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第1章随机层与随机网1

1 单摆系统的轨道解1

1.1 可积系统1

1.2 单摆的相轨图2

1.3 界轨运动的速度孤子3

1.4 捕获轨道和非捕获轨道解4

1.5 单摆的非线性参数6

1.6 平面波场中的粒子运动8

1.7 单摆运动的傅里叶谱展开9

1.8 速度谱的截断模数10

2 受驱单摆的随机层12

2.1 随机层概念的提出13

2.2 受驱单摆13

2.3 界轨邻域映射14

2.4 随机性起始判据16

2.5 零级能量变化16

2.6 受驱单摆的随机层厚度18

2.7 双极势驱动单摆20

2.8 非重叠共振的弱相互作用21

2.9 多波场中的粒子运动22

3 标准映射的随机层23

3.1 脉冲驱动转子23

3.2 标准映射的导出24

3.3 标准映射的相轨图25

3.4 标准映射的主随机层厚度26

4 极小混沌的存在条件28

4.1 极小混沌问题28

4.2 阿诺尔德扩散的存在条件29

4.3 阿诺尔德网络示例32

5 非退化系统中的弱混沌与随机海33

5.1 二自由度非退化系统相空间的一般特征33

5.2 标准映射的随机海34

5.3 随机层转变为随机海的临界点35

5.4 奇里科夫共振重叠法37

5.5 格林的周期轨道逼近法38

5.6 康托环41

5.7 康托环对于随机扩散的屏障作用42

6.1 退化系统存在极小混沌的最低自由度45

6 退化系统的弱混沌与网络结构45

6.2 平面波驱动线性谐振子46

6.3 共振哈密顿量48

6.4 共振系统的相轨图分析50

7 随机网的网格与网环52

7.1 网环的等效哈密顿量52

7.2 网环的轨道解54

7.3 沿网格界轨的运动55

8.1 非共振势57

8 随机网的随机层宽度57

7.4 网环与KAM环的区别57

8.2 共振能量变化率58

8.3 沿网格界轨的零级能量变化59

8.4 随机网的隧道宽度60

8.5 随机网的拓扑特征62

9 KAM环与网环之间的转变62

9.1 近退化系统63

9.2 KAM环与网环的共存及相互转变65

第2章均匀随机网69

10 共振扭转映射70

10.1 脉冲波包驱动线性振子70

10.2 ZZSUC二维扭转映射71

10.3 共振扭转映射74

11 周期网的网格与网环75

11.1 四阶共振映射的相轨图75

11.2 四阶共振网的哈密顿量76

11.3 四阶共振网的稳定结构77

11.4 四阶共振网的网环解79

12 随机网中的分岔行为82

12.1 方格对称周期网中心椭圆点的倍周期分岔83

12.2 周期4网的同周期分岔85

12.3 倍周期分岔的普适标度行为85

12.4 非共振势对于周期4网结构的影响87

12.5 非严格共振引起的网络分解87

13 周期网与准周期网88

13.1 均匀周期网的两种对称性88

13.2 平移对称性与转动对称性的共存条件90

13.3 均匀准周期网的生成91

13.4 准晶体对称平面铺砌93

14 均匀网的骨架分析95

14.1 q阶共振哈密顿量95

14.2 均匀周期网的骨架97

14.3 五次对称网共振能面结构的奇异性99

15 均匀网的随机层厚度102

15.1 四次对称周期网的随机层厚度102

15.2 三次对称周期网的随机层厚度105

16.1 ZZSUC扭转映射的作用－角变量形式106

16 粒子的随机扩散模式106

16.2 随机扩散模式的福克－普朗克方程107

16.3 粒子的随机加热效应109

16.4 强混沌随机网的分形生长过程110

17 相对论性均匀网的有限性111

17.1 朗柯帕－苏丹的相对论性扭转映射112

17.2 相对论性方格对称随机网的有限性116

第3章准对称斑图120

18.1 对称性成因与平面铺砌问题121

18 斑图的类型与生成121

18.2 构造五次对称铺砌的彭罗斯方法123

19 均匀网骨架生成的斑图125

19.1 q次转动对称不变集125

19.2 准对称网的平滑化操作126

19.3 准周期网共振能面的奇点分布127

19.4 准周期网的骨架斑图129

19.5 准周期铺砌的动力学生成方法129

20.1 准对称性的概念及定量描述130

20 准对称性铺砌与缀饰130

20.2 构造铺砌图案的缀饰法131

20.3 准周期网的多重格栅132

20.4 阿曼格子133

21 斑图的局部同构性与范霍夫奇异性134

21.1 准对称斑图的局部同构性134

21.2 斑图的傅里叶谱135

21.3 经典系统的态密度139

21.4 晶体对称网的范霍夫奇异性140

21.5 准晶体对称网的范霍夫奇异性142

21.6 斑图生成与动力学组织143

21.7 斑图的关联性144

22 装饰艺术中的二维铺砌146

22.1 中古世纪的穆斯林装饰艺术146

22.2 装饰艺术与平面铺砌的联系150

23 生物体中的准晶体对称性153

23.1 生物体中的五次对称性153

23.2 叶序155

第4章流线斑图的对称性与混沌158

24.1 冯·卡曼涡街和贝纳德对流斑图159

24 二维定态涡旋流动159

24.2 平面涡旋流的旋度方程160

24.3 流线斑图与流函数等高截面161

24.4 晶体对称平面流的流函数与斑图163

24.5 准晶体对称平面流的流函数与斑图164

24.6 斯图阿特流165

25 对称定态平面流的稳定性166

25.1 外力场中平面粘性流的流函数166

25.2 柯尔莫哥洛夫流的稳定性167

25.3 方格对称平面流的稳定性170

26 有？系统中的准对称流172

26.1 恒定外力场中的准晶体对称平面流172

26.2 脉冲变化外力场中定态平面流的斑图173

26.3 周期变化外力场中定态平面流的斑图176

26.4 变化外力场中平面流的稳定结构177

27 三维空间中的定态流179

27.1 三维空间中定态流的流线179

27.2 贝尔特拉米流181

27.3 拉格朗日湍流182

27.4 磁力线混沌与磁流体发电机183

27.5 ABC流的速度场185

27.6 ABC流的对称结构与哈密顿形式185

27.7 ABC流的流线混沌187

28 三维准对称流构造的随机网188

28.1 定态三维流中的准对称性结构188

28.2 流线扩散与拉格朗日湍流斑图191

28.3 流体动力学随机网的解析研究192

参考文献199