《现代应用数学手册 现代应用分析卷》求取 ⇩

1 集合与映射1

1．1 集合及集合的运算1

1．1．1 集合的概念1

1．1．2 并集与交集3

1．1．3 差集与余集5

1．1．4 积集与投影7

1．2 映射8

1．2．1 映射与逆映射8

1．2．3 映射的延拓与限制14

1．2．2 映射的图象14

1．2．4 映射的复合15

1．2．5 集合的特征函数16

1．3 集合的基数16

1．3．1 对等与基数16

1．3．2 可列集19

1．3．3 连续点集的基数20

1．4 顺序关系及等价关系21

1．4．1 偏序与全序21

1．4．2 佐恩引理23

1．5．1 一些基本概念与性质24

1．5 实(数)直线上的点集24

1．4．3 等价关系及商集24

1．5．2 邻域、开集和闭集28

1．5．3 实(数)直线的完备性28

1．5．4 有界闭集的列紧性与紧性30

参考文献31

2 实变函数论32

2．1 引言32

2．1．1 实变函数论的产生32

2．1．2 建立勒贝格积分的方法33

2．2．1 有界集合的内测度与外测度35

2．2 测度论35

2．2．2 测度的性质37

2．3 可测函数39

2．4 勒贝格积分45

2．4．1 积分的定义与基本性质45

2．4．2 积分收敛定理47

2．4．3 富比尼定理51

2．5 有界变差函数与黎曼-斯蒂尔切斯积分53

2．5．1 单调函数与有界变差函数53

2．5．2 黎曼-斯蒂尔切斯积分56

2．6 绝对连续函数与微分58

2．7 空间Lp60

2．8 勒贝格积分的其它定义方法63

2．8．1 里斯方法63

2．8．2 基于完备化思想定义勒贝格积分的方法65

2．9 抽象测度68

2．9．1 环上的测度68

2．9．2 测度的扩张70

2．9．3 可测函数与积分71

2．9．4 勒贝格-斯蒂尔切斯积分73

3．1．1 空间结构75

3．1 集合与空间75

3 空间结构与抽象空间75

3．1．2 欧几里得空间77

3．1．3 酉空间80

3．2 线性运算 线性空间81

3．2．1 线性运算81

3．2．2 线性空间82

3．2．3 线性子空间83

3．2．4 线性相关与线性无关85

3．2．5 维数与基85

3．3．1 距离88

3．3 距离 度量空间88

3．3．2 度量空间89

3．3．3 开集与闭集90

3．3．4 聚点与闭包93

3．3．5 极限与收敛94

3．3．6 连续映射95

3．3．7 柯西序列与完备度量空间97

3．3．8 列紧性与紧性99

3．3．9 压缩映射与不动点定理102

3．4．1 范数和半范数103

3．4 范数 赋范线性空间103

3．4．2 赋范线性空间107

3．4．3 强收敛108

3．4．4 巴拿赫空间109

3．4．5 连续函数空间110

3．5 内积 内积空间112

3．5．1 内积112

3．5．2 内积空间113

3．5．3 希尔伯特空间115

3．5．4 正交与投影116

3．5．5 正交集119

3．6．1 拓扑123

3．6 拓扑 拓扑空间123

3．6．2 拓扑空间124

3．6．3 拓扑空间的基本概念与性质126

参考文献129

4 线性泛函分析131

4．1 引言131

4．2 线性拓扑空间132

4．2．1 基本概念132

4．2．2 局部凸空间134

4．2．3 弗雷歇空间135

4．3．1 定义与基本性质137

4．3 有界线性算子137

4．3．2 有界线性算子空间139

4．3．3 算子乘法与逆算子143

4．4 连续线性泛函144

4．4．1 基本概念与性质144

4．4．2 连续线性泛函的一般形式148

4．4．3 凸集分离定理151

4．5 有界线性算子的基本定理152

4．6 共轭空间与共轭算子155

4．6．1 弱收敛与弱收敛155

4．6．2 自反巴拿赫空间157

4．6．3 共轭算子159

4．6．4 无界算子的伴随算子161

4．7 各类算子164

4．7．1 酉算子与正规算子164

4．7．2 自伴算子165

4．7．3 投影算子166

4．7．4 全连续线性算子168

4．7．5 弗雷德霍姆算子169

4．7．6 希尔伯特-施密特算子170

4．7．7 拉克斯-米尔格拉姆定理171

4．8．1 谱的概念与基本性质172

4．8 线性算子的谱172

4．8．2 自伴算子的谱175

4．8．3 全连续算子的谱179

4．9 算子半群182

4．9．1 一致连续半群与强连续半群182

4．9．2 压缩半群与耗散算子185

4．10 巴拿赫代数189

4．10．1 概念与例189

4．10．2 预解集与谱192

4．10．3 理想与同态193

4．10．4 交换巴拿赫代数194

参考文献196

5 广义函数197

5．1 引言197

5．2 检验函数199

5．3 广义函数203

5．3．1 定义及例203

5．3．2 分布的代数运算206

5．3．3 分布的支集208

5．3．4 分布序列的收敛209

5．4 分布导数212

5．5 一些重要的分布215

5．6 分布的直积与卷积223

5．6．1 分布的直积223

5．6．2 分布的卷积225

5．6．3 卷积的应用227

5．7 缓增分布与傅里叶变换228

5．7．1 速降检验函数229

5．7．2 缓增分布230

5．7．3 速降函数的傅里叶变换232

5．7．1 缓增分布的傅里叶变换234

5．7．6 某些应用240

5．7．5 直积与卷积的傅里叶变换240

5．8 分布的拉普拉斯变换243

5．8．1 经典函数的拉普拉斯变换243

5．8．2 分布的拉普拉斯变换244

5．8．3 变换公式244

参考文献245

6 变分法与变分原理246

6．1 变分法的问题246

6．1．1 古典变分学问题246

6．1．2 变分法的内容与意义249

6．2．1 ∫baF(x，y，y′)dx型不动边界问题250

6．2 欧拉方程250

6．2．2 ∫baF(x，y1，…，yn，y1′，…，yn′)dx型不动边界问题255

6．2．3 ∫baF(x，y，y′，…，y(n))dx型不动边界问题256

6．2．4 依赖多元函数的泛函257

6．2．5 可动边界问题259

6．2．6 条件极值问题264

6．3 变分问题的直接法267

6．3．1 欧拉有限差分法267

6．3．2 里茨法269

6．3．3 康托罗维奇法272

6．4．1 二次函数的极值274

6．4 数学物理中的变分原理274

6．4．2 能量法276

6．4．3 虚功原理280

6．4．4 广义解283

6．5 里茨-伽辽金方法287

6．5．1 变分原理常用的近似解法287

6．5．2 里茨法的应用及伽辽金法288

6．5．3 里茨-伽辽金法的收敛性292

6．5．4 里茨法在特征值计算中的应用295

参考文献301

7．1 数学模型概述302

7 数学模型302

7．1．1 建模的目的和步骤303

7．1．2 模型的分类304

7．1．3 系统辨识305

7．2 建立数学模型的方法307

7．2．1 初等分析307

7．2．2 初等概率310

7．2．3 量纲分析311

7．2．4 极值分析314

7．2．5 微分方程320

7．2．6 马尔可夫链分析323

7．2．7 冲量过程326

7．2．8 层次分析330

7．3 数学模型的应用335

7．3．1 人口336

7．3．2 经济339

7．3．3 社会342

7．3．4 交通345

7．3．5 医学348

7．3．6 生产350

7．3．7 生态352

7．3．8 体育354

8．1．1 不等式的意义358

8．1．2 常用不等式的类型358

8 不等式358

8．1 引言358

8．1．3 几个特点359

8．2 几个基本不等式360

8．2．1 杨不等式360

8．2．2 关于积分的平均值不等式363

8．2．3 关于积分的赫尔德不等式365

8．2．4 关于积分的闵可夫斯基不等式368

8．3．1 凸函数、单调函数与不等式370

8．3 与凸函数单调函数有关的不等式370

8．3．2 有关凸(凹)函数的一些不等式372

8．3．3 斯梯芬森不等式377

8．4 有关变分法的一些不等式378

8．4．1 变分法与不等式378

8．4．2 包含一阶导数的一类不等式379

8．4．3 温廷杰不等式380

8．4．4 包含二阶导数的一类不等式381

8．4．5 其它不等式382

8．5 与矩阵有关的一些不等式383

8．5．1 正定矩阵的一些不等式383

8．5．2 有关特征值的一些不等式388

8．5．3 正矩阵的几个不等式394

8．6 与微分算子有关的—些不等式396

8．6．1 一阶线性常微分算子396

8．6．2 二阶及高阶线性常微分算子399

8．6．3 广义凸性401

8．6．4 二阶线性偏微分算子404

8．6．5 几个定理406

8．6．6 联系函数及其导数的不等式408

8．6．7 离散情形410

8．7．1 从多线性型到积分的类似情形412

8．7 其它不等式412

8．7．2 希尔伯特不等式及其推广和应用415

8．7．3 哈代不等式及其类似情形420

8．7．4 0＜p＜1及两个参数的情形424

8．7．5 重新排列426

参考文献433

9 特殊函数434

9．1 引言434

9．2 Γ函数Β函数436

9．2．1 Γ函数的定义436

9．2．2 Γ函数的性质437

9．2．3 Β函数438

9．3 超几何函数439

9．3．1 超几何级数和超几何函数439

9．3．2 广义超几何函数443

9．3．3 合流超几何函数447

9．4 贝塞尔函数448

9．4．1 第一类贝塞尔函数的基本概念448

9．4．2 整数阶和半奇数阶的第一类贝塞尔函数450

9．4．3 第二类和第三类贝塞尔函数453

9．4．4 变型的贝塞尔函数454

9．4．5 几个图形455

9．4．6 渐近展开式和零点456

9．4．7 傅里叶-贝塞尔展开458

9．4．8 应用举例460

9．5 正交多项式463

9．5．1 正交多项式的基本概念463

9．5．2 正交多项式的基本性质464

9．5．3 雅可比多项式466

9．5．4 切比雪夫多项式469

9．6．1 勒让德多项式的定义475

9．6 勒让德多项式及有关的函数475

9．6．2 勒让德多项式的基本性质478

9．6．3 第二类勒让德函数480

9．6．4 伴随勒让德函数481

9．6．5 球面函数483

9．6．6 应用举例485

9．7 埃尔米特多项式486

9．8 拉盖尔多项式489

9．8．1 广义拉盖尔多项式489

9．8．2 拉盖尔多项式493

参考文献496

10 积分变换497

10．1 引言497

10．2 积分变换497

10．2．1 定义497

10．2．2 若干重要的积分变换498

10．3 傅里叶变换499

10．3．1 傅里叶变换及其反演公式499

10．3．2 傅里叶变换的性质500

10．3．3 傅里叶变换及其反演公式存在的条件502

10．3．4 傅里叶余弦变换与傅里叶正弦变换504

10．3．5 傅里叶变换表505

10．4 拉普拉斯变换509

10．4．1 引言509

10．4．2 拉普拉斯变换及其反演公式509

10．4．3 拉普拉斯变换的性质509

10．4．4 拉普拉斯变换及其反演公式存在的条件512

10．4．5 拉普拉斯变换的主要公式表513

10．4．6 拉普拉斯变换表516

10．5 梅林变换536

10．5．1 梅林变换及其反演公式536

10．5．2 梅林变换的性质538

10．5．3 梅林变换与傅里叶变换的关系539

10．5．4 梅林变换的重要公式表540

10．5．5 梅林变换表541

10．6 汉开尔变换564

10．6．1 汉开尔变换及其反演公式564

10．6．2 汉开尔变换表564

10．6．3 汉开尔变换的推广566

10．7 斯蒂尔切斯变换及其反演公式567

10．8．1 魏尔斯特拉斯变换及其反演公式568

10．8．2 魏尔斯特拉斯变换表568

10．8 魏尔斯特拉斯变换568

10．9 勒让德变换及其反演公式569

10．10 希尔伯特变换及其反演公式569

10．11 一般积分变换及其反演公式570

10．11．1 康托洛维奇-列别捷夫变换570

10．11．2 梅涅尔-福克斯变换571

10．11．3 列别捷夫变换571

10．11．4 外姆普变换571

参考文献572

11．1 基本概念573

11．1．1 引言573

11 摄动方法573

11．1．2 阶符574

11．1．3 渐近展开576

11．1．4 无量纲化579

11．2 正则摄动法581

11．3 变形坐标法587

11．3．1 变形参数法588

11．3．2 变形坐标法589

11．3．3 重正化方法591

11．4．1 匹配法593

11．4 匹配法593

11．4．2 合成法600

11．5 多重尺度法604

11．5．1 多变量法(导数展开法)605

11．5．2 双变量展开法615

11．5．3 推广的多重尺度法620

参考文献626

附录627

特殊函数表627

中文—外文索引638

外文—中文索引661

外国人名表685