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第一章 基础知识1

一、数域1

二、映射6

三、二元运算15

第二章 矩阵的运算21

一、矩阵的加法、减法、乘法21

二、矩阵乘法可交换的条件27

三、矩阵的幂31

四、矩阵的转置与共轭40

五、矩阵的逆和伴随矩阵45

六、矩阵的迹63

七、矩阵的直积65

一、关系70

第三章 矩阵的三种等价关系70

二、等价关系72

三、等价类75

四、剩余类77

五、矩阵的初等变换与初等矩阵77

六、矩阵的第一种等价关系——等价79

七、分块矩阵的初等变换85

八、矩阵的第二种等价关系——合同87

九、矩阵的第三种等价关系——相拟88

第四章 矩阵的秩90

一、定义90

二、求法91

三、矩阵的运算及秩的变化96

四、分块矩阵的秩107

五、降阶公式113

一、克莱姆法则117

第五章 线性方程组117

二、线性方程组的同解125

三、消元法126

四、迭代法介绍135

五、齐次线性方程组的解空间141

六、非齐次线性方程组解的结构150

七、矩阵方程介绍160

八、线性方程组的反问题163

第六章 行列式166

一、定义166

二、性质与公式172

三、化三角形177

四、范德蒙行列式184

五、降价法192

六、拆成行列式之积(或和)205

七、作辅助行列式211

八、递推法212

九、数学归纳法226

十、主对角严格占优227

十一、降阶定理228

第七章 多项式的运算与因式分解232

一、多项式的概念和运算232

二、整除及带余除法240

三、最大公因式254

四、互素259

五、不可约多项式与因式分解276

第八章 多项式的根290

一、多项式的根290

二、单位根295

三、有理根299

四、根与系数的关系302

五、三次与四次多项式的根307

六、实系数多项式的根310

七、斯图姆定理316

八、两个多项式的公共根321

第九章 多元多项式327

一、定义327

二、对称多项式329

三、二次型的定义336

四、二次型的标准形338

五、实二次型合同的充要条件349

六、正定与半正定二次型(矩阵)360

第十章 若当标准形380

一、λ—矩阵380

二、入—矩阵的等价383

三、行列式因子与不变因子384

四、方阵的初等因子390

五、矩阵相似的条件393

六、最小多项式396

七、若当标准形404

八、方阵与对角阵相似的条件422

九、两个矩阵同时相似于对角矩阵431

第十一章 特征值与特征向量434

一、定义与求法434

二、三对角矩阵的特征值454

三、矩阵多项式的特征值457

四、哈密尔顿—凯莱定理465

五、特征子空间473

六、圆盘定理478

七、特征值的界483

八、广义特征值488

一、对角矩阵与准对角矩阵490

第十二章 几种特殊矩阵490

二、三角矩阵492

三、反对称矩阵496

四、幂等矩阵499

五、幂么矩阵503

六、幂零矩阵507

七、循坏矩阵与反循环矩阵510

八、正规矩阵521

九、酉矩阵526

十、正交矩阵530

十一、厄米特矩阵541

十二、亚正定矩阵545

十三、置换矩阵549

十四、哈达玛(Hadamard)矩阵552

一、向量范数555

第十三章 矩阵范数555

二、矩阵范数558

第十四章 矩阵的稳定性565

一、矩阵的稳定性565

二、多项式的稳定性567

第十五章 矩阵分解577

一、定义577

二、积因子分解578

三、和因子分解594

第十六章 广义逆、矩阵方程、不等式597

一、减号广义逆597

二、加号广义逆600

三、线性方程组的解的公式603

四、矩阵方程604

五、凸函数607

六、几个著名不等式612

七、极值615

八、实对称矩阵的特征值的表示617

第十七章、非负矩阵与M矩阵622

一、定义622

二、非负矩阵的谱625

三、正矩阵630

四、M矩阵634

第十八章 矩阵分析641

一、极限641

二、矩阵级数643

三、几个常用的矩阵级数648

四、矩阵的微分650

五、矩阵的积分653

第十九章 线性空间654

一、定义与性质654

二、向量的线性相关性659

三、基、维数与坐标674

四、线性子空间687

五、线性子空间的交、和693

六、直和706

七、欧氏空间713

八、酉空间(U空间)726

九、线性空间的同态与同构730

第二十章 线性变换734

一、定义734

二、常见的线性变换735

三、运算737

四、线性变换的矩阵741

五、核和值域(象)760

六、正交变换774

七、酉变换782

八、对称变换784

九、反对称变换787

十、共轭变换788

十一、幂零变换790

十二、幂等变换792

十三、对合变换793

十四、不变子空间793

第二十一章 双线性函数799

一、线性函数799

二、对偶空间802

三、双线性函数812

四、对称双线性函数818

第二十二章 代数系统的基本概念831

一、集合831

二、代数系统835

一、群839

第二十三章 群、子群和商群839

二、子群和陪集845

三、正规子群和商群854

四、群的中心和换位子群862

第二十四章 群的同态与直积867

一、群的同态867

二、自同构群875

三、群的直积881

第二十五章 循环群与置换群890

一、循环群890

二、置换群901

第二十六章 有限生成的Abel群912

一、有限Abel群912

二、有限生成的Abel群923

一、共轭934

第二十七章 有限群的Sylow定理934

二、Sylow定理的证明941

三、Syliw定理的简单应用947

第二十八章 环的基本概念954

一、定义与例子954

二、理想与商环963

三、素理想与极大理想972

四、环的同态与同构978

五、环的直和984

第二十九章 交换环上的矩阵论991

一、基本概念991

二、Mn(R)中的理想1000

三、行列式1007

第三十章 多项式环及其因式分解1013

一、一个未定元的多项式环及其基本性质1013

二、多个未定元的多项式环及其基本性质1019

三、多项式的因式分解1021

四、多项式函数与多项式的根1034

五、对称多项式1039

第三十一章 唯一分解整环1045

一、交换环的整除性1045

二、唯一分解整环1051

三、主理想整环与Euclid整环1058

四、唯一分解整环上的多项式环1070

第三十二章 交换整环的分式域1073

一、分式域1073

二、可乘子集与分式环1075

三、局部环1080

第三十三章 环的有限性1085

一、Artin环与Noether环1085

二、Artin半单环1087

一、模、子模和商模1095

第三十四章 模1095

二、模的同态1103

三、模的直积与直和1111

四、自由模1120

第三十五章 主理想整环上的模1133

一、主理想整环上的有限生成模1133

二、不变因子、初等因子1141

三、主理想整环上有限生成模的结构1148

四、对Abel群与线性代数的应用1158

五、主理想整环上有限生成模的自同态环1166

第三十六章 模的有限性1172

一、Artin模1172

二、Noether模1177

一、扩域1184

第三十七章 域1184

二、多项式的分裂、正规扩域1200

三、可分性与不可分性1209

四、有限伽罗瓦理论1222

五、超越扩张1234

第三十八章 有限域1238

一、一般理论1238

二、用有限域编码1243

第三十九章 偏序集与格1252

一、偏序集1252

二、格、布尔代数1262

三、有限偏序集上的反演公式1275

第四十章 范畴与函子简介1280

一、范畴1280

二、函子1282