．3 计算工作量24

2．4 均差与Newton插值26

2．4．1 均差26

2．4．2 Newton插值公式27

2．4．3 计算工作量28

2．5 差分与等距节点插值30

2．5．1 差分30

2．5．3 Gauss公式33

2．5．2 Newton差分插值公式33

2．5．4 Stirling公式35

2．5．5 Bessel公式36

2．5．6 Everett公式37

2．5．7 Steffensen公式37

2．6 插值公式的几个问题38

2．6．1 插值公式的使用38

2．6．2 Fraser图表41

2．6．3 插值公式求值用表43

2．7 Hermite插值47

2．7．1 一般提法47

2．7．2 插值多项式的建立48

2．7．3 余项49

2．8．1 高次插值的问题51

2．8 分段低次插值51

2．8．2 分段线性插值52

2．8．3 分段三次Hermite插值54

2．9 样条插值55

2．9．1 样条函数55

2．9．2 B样条56

2．9．3 三次样条插值问题的提法58

2．9．4 均匀分划的三次样条插值函数60

2．9．5 任意分划的三次样条插值函数64

2．9．6 三次样条插值的收敛性66

2．10．2 利用函数的插值多项式反插69

2．10 反插值69

2．10．1 插值与反插值69

2，10．3 构造反函数的插值多项式72

第3章 函数逼近与曲线拟合74

3．1 一致逼近74

3．2 最佳一致逼近76

3．3 最小平方逼近79

3．4 正交多项式83

3．4．1 线性无关与正交函数族83

3．4．2 Legendre多项式86

3．4．3 Чебышев多项式87

3．4．4 其他常用的正交多项式90

3．5 用正交多项式作最小平方逼近91

3．5．1 用Legendre多项式作平方逼近92

3．5．2 截断Чебышев级数94

3．6 近似最佳一致逼近96

3．6．1 Taylor级数项数的节约97

3．6．2 Чебышев多项式零点插值98

3．7 Remes算法100

3．8 曲线拟合的最小二乘法102

3．8．1 基本原理102

3．8．2 一般的最小二乘逼近104

3．8．3 多元最小二乘拟合108

3．9 用正交多项式作最小二乘拟合109

3．10．1 最小平方逼近与三角插值111

3．10 Fourier逼近111

3．10．2 快速Fourier变换(FFT)116

3．11 有理逼近与连分式120

3．12 最佳有理逼近125

3．13 有理函数插值130

3．13．1 有理插值的存在唯一性130

3．13．2 Thiele倒差商算法132

3．14 pade逼近134

3．15 Maehly逼近140

3．16 函数的连分式展开144

第4章 数值积分与数值微分153

4．1 引言153

4．2．1 公式的一般形式154

4．2 Newton-Cores求积公式154

4．2．2 梯形公式156

4．2．3 Simpson公式157

4．2．4 高阶Newton-Cotes公式158

4．2．5 开型Newton-Cotes公式159

4．3 复化求积公式161

4．3．1 复化梯形公式161

4．3．2 复化Simpson公式162

4．3．3 复化求积公式的收敛性163

4．3．4 区间逐次分半法164

4．4．1 Richardson外推算法167

4．4 Richardson外推算法和Romberg积分法167

4．4．2 Romberg积分法169

4．5 Gauss求积公式173

4．6．1 一般理论174

4．5．2 Gauss-Legendre求积公式176

4．5．3 Gauss-Laguerre求积公式181

4．5．4 Gauss-Hermite求积公式181

4．5．5 Gauss-Чебышев求积公式182

4．6 伪-Gauss求积公式183

4．6．1 Radau求积公式183

4．6．2 Lobatto求积公式185

4．7 Чебышев求积法187

4．8 三次样条求积法191

4．8．1 一般情况的求积公式192

4．8．2 简单情况的求积公式193

4．9 自适应积分法195

4．9．1 自适应Simpson方法195

4．9．2 计算步骤198

4．10 奇异积分201

4．10．1 积分变量替换201

4．10．2 奇异性的解析处理202

4．10．3 乘积积分204

4．10．4 Канторович方法206

4．10．5 Gauss求积208

4．11．1 替换变量211

4．11．2 截去无穷区间211

4．11 无穷区间上的积分211

4．12 重积分的数值计算212

4．12．1 基本概念212

4．12．2 梯形公式及其复化公式214

4．12．3 Simpson公式及其复化公式215

4．12．4 Gauss型求积公式218

4．12．5 一般积分区域220

4．13 数值微分的基本方法221

4．13．1 数值微分的概念221

4．13．2 用插值多项式求数值导数222

4．13．3 将微分问题化为积分问题226

4．13．4 用三次样条函数求数值微分229

4．14 二阶导数230

4．15 数值微分的外推算法233

4．16．1 Gauss-Legendre求积公式的节点和系数234

4．16 附表234

4．16．2 Gauss-Laguerre求积公式的节点和系数237

4．16．3 Gauss-Hermite求积公式的节点和系数239

第5章 方程求根241

5．1 引言241

5．2 实根的隔离与二分法242

5．3 迭代法244

5．3．1 迭代法及其收敛性244

5．3．2 迭代法的加速收敛248

5．4 Newton法249

5．5．1 弦截法252

5．5 弦截法与抛物线法252

5．5．2 抛物线法254

5．6 代数方程求根问题256

5．6．1 多项式求值与Newton法256

5．6．2 根模的上下界258

5．6．3 Sturm序列260

5．7 Bernoulli方法262

5．8 劈因子法265

5．9 复根的隔离269

5．10 复多项式的圆盘迭代法275

5．11 代数方程求根的稳定性问题281

6．1 引言283

第6章 解线性代数方程组的直接法283

6．2 Gauss消去法284

6．2．1 方法的描述284

6．2．2 矩阵的三角分解287

6．2．3 行列式与逆矩阵计算288

6．3 主元素Gauss消去法290

6．3．1 全主元素消去法290

6．3．2 列主元素消去法293

6．4 Gauss-Jordan消去法295

6．4．1 方法的描述295

6．4．2 列主元Gauss-Jordan消去法295

6．4．3 Gauss-Jordan法求逆矩阵296

6．5 直接三角分解法299

6．5．1 Doolittle分解法300

6．5．2 列主元三角分解法302

6．5．3 平方根法305

6．5．4 改进的平方根法307

6．5．5 追赶法309

6．6 带型方程组的解法311

6．6．1 带型方程组的列主元消去法312

6．6．2 对称正定带型方程组的解法315

6．7 大型稀疏方程组的解法319

6．7．1 稀疏矩阵319

6．7．2 压缩的存储形式321

6．7．3 解稀疏方程组的三角分解法322

6．8．1 化为实系数方程组求解328

6．3．2 复线性方程组的列主元消去法328

6．8 复线性代数方程组的解法328

6．9 对称正定矩阵求逆及行列式的值331

6．9．1 求行列式的值331

6．9．2 求逆矩阵333

6．10 误差分析338

6．10．1 解的误差估计338

6．10．2 扰动方程组解的误差界340

6．10．3 病态方程组的解法342

6．10．4 舍入误差344

6．10．5 近似解精确度的检验346

7．2 范数、序列极限、条件数348

7．1 引言348

7．2．1 向量范数348

第7章 解线性方程组的迭代法348

7．2．2 矩阵范数350

7．2．3 序列极限352

7．2．4 矩阵的条件数355

7．3 矩阵理论358

7．3．1 不可约性和对角占优矩阵358

7．3．2 对称正定矩阵359

7．3．3 性质 A 和相容次序360

7．3．4 M-矩阵与正则分解363

7．4 迭代法的收敛性364

7．5 Jacobi迭代法和RF法367

7．6 Gallss-Seidel迭代法372

7．7 SOR迭代法374

7．8 松弛因子的选取377

7．8．1 最优松弛因子?的理论计算公式377

7．8．2 ?的试算381

7．9 SSOR迭代法383

7．10 最优外推法385

7．11．1 分块迭代法的计算过程386

7．11．2 块(或线)迭代公式388

7．11．3 块SOR迭代法的收敛性和最优松弛因子?的选取390

7．11．4 交替方向隐式方法392

7．12 不完全LU分解法和强隐式方法399

7．12．1 不完全LU分解法399

7．12．2 强隐式方法404

7．13 最速下降法和共轭斜量法410

7．13．1 等价极小值问题410

7．13．2 最速下降法411

7．13．3 共轭斜量法412

7．14 共轭斜量加速方法416

7．14．1 共轭斜量法的三项形式416

7．14．2 共轭斜量加速法417

7．15 Чебышев加速法418

7．16 Lanczos加速法421

7．17 GCW法的加速过程423

7．17．1 GCW法423

7．17．2 迭代矩阵B的特征值为纯虚数时的Чебышев加速法424

6．7．4 对称正定稀疏方程组的解法424

7．17．3 基于GCW法的广义CG加速过程425

7．18 多重网格法425

7．18．1 多重网格方法的基本原理426

7．18．2 双网格方法428

7．18．3 线性多重网格方法434

7．18．4 完整的多重网格方法438

7．19 行处理方法439

7．20 压缩存储技巧441

7．20．1 按行随机存储非对称稀疏矩阵441

7．20．2 按行压缩存储对称矩阵442

7．20．3 带型对称稀疏矩阵的存储444

第8章 矩阵的特征直和特征向量446

8．1 引言446

8．2 幂法447

8．3．1 原点平移法450

8．3 幂法的加速方法450

8．3．2 Aitken加速法452

8．3．3 Rayleigh商加速453

8．4 压缩方法454

8．5 实对称矩阵的同时迭代法(子空间迭代法)与反同时迭代法457

8．5．1 基本原理457

8．5．2 同时迭代法的迭代过程459

8．5．3 反同时迭代法461

8．6．1 求按模最小的特征值462

8．6 反幂法462

8．6．2 计算给定的近似特征值相应的特征向量463

8．7 Jacobi方法465

8．7．1 原理和算法465

8：7．2 循环Jacobi法470

8．7．3 Jacobi过关法471

8．8 Givens方法和Householder方法472

8．8．1 Givens方法473

8．8．2 Householder方法476

8．9 用二分法求实对称三对角矩阵的特征值482

8．9．1 Sturm序列483

8．9．2 二分法484

8．10 LR和QR算法487

8．10．1 LR算法487

8．10．2 无移位的QR算法489

8．10．3 具有移位的QR算法490

8．11 求实对称三对角矩阵特征值的QL算法492

8．11．1 无移位的QL算法492

8．11．2 具有移位的QL算法495

8．12 广义特征值问题499

8．12．1 特征值问题Ax=λBx500

8．12．2 特征值问题ABx=λx501

第9章 非线性方程组数值解法503

9．1 引言503

9．2 迭代法506

9．2．1 迭代法的基本概念506

9．2．2 压缩映射原理与迭代法收敛性508

9．3 Newton法及其变形510

9．3．1 Newton法510

9．3．2 Newton法的收敛性512

9．3．3 Newton-Steffensen方法513

9．3．4 Newton-Щаманский方法514

9．3．5 Newton下山法515

9．4 Brown方法与Brent方法516

9．4．1 Brown方法516

9．4．2 Brent方法521

9．5 Newton松弛型迭代法524

9．5．1 Newton-SOR迭代法524

9．5．2 非线性松弛迭代法526

9．6 割线法527

9．7 拟Newton法533

9．7．1 拟Newton法的基本思想533

9．7．2 Broyden方法535

9．7．3 秩2校正公式539

9．8 极小化方法541

9．8．1 下降算法542

9．8．2 最速下降法543

9．8．3 共轭梯度法545

9．9 延拓法546

9．9．1 数值延拓法547

9．9．2 参数微分法549

9．10 单纯形算法551

9．10．1 三角剖分与算法的基本思想552

9．10．2 同伦算法555

9．11 区间迭代法559

10．1 引言564

10．1．1 常微分方程的初值问题564

第10章 常微分方程初值问题的数值方法564

10．1．2 数值离散方法565

10．2 显式单步法的一般概念568

10．3 Euler方法570

10．3．1 Euler方法570

10．3．2 隐式Euler方法和梯形方法572

10．3．3 改进的Ehler方法573

10．4 Runge-Kutta方法574

10．4．1 Runge-Kutta方法的一般形式574

10．4．2 二阶Runge-Kutta方法575

10．4．3 三阶Runge-Kutta方法577

10．4．4 四阶Runge-Kutta方法578

10．4．5 高阶Runge-Kutta方法580

10．4．6 Runge-Kutta-Fehlberg方法582

7．11 块迭代法和隐式交替方向迭代法586

10．5 线性多步法589

10．5．1 线性多步法的一般形式589

10．5．2 Adams方法592

10．5．3 Milne方法595

10．5．4 Hamming方法596

10．6 预测—校正方法596

10．6．1 预测—校正的一般方法596

10．6．2 Adams预测—校正方法597

10．6．3 Hamming预测—校正方法600

10．7 外推方法600

10．7．1 外推的一般方法600

10．7．2 Gragg外推方法602

10．8．1 一阶微分方程组的数值方法604

10．8 方程组和高阶方程的数值方法604

10．8．2 高阶方程的数值方法605

10．9 稳定性606

10．9．1 单步法的绝对稳定性607

10．9．2 线性多步法的绝对稳定性611

10．9．3 方程组线性多步法的绝对稳定性614

10．10 刚性方程组的数值方法615

10．10．1 方程组的刚性现象615

10．10．2 刚性方程组的数值方法616

第11章 常微分方程边值问题的数值方法620

11．1 引言620

11．2 试射法621

11．2．1 线性边值问题的试射法621

11．2．2 非线性问题的试射法623

11．3 有限差分方法627

11．3．1 线性问题的差分方法627

11．3．2 非线性问题的差分方法633

11．4 变分方法635

11．4．1 变分问题635

11．4．2 变分问题的近似计算638

11．5 有限元方法642

11．5．1 线性元643

11．5．2 高次元649

11．6 样条函数方法652

第12章 偏微分方程数值解法655

12．1 椭圆型方程的差分解法655

12．1．1 典型问题655

12．1．2 网格和差分近似656

12．1．3 差分格式的构造方法657

12．1．4 通用的差分格式659

12．1．5 边界条件的处理661

12．2 双曲型方程的差分解法666

12．2．1 典型问题666

12．2．2 差分格式668

12．2．3 对流方程的差分格式674

12．2．4 波动方程的差分格式679

12．3 抛物型方程的差分解法683

12．3．1 典型问题683

12．3．2 扩散方程的差分格式684

12．3．3 对流扩散方程的差分格式692

12．3．4 二维扩散方程694

12．4 有限元方法697

12．4．1 椭圆型边值问题的变分原理698

12．4．2 三角形线性元700

12．4．3 三角形单元上的高次插值714

12．4．4 矩形单元719

12．4．5 等参数单元722

第13章 积分方程数值解法724

13．1 引言724

13．2 数值求积法724

13．2．1 方法的一般描述725

13．2．2 乘积积分法727

13．2．3 修正的数值求积方法729

13．2．4 重迭核方法732

13．3 近似退化核替代法733

13．4 矩量法736

13．5 特征值问题737

13．6 用多步法解第二类Volterra积分方程740

13．7 用Runge-Kutta型方法解第二类Volterra积分方程744

附录748

1．三次样条插值748

2．有理函数插值753

3．正交多项式曲线拟合756

4．二分法求方程的根760

5．Romberg求积762

6．Gauss求积和Robinson方法765

7．列主元Gauss消去法768

8．大型对称正定变带宽方程组的解法771

9．对称带型方程组的解法774

10．Gauss-Seidel迭代法求大型稀疏线性方程组的解778

11．SOR迭代法求大型稀疏线性方程组的解782

12．Чебышев加速法加速Jacobi迭代求解大型稀疏线性方程组786

13．共轭斜量加速Jacobi迭代法求解大型稀疏线性方程组794

14．Jcaobi方法求实对称矩阵的特征值和特征向量800

15．求实矩阵全部特征值和特征向量的QR方法803

16．解非线性方程组的Brown方法821

17．解非线性方程组的割线法827

18．解非线性方程组的Broyden方法833

19．自适应Runge-Kutta方法837

20．定步长Hamming方法841

参考资料846

中文—外文索引850

外文—中文索引868

外国人名表887