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预备知识1

第一节集及其运算1

一、集与元1

二、子集与空集 集的相等3

三、集的运算与运算规律4

四、集的直积6

第二节 映射6

一、实数概述8

第三节 实数及其绝对值8

二、实数的绝对值的四则运算10

第四节 几个重要的不等式10

第五节 量词 否定12

习题14

第一章函数概论19

第一节 变量与函数19

一、变量19

二、函数20

三、几类特殊的函数24

一、和、差、积、商函数27

第二节 函数的运算 初等函数27

二、复合函数28

三、反函数30

四、初等函数32

习题34

第二章极限与连续初论40

第一节 数列的极限40

一、数列极限的概念与定义40

二、数列极限的四则运算46

三、数列收敛的条件50

四、从极限值看收敛数列的性质59

第二节 函数的极限60

一、函数极限的概念与各种类型 一个重要极限61

二、Heine 归结原理69

三、函数极限的有关定理 另一个重要极限71

四、无穷大量 无穷小量80

第三节 连续函数84

一、连续点84

二、间断点87

三、连续函数的运算90

四、初等函数的连续性93

五、函数的一致连续性94

习题98

第三章极限与连续续论109

第一节 子列 数列的上下极限109

一、子列109

二、数列的上下极限112

第二节 关于实数系的几个基本定理115

一、区间套定理116

三、有限覆盖定理117

二、收敛子列存在定理117

第三节 闭区间上连续函数的基本性质121

一、介值定理122

二、最值定理 有界性定理124

三、一致连续性定理125

习题127

第四章导数与微分132

第一节 导数的概念与定义132

一、导数的概念132

二、导数的定义134

三、切线方程与法线方程135

四、可导性与连续性的关系138

五、导函数138

第二节 求导法则140

一、导数的四则运算法则140

二、反函数的导数142

三、复合函数的导数144

第三节 微分148

一、微分的概念148

二、微分公式 微分的运算法则 一阶微分形式不变性150

三、微分的应用152

第四节 高阶导数与高阶微分154

一、高阶导数154

二、高阶微分158

三、参数方程表示的函数的导数159

习题161

第五章微分中值定理及其应用167

第一节 Rolle 定理 Lagrange 定理 Cauchy 定理167

第二节 Taylor 定理 Lagrange 插值公式172

一、Τaylor 定理172

二、Lagrange 插值公式177

第三节 L＇Hopital 法则178

一、0/0型179

二、∞/∞型180

三、其他待定型184

第四节 函数的单调性 极值与最值185

一、函数的单调性185

二、函数极值187

三、函数的最值190

第五节 函数的图形193

一、曲线的凸性与拐点194

二、曲线的渐近线198

三、函数的图形201

第六节 压缩映射原理 方程求根的 Νewton 法203

一、压缩映射原理203

二、Νewton 法206

习题209

第六章不定积分221

第一节 不定积分的概念 基本积分表221

一、原函数与不定积分221

二、基本积分表224

一、分项积分法226

第二节 分项积分法 分部积分法 换元积分法226

二、分部积分法227

三、换元积分法232

第三节 有理函数的积分 可化为有理函数的积分238

一、有理函数的积分238

二、三角函数有理式的积分243

三、两类可有理化的积分246

习题249

一、定积分的概念 Riemann 和253

第七章定积分及其应用253

第一节 定积分的概念 可积条件253

二、Darboux 和 Darboux 积分256

三、可积的充要条件259

第二节 可积函数类 微积分基本定理263

一、可积函数类263

二、微积分基本定理266

第三节 定积分的运算与性质 原函数存在定理269

一、可积函数的运算269

二、定积分对区间的可加性与估计式272

三、积分第一中值定理 原函数存在定理276

第四节 定积分的计算与估计280

一、定积分的计算280

二、定积分的估计286

第五节 定积分在几何中的应用举隅289

一、平面图形的面积289

二、平面曲线的弧长与曲率294

第六节 定积分在物理中的应用举隅302

一、功303

二、液体的旁压力304

第七节 数值积分初步306

一、矩形法 梯形法 抛物线法306

二、Εuler-Maclaurin 公式 数值积分的余项估计312

习题316

第八章广义积分329

第一节 无穷区间上函数的广义积分329

一、基本概念329

二、积分第二中值定理 敛散性判别法335

三、Cauchy 主值349

第二节 无界函数的广义积分350

第三节 广义积分的性质计算与估计359

习题364

第九章数项级数371

第一节 级数的概念与敛散性371

一、级数及其敛散性371

二、级数与广义积分的联系375

第二节 非负项级数376

一、判别敛散性的基本定理与比较判别法377

二、几种常用的敛散性判别法381

三、积分判别法 Stirling 公式389

第三节 任意项级数395

一、绝对收敛与条件收敛395

二、交错级数 Leibnitz 判别法398

三、Dirchlet 判别法 Abel 判别法401

第四节 收敛级数的余项估计 级数收敛速度的改善405

一、余项估计405

二、改善级数收敛速度的 Kummer 方法409

第五节 收敛级数的运算411

习题418