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本手册的用法1

第一编基础1

1.数学中定理的证明1

1.1.数学归纳法1

1.2.反证法3

2.集合·映射·关系4

2.1.集合4

2.2.映射7

2.3.关系9

2.4.图与树11

3.1.1.半群与群12

3.1.群12

3.代数基础知识12

3.1.2.群的基本性质14

3.1.3.置换群15

3.1.4.子群17

3.1.5.剩余类20

3.1.6.正规子群与剩余(类)群22

3.1.7.同态映射23

3.1.8.合成列25

3.2.环与域26

3.2.1.环26

3.2.2.理想与剩余环29

3.2.3.域30

3.2.4.域上的多项式环32

3.2.5.多项式理想34

3.2.6.伽罗瓦域37

4.线性映射与矩阵38

4.1.矩阵及线性映射的多项式39

4.2.特征向量与特征值40

4.3.特征多项式43

4.4.矩阵的三角化44

4.5.不变子空间45

4.6.再论特征多项式51

4.7.对角化52

4.8.以多项式为元的矩阵及其初等因子53

4.9.第一种标准形57

4.10.约当标准形(第二种标准形)64

5.范畴67

5.1.范畴67

5.2.单射、满射、双射、同构射69

5.3.余等化射、等化射70

5.4.(?，?)-分解71

5.5.回拖、前推74

5.6.函子75

5.7.自由、上自由76

5.8.自然变换78

6.距离空间与赋范空间79

6.1.距离空间80

6.2.赋范空间84

第二编自动机86

1.自动机理论的发展86

1.1.自动机理论的起源86

1.2.自动机理论的意义87

1.3.有限自动机理论的确立88

1.4.各种自动机的发展88

1.5.自动机和语言的关系89

1.6.作为新分支的自动机理论89

2.各种各样的自动机92

2.1.有限自动机92

2.1.1.有限自动机92

2.1.2.同余类系和有限自动机95

2.1.3.非确定性有限自动机97

2.2.概率自动机98

2.2.1.概率自动机的定义98

2.2.2.概率自动机的等价性99

2.2.3.概率自动机定义的输入字函数100

2.2.4.拟正则函数和线性空间自动机102

2.2.5.概率自动机定义的断点语言103

2.2.6.补充105

2.3.时序机105

2.3.1.时序机的定义105

2.3.2.状态等价和最简型时序机107

2.3.3.时序机实现函数f？ ∑+→△+的条件108

2.3.4.时序机的状态分配和线路实现109

2.4.线性时序机110

2.4.1.定义112

2.4.2.浅性时序机的简化113

2.5.下推自动机115

2.5.1.非确定的下推自动机116

2.5.2.确定的下推自动机118

2.6.堆栈自动机118

2.7.气球自动机121

2.8.树自动机125

2.9.细胞自动机131

2.9.1.基本定义131

2.9.2.自生长134

2.9.3.其它问题136

2.10.线性有界自动机137

3.自动机和其它分支的关系140

3.1.自动机和数集140

3.2.自动机和拓扑145

3.3.自动机和范畴146

3.3.1.一个自动机的转移范畴147

3.3.2.机器范畴和自动机范畴148

3.3.3.行为范畴149

3.3.4.语言范畴150

3.3.5.函子——机器和行为的桥梁150

3.3.6.自动机范畴150

3.4.自动机和代数151

3.4.2.理论和代数152

3.4.1.范畴152

3.4.3.T自动机和可识别集合154

3.4.4.自由理论和关系代数，关系自动机154

3.4.5.代数集合和主要结果155

第三编计算机157

1.计算机的发展157

1.1.计算机时代157

1.2.元件的进展158

1.3.计算机使用形式的变化159

1.4.计算机应用领域的扩大159

2.1.定点运算方式160

2.二进制数及其运算160

2.2.浮点运算方式162

2.3.二进制及其运算163

2.4.p进制及其运算168

2.5.编码170

3.布尔函数172

3.1.布尔代数(1)172

3.1.1.布尔代数的定义172

3.1.2.布尔格175

3.1.3.布尔代数的表示175

3.2.布尔函数175

3.2.1.布尔函数的布尔代数175

3.2.2.布尔函数的标准展开177

3.2.3.布尔函数的完全系178

3.2.4.布尔函数的对偶性178

3.2.5.布尔函数的性质179

3.2.6.布尔函数的简化180

3.3.布尔函数的几何表示180

3.3.1.n维超立方体表示法180

3.3.2.卡诺图182

4.逻辑设计183

4.1.组合线路183

4.2.时序线路187

4.3.各种运算线路190

4.4.何谓逻辑设计194

5.MIX1009198

5.1.MIX 的构成199

5.2.字的构成200

5.3.指令格式200

5.4.MIX1009的指令202

第四编语言209

1.语言理论的变迁209

1.1.语言理论的起源209

1.2.语言理论的意义210

1.3.范式的发现210

1.4.自动机和语言的联系211

1.5.语法分析的发展211

2.1.2.有限自动机和正规语言212

2.1.1.正规文法212

2.形式语言212

2.1.正规语言212

2.1.3.正规语言的性质213

2.1.4.正规表示216

2.1.5.正规表示代数219

2.2.上下文无关语言220

2.3.Greibach 定理224

2.4.Chomsky 定理226

2.5.Chomsky—Schutzenberger 定理229

2.6.Parikh 定理231

2.6.1.定理的内容231

2.6.2.派生树232

2.6.3.Parikh定理的证明234

2.7.加标文法237

2.8.具有控制集合的文法240

2.9.状态文法242

2.9.1.文法.派生.生成语言的定义243

2.9.2.状态语言的性质244

2.10.上下文有关文法245

2.10.1.上下文有关文法的定义245

2.10.2.上下文有关语言族的大小247

2.10.3.单侧上下文有关文法248

2.10.4.与线性有界自动机的关系249

2.11.有关语言的运算250

2.12.语言的导映射254

2.13.语言的结构图及其应用259

2.13.1.语言的结构图259

2.13.2.正规语言的结构图和有限自动机261

2.13.3.自由语言的结构图和下推自动机265

2.14.有关语言的判定问题265

3.语言的语法分析269

3.1.何谓语法分析?269

3.2.算符优先语言275

3.3.优先语言279

3.4.依语法规则的编译282

3.5.LR(k)文法287

3.6.Floyd 生成语言292

第五编程序设计297

1.程序设计语言的发展297

2.程序设计语言299

2.1.机器语言299

2.2.汇编语言300

2.3.编译语言302

2.4.ALGOL302

2.5.EULER306

2.6.PASCAL306

2.7.FORTRAN307

2.8.PL/1310

2.8.1.PL/1的特点310

2.8.2.PL/1程序的例子312

3.编译技巧313

3.1.编译程序313

3.2.堆栈315

4.程序设计技巧315

4.1.数据结构317

4.2.结构化程序设计320

4.3.递归程序设计321

5.符号处理与公式处理324

5.1.什么叫符号处理?324

5.2.串处理327

5.3.表处理331

5.4.什么叫公式处理?334

5.5.IPL—V335

5.6.McCarthy条件表达式338

5.7.LISP 1.5341

5.8.L?345

5.9.SLIP348

5.10.SNOBOL352

第六编计算理论356

1.计算理论的发展356

1.1.计算理论的起源356

1.2.计算理论的意义357

1.3.理想计算机357

1.4.计算量与计算复杂性358

1.5.程序理论359

2.可计算性359

2.1.图灵机359

2.2.可计算性364

2.3.递归函数368

2.4.Godel 数372

2.5.通用图灵机376

2.6.递归可枚举集379

2.7.停机问题382

2.8.Markov 算法383

2.8.2.作为字变换过程的算法384

2.8.1.公式化的准备384

2.8.3.Markov 标准算法385

2.8.4.标准算法的简单例子387

2.8.5.算法的合成389

3.各种理想计算机390

3.1.王氏—李氏型理想计算机390

3.1.1.李氏计算机390

3.1.2.李氏计算机的变形392

3.2.Shepherdson—Sturgis 的理想计算机392

3.3.Elgot 的 RASP393

3.3.1.RASP 的定义394

3.3.2.RASP 的例子P?395

4.1.计算复杂性理论397

4.1.1.关于时间的理论397

4.计算量问题和计算复杂性397

4.1.2.关于带用量的理论398

4.1.3.关于巡回序列的理论398

4.1.4.关于程序长度的理论398

4.1.5.原始递归函数的层次399

4.2.变形图灵机401

4.2.1.图灵的定义和Post的定义401

4.2.2.单向无限带的图灵机402

4.2.3.不使用抹去功能的图灵机402

4.2.4.多带图灵机403

4.2.5.多维带图灵机403

4.2.8.其它图灵机404

4.3.Stearns—Hartmanis—Lewis 理论404

4.2.7.非确定的图灵机404

4.2.6.多读写头图灵机404

4.3.1.C?的基本性质405

4.3.2.识别非正规集合所需的带用量406

4.4.Hartmanis—Stearns 理论407

4.4.1.S?的基本性质408

4.4.2.计算装置与计算时间的关系409

4.4.3.实时可计数性和复杂性类411

4.4.4.可计算实数的分类411

4.5.加速定理412

4.6.Blum理论413

4.6.1.基本性质414

4.6.2.压缩定理和空隙定理416

5.程序理论417

5.1.程序图式417

5.1.1.流图型程序图式418

5.1.2.图式的解释420

5.1.3.关于F图式的主要结果422

5.1.4.递归程序图式424

5.1.5.While 程序图式425

5.2.程序验证426

5.3.程序的不动点理论430

5.3.1.递归程序和泛函的最小不动点431

5.3.2.不动点归纳法434

6.1.布尔代数(2)437

6.定理的证明437

6.2.命题逻辑440

6.3.谓词逻辑445

6.4.定理的证明453

6.5.消解定理456

6.6.消解的技巧461

第七编数值分析467

1.数分析的发展467

1.1.计算机与数值计算467

1.2.值分析的意义468

1.3.计算方法的发展468

2.式子的计算与误差470

2.1多项式的计算470

2.2误差474

3.函数的插值与逼近482

3.1.插值482

3.2.样条逼近486

3.3.最佳逼近492

3.4.Pade 逼近499

3.5.Maehly 逼近503

3.6.连分数逼近504

4.数值微分与数值积分510

4.1.Newton—Cotes 型公式510

4.2.Gauss 型公式513

4.4.Romberg 数值积分法521

4.3.Chebyshev 型公式521

4.5.Richardson 外推法528

4.6.数值微分536

4.7.多重数值积分539

5.代数方程的数值解法544

5.1.Lehmer—Schur 方法544

5.2.Deion—Nickel 方法546

5.3.Henrichi 方法549

6.线性方程组的数值解法554

6.1.高斯消去法554

6.2.共轭斜量法558

6.3.谱半径560

6.4.逐次超松弛法563

6.5.交替方向法568

7.矩阵特征值的计算570

7.1.Givens 方法570

7.2.Jacobi 方法572

7.3.LR 方法575

7.4.QR 方法580

8.非线性方程组的数值解法583

8.1.简单迭代法583

8.2.牛顿法587

9.常微分方程的数值解法594

9.1.Runge—Kutta—Gill 方法594

9.3.Bickley 方法599

9.2.Hammning 方法599

10.其它604

10.1.快速付氏变换604

10.2.拉普拉斯逆变换607

附录1数值分析需要的基础数学614

1.初等函数论614

1.1.复数序列与级数614

1.2.复函数序列与函数项级数615

1.3.正则函数620

1.4.复积分621

1.5.基本定理622

1.6.残数定理与定积分的计算627

2.1.拓扑空间的定义629

2.拓扑空间629

2.2.豪斯道夫空间630

2.3.连续函数630

2.4.积拓扑.诱导拓扑631

2.5.紧空间.紧集合632

2.6.极限633

2.8.商空间633

3.拓扑向量空间634

3.1.距离空间634

3.2.赋范空间.巴拿赫空间635

3.3.希尔伯特空间636

3.4.拓扑向量空间与半范数637

3.5.希尔伯特空间的弱拓扑639

3.6.赋范空间及其对偶空间的弱拓扑640

3.7.局部凸空间640

3.8.具体的函数空间及其性质641

3.9.广义函数643

附录2数表与公式645

1.常数645

2.nlge 表645

3.nln10表645

4.ex 表646

5.自然对数表647

6.1.含 a+bx 的函数的不定积分649

6.2.含a2+x2，a2-x2，a+bx2函数的不定积分649

6.不定积分公式649

6.3.含?a+bx函的函数的不定积分650

6.4.含?x2+a2的函数的不定积分650

6.5.含?a2-x2的函数的不定积分651

6.6.含?x2-a2的函数的不定积分651

6.7.指数函数和三角函数的不定积分652

6.8.对数函数的不定积分654

7.幂级数展开654

8.Chebvshev 多项式的系数655

9.x?的Chebyshev 展开系数655

10.Chebyshev 展开的例子656

11.调和多项式656

12.1.正交多项式657

12.正交多项式657

12.2.勒让德多项式659

12.3.Chebyshev 多项式660

12.4.Hermite 多项式661

12.5.L?guerre 多项式661

13.样条函数662

13.1.H?空间662

13.2.样条函数空间662

13.3.线性泛函的逼近664

13.4.泛函在Sard意义下的最佳逼近665

附录3 杂志一览665

附录4 参考文献666

附录5 术语索引692