《数学物理中的几何方法》

第一章数学预备知识1

1.1Rn空间及其拓扑1

1.2映射5

1.3实分析10

1.4群论13

1.5线性代数15

1.6方阵代数19

1.7参考文献24

第二章微分流形和张量28

2.1流形的定义28

2.2球面作为流形32

2.3流形的其他例子34

2.4整体考察35

2.5曲线36

2.6M上的函数37

2.7向量和向量场38

2.8基向量和基向量场41

2.9纤维丛42

2.10纤维丛的例子44

2.11对纤维丛深入考察45

2.12向量场和积分曲线50

2.13算子d/dλ的指数51

2.14李括号和非坐标基52

2.15什么条件下一个基是坐标基56

2.16一次形式59

2.17一次形式的例子60

2.18狄拉克δ函数61

2.19梯度及一次形式的图形表示63

2.20基一次形式和一次形式的分量66

2.21指标的符号法68

2.22张量和张量场69

2.23张量的例子70

2.24张量的分量和外积72

2.25缩并73

2.26基的变换75

2.27对分量的张量运算78

2.28函数和标量79

2.29向量空间上的度规张量80

2.30流形上的度规张量场84

2.31狭义相对论87

2.32参考文献89

第三章李导数和李群91

3.1引言：流形上的向量场给出流形到其自身中的映射91

3.3向量场的李拉曳92

3.2函数的李拉曳92

3.4李导数94

3.5一次形式的李导数97

3.6子流形98

3.7弗罗比纳斯定理（向量场表述）100

3.8弗罗比纳斯定理的证明103

3.9例：S2的生成元106

3.10不变性107

3.11开林向量场109

3.13轴对称111

3.12开林向量和粒子动力学中的守恒量111

3.14抽象李群114

3.15李群的例子117

3.16李代数和它的群125

3.17实现和表示131

3.18球对称性，球谐函数和转动群的表示133

3.19参考文献139

4.1体积的定义——微分形式的几何作用141

第四章微分形式141

A形式的代数和积分计算141

4.2反对称张量的记号和定义144

4.3微分形式146

4.4微分形式的运算149

4.5形式的限制150

4.6形式的场151

4.7手征性和可定向性151

4.8体积和定向流形上的积分152

4.9N次向量，对偶和符号∈ij…k157

4.10张量密度162

4.11广义克罗尼克尔δ符号164

4.12行列式和∈ij…k166

4.13度规体积元167

B形式的微分及其应用169

4.14外微分169

4.15导数的标记法170

4.16外微分的常见例子172

4.17偏微分方程的可积条件173

4.18恰当形式174

4.19闭形式局部恰当性的证明176

4.20形式的李导数179

4.21李导数和外微分的可换性181

4.22斯托克斯定理181

4.23高斯定理和散度的定义185

4.24对上同调理论的简短讨论188

4.25微分形式和微分方程191

4.26弗罗比纳斯定理（微分形式表述）193

4.27弗罗比纳斯定理两种表述的等价性的证明197

4.28守恒定律199

4.29向量球谐函数201

4.30参考文献203

A热力学205

5.1简单体系205

第五章物理应用205

5.2麦克斯韦恒等式和其他数学恒等式206

5.3复合热力学体系：凯雷瑟多里定理208

B哈密顿力学210

5.4哈密顿向量场210

5.5正则变换212

5.6由？给出的向量和一次形式之间的映射212

5.7泊松括号213

5.8多粒子体系：辛形式214

5.9线性动力学体系：辛内积和守恒量215

5.10哈密顿方程的纤维丛结构218

C电磁理论220

5.11应用微分形式重新表述麦克斯韦方程组220

5.12电荷与拓扑224

5.13矢势226

5.14平面波——一个简单的例子227

D理想流体动力学228

5.15李导数的作用228

5.16共动时间导数228

5.17运动方程230

5.18涡量守恒231

E宇宙论234

5.19宇宙学原理234

5.20最大对称性的李代数238

5.22六个开林向量的构造243

5.23开的，闭的和平直的宇宙247

5.24参考文献249

第六章黎曼流形的联络和规范理论252

6.1引言252

6.2弯曲面上的平行性252

6.3协变导数254

6.4分量：基的协变导数256

6.5挠率259

6.6测地线260

6.7正规坐标262

6.8黎曼张量263

6.9黎曼张量的几何解释265

6.10平直空间267

6.11联络与体积测度或度规的相容性268

6.12度规联络270

6.13仿射联络和等价原理272

6.14联络和规范理论：电磁理论的例子273

6.15参考文献277

附录280

5.21球对称三维空间的度规341