《实分析中的反例》求取 ⇩

引言1

第一章集合1

1.集 A 与 B,使 A0∪B0≠(A∪B)06

2.集 A 与 B,使?≠?6

3.集序列{An},使∞∩(n=1)A0n≠(∞∩(n=1)An)06

4.集序列{A?}?使?7

5.集 A 与 B,使(A∩B)′≠A′∩B′7

6.集序列{An},使(∞∪(n=1)An)′≠∞∪(n=1)A′n7

7.使?≠F 的闭集 F8

8.使(?)°≠G 的开集 G8

9.集 A,B 映射 f,使得 f(A∩B)≠f(A)∩f(B)8

10.集 A,B 与映射 f,使 B？A 面 f(A\B)≠f(A)\f(B)9

11.f(A)?f(B)不蕴涵 A?B 的映射 f9

12.不闭的 F。型集9

16.直线上的一个离散子集,它的闭包是一个不可数集10

17.一个正实数无穷集 E,对于它,不存在 a>0,使 E∩(a,+∞)是无穷集10

14.一个不可数的实数集,它的每个闭子集都是可数的10

15.直线上的仅由边界点所组成的不可数集10

13.不开的 G? 型集10

18.一个集,它的直到 n—1阶导集非空,而 n 阶导集是空集11

19.集 E,它的各阶导集 E′,E″,…,E(n),…两两相异,且∞∩(n=1)E(n)≠φ12

20.集 A,它的各阶导集 A′,A″,…,A(n),…两两相异,且∞∩(n=1)A(n)≠φ12

21.集 S 和开集 Gk,k=1,2,…,使 Gk 在 S 中稠密,而∞∩(k=1)Gk 在 S 中不稠密12

22.直线上的两个不相交的处处稠密的不可数集13

23.直线上的一列两两不相交的处处稠密的可数集13

24.直线上的一列两两不相交的处处稠密的不可数集14

25.直线上的一个处处稠密的渐缩集序列{En},满足∞∩(n=1)En≠φ14

26.一个渐缩的非空有界开集序列,其交是空集14

27.一个渐缩的无界闭集序列,其交是空集15

28.一个紧集,它的导集是可数集15

29.两个完备集,其交不是完备集15

31.完备的疏集16

30.可数个完备集,其并不是完备集16

32.无理数的完备疏集17

33.一个疏集序列,其并是稠密集17

34.两个不相交的疏集,其中任一集的每个点都是另一集的聚点17

35.一个第二纲的集,它的余集不是第一纲的集18

36.一个有界闭集被诸闭区间覆盖而不能从中取出有限子覆盖18

37.[0,1]中的两个不相交的稠密集 A 与 B,满足[0,1]=A∩B,且对任何α,β(0≤α≤β≤1),交集(α,β)∩A 与(α,β)∩B 都具有连续统的势18

38.任给势小于?的实数子集 Q,有实数α,使对每一 x∈Q,x+a 皆为无理数19

第二章函数20

引言20

1.一个发散序列{an},使{|an|}收敛23

2.两个非负的发散序列,其积却收敛于零23

3.两个非负的发散序列,其和却是一个收敛序列23

4.算术平均值收敛的发散序列24

5.不是有界变差的收敛序列24

7.对任意严格递增的正整数序列{φn}={φ(n)},能使?的发散序列{an}25

6.对每个正整数 P,都有 lim(m→∞)(a+p—an)=0的发散序列{an}25

8.函数 f,对于它,存在函数 g 使 g·f=I,而不存在函数 h,使 f·h=I26

9.函数 f,对于它,存在无穷多个 g 适合 f·g=g·f26

10.在某点对称连续而不连续的函数27

11.函数 f,使 f 在 x?的任何邻城内都是无界的,但当 x→x?时 f(x)并不趋于无穷大27

12.没有最小正周期的非常值周期函数28

13.一个处处不连续的非常值周期函数,它具有最小正周期29

14.存在一个没有最小正周期的周期函数,它的值域是可数集29

16.存在两个具有不同周期的周期函数,其和仍是一个周期函数30

15.存在一个没有最小正周期的周期函数,它的值域是不可数集30

17.存在两个具有最小正周期的函数,它们之间无可公度的周期,但其和(积)仍为周期函数31

18.一个非周期函数 f,使|f|是周期函数35

19.处处有限而又处处局部无界的函数35

20.一个无处连续函数,其绝对值却处处连续35

21.有唯一个连续点的函数36

22.关于乘积函数连续性的例子36

23.关于复合函数连续性的例子37

25.[0,1]的一个闭子集 X0及 X0到 X0上的两个可换连续映射 f,g,而不存在 f,g 的可换连续扩张39

24.两个正则函数,构成非正则的复合函数39

26.函数 y=f(u),u=g(x)适合 lim(u→A)f(u)=B,lim(x→a)(x)=A,但 lim(x→a)f[g(x)]不存在40

27.函数 y＝f(u)和 u＝g(x),其复合函数 f[g(x)]处处连续,并适合 lim(u→b)f(u),lim(x→a)(x)=b,lim(x→a)f[g(x)]≠c41

28.函数 fn(x)(n＝1,2,…)在 x0均连续,而 f(x)＝supf?(x)在 x0间断41

29.一个无处连续函数,其反函数却处处连续42

30.有限区间上的一个一对一的连续函数,其反函数不连续42

31.不能作为任何连续函数序列的极限的函数43

32.[0,1]上的一个函数 f,它的连续点所成之集在[0,1]中稠密,但 f 不是某个连续函数序列的极限44

33.[0,1]上的一个具有不可数间断点的函数,它却是某个连续函数序列的极限44

34.函数序列{f(n)k},对于任意固定的 n,当 k→∞时{f(n)k(x)}处处收敛于 f(n)(x),而当 n→∞时{f(n)(x)处处收敛于 f(x),但{f(n)k(x)}的任何子列并不处处收敛于 f(x)46

35.仅在有理点间断的严格递增的函数47

36.在 Cantor 集上连续而在它的邻接区间上无处连续的函数49

37.在 Cantor 集上无处连续而在它的邻接区间上连续的函数50

38.在任意给定的 F? 型集上间断的函数50

39.[0,1]上的一个函数 f,它的连续点所成之集 A 与间断点所成之集 B 在[0,1]内都稠密,且对任何开区间(α,β)?[0,1],交集 A∩(α,β)与 B∩(α,β)都具有连续统的势51

41.以一个任意的非紧集为定义域的连续的无界函数52

40.不能在全轴上作连续扩张的有界集上的有界连续函数52

42.(0,+∞)上的一个实值函数 f,它在无穷多个点上连续,且对每一 x∈(0,+∞),f(x)＝0 当且仅当 f(2x)≠053

43.[0,+∞]上的一个连续且有界的函数,它在[0,+∞]上不一致连续53

44.两个一致连续的函数,其积不一致连续53

45.一个一致连续的函数,其反函数不一致连续54

46.两个间断函数,其最小值函数却是一致连续的54

47.在开区间 I1与 I2上均一致连续,但在 I1∪I2上不一致连续的函数54

48.两个单调函数 f,g,其中 f 连续而 g 间断,但复合函数 f?g 却是连续的单调函数55

49.两个区间之间一个无处单调的一一对应56

50.两个严格递增的函数,其积不是单调函数56

51.无处单调的连续函数56

52.以一个任意的非紧集为定义域的连续的有界函数,它没有极值57

53.定义域为紧集的没有局部极值的有界函数58

54.有无穷多个局部极大值而 无局部极小值的函数58

55.处处取得局部极小值的非常值函数58

56.在每个区间上有一个真正局部极大的函数59

58.两个具有介值性质的函数,其和却没有介值性质61

57.具有介值性质的间断函数61

59.定义在[0,1]内而取值于[0,1]中的一个无处连续函数,它在每个任意小的非空子区间上都取尽[0,1]中的一切值62

60.一个无处连续的开函数,它在任何区间上都不具有介值性质63

61.一个无处连续函数 f,而具有性质 f(x+y)＝f(x)+f(y)64

62.若干个半连续函数,它们的和是一个无处半连续的函数64

63.两个半连续函数,其最小值函数并不半连续65

64.无处半连续的函数65

65.无处连续而又处处半连续的函数66

66.一个收敛的上半连续函数序列,其极限函数并不上半连续66

67.一个不连续映射,使开集的象是开集66

68.一个连续映射,使某个无界闭集的象不是闭集67

69.一个疏集 A,以及从 A 到单位闭区间[0,1]上的一个连续映射68

第三章微分69

引言69

1.仅在一点连续并可微的函数70

2.存在一个可微函数 f,其绝对值函数|f|并不可微70

4.关于乘积函数可微性的例子71

3.一个无处可微函数 f,使 lim(n→∞)[f(x+1/n)-f(x)存在71

5.关于复合函数可微性的例子72

6.处处有导数(不必有限)的不连续函数74

7.两个在点 x0均可微,而使 max{f,g}与 min{f,g}在 x0都不可微的函数 f 和 g74

8.[a,b]上的函数 f,它满足 Rolle 定理的三个条件中任两个条件,但不存在ξ∈(a,b),使 f′(ξ)＝074

9.函数 f,它在[a,b]上有连续的导函数 f′,但对[a,b]内某点ξ,不存在 x1,x2,使得 f(x2)-f(x1)/x2-x1＝f′(ξ),x1＜ξ＜x275

10.中值定理失效的可微复值函数76

11.L′Hospital 法则失效的复值函数的不定式76

12.一个在某点有极值的无穷可微函数,它的各阶导数在该点的值全都是零77

13.一个连续函数,它在原点的每个邻域内有无穷多个局部极值78

14.函数 f,使 lim(h→0)[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h2存在而 f″(x)不存在78

15.[0,1]上的一个可微函数,其导数在无理点连续而在有理点间断79

16.[0,1]上的一个可微函数,其导数在已给的非空完备疏集上无处连续80

17.一个具有连续导数的严格递增函数,其导数在已给的完备疏集上恒为零81

18.一个严格递增的连续函数,它不处处可微81

19.一个单调函数,其导函数并不单调82

20.R1 上的一个严格单调的有界可微函数 f,使 lim(x→±∞)f′(x)≠082

21.一个在某点有极值的可微函数,它在该点的左右两侧都不是单调的83

23.函数 f,使 f(x)与 ?(x)＝lim(h→0)[f(x+h)-f(x-h)]/2h在 x＝x0都连续而 f′(x0)并不存在84

22.一个可微函数 f,使 f′(x?)＞0,但 f 在包含点 x0的任何开区间内都不是单调的84

24.一个可微函数 f,当 x 为有理效时,f(x)为有理数,而 f′(x)为无理数85

25.(0,1)上的一个可微函数 f,使 lim(x→0+)f(x)=∞但 lim(x→0+)f′(x)=∞并不成立85

26.(0,1)上的一个可微函数 f,使 f 在(0,1)上有界而 f′在(0,1)上无界86

27.在已知点 a1,a2,…,an 没有导数的连续函数86

28.在无理点可微而在有理点不可微的连续函数86

29.处处连续而无处可微的函数88

31.任给 Gδ型的可数集 E,可构造非减函数 f,其导数满足条件:f′(x)＝∞(x∈E),f′(x)＝0(x?E)93

30.处处连续而仅在一点可微的函数93

32.无处存在单侧导数(有穷或无穷)的连续函数95

33.[0,1]上的一个无穷可微函数 f,使{x:f(x)＝0}为不可数的疏集98

34.函数 f,使 f∈H[α,b],而 f?Hβ[α,b],0＜α＜β98

35.函数 f,使 f∈H1(-∞,+∞),而对任何 a(0＜a＜1),f?H?(-∞,+∞)99

36.满足 a 阶 H?lder 条件的无处可微的连续函数99

37.不满足任何阶 H?lder 条件的可微函数101

38.处处可微而无处单调的函数101

40.满足 Lipschitz 条件而无处单调的函数106

39.在每个非空区间上都能取得局部极大值和局部极小值的可微函数106

第四章Riemann 积分107

引言107

1.函数 f,使|f|(R)可积而 f 不(R)可积109

2.没有原函数的(R)可积函数109

3.在任何区间上都没有原函数的(R)可积函数110

4.在闭区间上有原函数但不(R)可积的函数110

5.以任意零测度的 F？集作为间断点集的(R)可积函数110

6.与(R)可积函数对等但本身并不(R)可积的函数111

7.一个(R)可积函数,在某个可数集上任意改变它的值(但这些数值全体要组成有界集合),而不影响它的可积性112

8.复合函数是否(R)可积的各种实例112

9.两个函数 f 与 g,使 f2与 g2皆(R)可积而(f+g)2并不(R)可积115

10.一个有界函数序列的极限,它在任何非空区间上都不(R)可积116

11.一个(R)可积函数序列,其上确界函数并不(R)可积116

12.积分的极限不等于极限的积分的函数序列117

13.一个(R)可积函数 f,使 g(x)＝?f(t)dt处处可微,但在一个稠密集上,g′(x)≠f(x)117

15.函数 f 和 g,使得 f 在[a,b]上(R)可积,g 在[a,b]上不变号且(R)可积,而在(a,b)中不存在满足等式?f(x)g(x)dx＝f(ξ)?g(x)dx的ξ118

14.一个(R)可积函数 f,使 g(x)＝?f(t)dt不处处可微118

16.函数 f 和 g,使?f(x)dg(x)和 ?f(x)dg(x)均存在,而?f(x)dg(x)不存在(a＜c＜b)119

17.函数 f 和 g,使?f(x)dg(x)存在,但改变 f 在某个点的值,?f(x)dg(x)就不存在120

18.(0,1)上的一个无界函数,其广义(R)积分?f(x)dx 不是对应的积分和式(n-1)∑?f(ξ?)?的极限121

19.(0,1)内的一个单调函数 f,使 lim(n→x)(n-1)∑(k=1)1/nf(k/n)存在而 f 并不广义(R)可积122

20.收敛而不绝对收敛的广义积分123

21.函数 f 和 g,使 f 广义(R)可积而 g 有界,但 fg 并不广义(R)可积124

22.[0,+∞]上的一个函数,它在[0,+∞]的任何有限子区间上取正值、有界、可积,并且积分?(f(x))adx当 a＝1时收敛,而当 a 为不等于1的实数时发散125

23.函数 f,使|f|广义(R)可积而 f2并不广义(R)可积126

24.[1,+∞]上的一个函数 f,使 f2广义(R)可积而|f|并不广义(R)可积126

25.在[1,+∞]上广义(R)可积的正值连续函数 f,使 lim(x→+∞)f(x)≠0127

26.广义积分?f(x)dx 收敛而在每个区间[a,+∞](a＞O)上 f(x)是无界、非负连续函数128

27.一个有理函数 R,使对任何在(-∞,+∞)上广义(R)可积函数 f,都有 ?f[R(x)]dx＝?f(x)dx128

28.Cauchy 主值为有限的发散广义积分128

第五章无穷级数130

引言130

3.一个发散级数∞∑(n=1)an,使对每一 k≥2,级数∞∑(n=1)akn 都收敛133

2.一个发散的正项级数∞∑(n=1)an,使∞∑(n=1)?收敛133

1.一个收敛级数∞∑(n=1),使∞∑(n=1)?发散133

4.一个收敛的正项级数∞∑(n=1)an,使∞∑(n=1)?/?发散134

5.一个发散级数∞∑(n=1)an,使∞∑(n=1)(a2n-1+a2n)收敛134

6.级数∞∑(n=1)an 收敛且 lim(n→∞)bn/an=1,而级数∞∑(n=1)bn却发散135

7.任给一个发散的正项级数∞∑(n=1)an,可以找到一个收敛于零的正数序列{cn},使∞∑(n=1)cnan 仍然发散135

8.任给一个收敛的正项级数∞∑(n=1)an,可以找到一个收敛于零的正数序列{cn},使∞∑(n=1)an/cn 仍然收敛137

9.给定使 ?bn=0 的正数序列{bn},有一个正项发散级数∞∑(n=1)an,适合 lim(n→∞)且?an/bn＝0137

10.给定使 ?bn=0 的正数序列{bn},有一个正项收敛级数∞∑(n=1)an,适合?an/bn＝+∞138

11.给定一个满足?cn=0的正数序列{cn},有一个正项收敛级数∞∑(n=1)an 和一个正项发散级数∞∑(n=1)bn,能使 an/bn=cn138

12.任给正数 s,可以找到一个正项级数∞∑(n=1)an,使对任何正数?(0＜?≤s),都可以用一个无穷子级数来表示：∞∑(k=1)ank=?139

13.一个正项级数,使任何正有理数都是它的有限个不同项之和140

14.通项趋于零而发散的交错级数141

15.一个发散级数∞∑(n=1)an,其部分和序列有界且 lim(n→∞)an＝0142

16.根检法失效的级数143

17.比检法失效的级数143

18.1im(n→∞)? 存在而 lim(n→∞)a(n+1)/an 不存在的正项级数∞∑(n＝1)an144

19.两个收敛级数,其 Cauchy 乘积级数发散145

20.两个条件收敛级数,其 Cauchy 乘积级数绝对收敛146

21.两个发散级数,其 Cauchy 乘积级数绝对收敛147

22.一个发散级数∞∑(n=1)an,使当 P＝1,2,3,…时,lim(n→∞)(a(n+1)+a(n+2)+…+a(n+p))=0148

23.具有发散重排的收敛级数148

24.存在一个发散级数,用重排不可能加快其发散程度150

25.存在一个发散级数,用重排可以任意减慢其发散程度150

26.一个实数序列{an},使级数∞∑(n=1)aln 当 l=5时发散,而当 l 不等于5的任何奇正数时收敛151

27.一个收敛级数∞∑(n=1)an,使形如 ak+a(k+l)+a(k+2l)+a(k+3l)+…的子级数(下标成等差级数,k,l 为正整数)都收敛,而∞∑(n=1)an 并不绝对收敛152

28.一个收敛级数∞∑(n=1)an,使形如 ak+akl+akl2+…的子级数(下标成几何级数,k≥1,l≥2均为正整数)都收敛,而∞∑(n=1)an 并不绝对收敛153

29.任意地划分奇正整数集为两个没有公共元素的子集 D 和 C,一个实数序列{an},使当 l∈C 时级数∞∑(n=1)? 收敛,而当 l∈D 时∞∑(n=1)?发散154

30.对于任一条件收敛级数∞∑(n=1)an 和任一实数 x,存在序列{ε?},其中|ε?|=1,n=1,2,…,能使∞∑(n=1)εnan＝x154

31.非绝对收敛级数,适当地引进括号后变成绝对收敛级数154

32.收敛而不绝对收敛的无穷乘积156

33.一个发散级数∞∑(n=1)an,使无穷乘积?(1+an)收敛156

34.级数∞∑(n=2)an 和∞∑(n=2)? 都发散,而无穷乘积?(1+an)却收敛158

36.[1,+∞]上的正值连续函数 f,使?f(x)dx 发散而∞∑(n＝1)f(n)收敛159

35.[1,+∞]上的正值连续函数 f,使?f(x)dx 收敛而∞∑(n＝1)f(n)发散159

37.给定[0,1]上满足条件 lim(x→1)f(x)=＋∞的正值连续函数 f,可构造具有非负系数的幂级数 P,适合 P(x)＜f(x)且 lim(x→1)P(x)=＋∞160

38.[0,1]上的一个适合条件 f(0)＞0且?f(x)=＋∞的递增连续函数 f,使对任何具有非负系数的幂级数 P,若 P(x)≤f(x),则?P(x)dx＜∞161

39.一个函数,它的 Maclaurin 级数处处收敛,但仅在一点与这个函数相合163

40.一个函数,它的 Maclaurin 级数仅在一点收敛164

第六章一致收敛165

引言165

1.在各个 Ek(k=1,2,…)上一致收敛,而在∞∪(k=1)Ek 上不一致收敛的函数序列166

2.一个紧集上一致有界的连续函数序列,而不存在逐点收敛的子列167

3.一个一致有界且处处收敛的连续函数序列,它没有一致收敛的子列168

4.一个有界函数序列,它处处收敛于一个无界函数168

5.一个不一致有界的函数序列,它处处收敛于一个有界函数169

6.一个连续函数序列的非一致极限,它在一个稠密集上无处连续169

7.一个连续函数序列,它的非一致极限也是一个连续函数171

8.一个递减的连续函数序列,它处处收敛于某个连续函数,但并不一致收敛171

9.一个无处连续的函数序列,它一致收敛于一个处处连续的函数172

10.收敛而无处一致收敛的连续函数序列172

11.一个各项间断的函数项级数收敛于一个连续函数,但无处一致收敛173

12.一个正整数序列 a1＜a2＜…及紧集 C,使对任意 x∈C,sinanx→0(n→∞),而{sinanx}在 C 上并不一致收敛175

13.给定[0,+∞]上的实值函数 f,适合 f(0)=0,f(1)≠0,lim?f(n)=0,可构造正整数序列{a?}及紧集 C,使{f(anx)}在 C 上收敛而非一致收敛176

14.两个一致收敛的函数序列,其乘积序列不一致收敛176

15.一个连续函数序列{fn},它在[0,1]上一致收敛于 f,然而,fn 的弧长的极限不等于 f 的弧长176

16.通项一致趋于零但不一致收敛的函数项级数177

17.通用的连续函数序列178

18.一个一致收敛的函数项级数,具有不一致收敛的重排179

19.一个一致收敛的函数项级数,却无处绝对收敛180

20.级数∞∑(n=1)Un(x)绝对并一致收敛,而∞∑(n=1)|Un(x)|并不一致收敛181

21.一个绝对并一致收敛的函数项级数,它无任何正项数值优级数182

22.一个一致收敛的可微函数序列,其导函数序列的极限不等于极限函数的导数184

23.一个一致收敛的无穷可微函数序列,其导函数序列无处收敛185

24.一个非一致收敛的可微函数序列,其导函数序列的极限等于极限函数的导数186

25.[0,+∞]上的一个一致收敛于零的广义(R)可积函数序列{fn},而使数列{?fn(x)dx}发散186

26.[1,+∞]上的一个一致收敛的广义(R)可积函数序列,其极限函数并不广义(R)可积187

引言188

第七章点集的测度188

1.一个渐缩的可测集序列{En},使 m(limEn)(n→∞)≠lim(n→∞)mEn191

2.一个含于有穷区间中的可测集序列{En},使 lim(n→∞)mEn 存在,但 m(?)≠m(?)191

3.一个可测集序列{En},使 m?＜?mEn192

4.测度为零的不可数集193

5.任给实数 a(0＜a＜1),在[0,1]中可构造一个测度为 a 的完备疏集193

6.直线上的一个稠密开集,它的余集的测度为无穷大193

8.一个可数的疏集,其闭包具有正测度194

7.一个开集,它的测度不等于它的闭包的测度194

9.使得每个实数都是凝聚点的零测度集195

10.[0,1]中测度等于1的第一纲集195

11.[0,1]中测度等于零的第二纲集195

12.[0,1]内一个两两不相交的完备疏集序列,其并集的测度为1196

13.[0,1]中测度为零的不可数的稠密集197

14.[0,1]中的一个可测集 E,使对任一非空开区间 I?[0,1],恒有 m(I∩E)＞0,m(I∩E°)＞0197

15.不可测集199

16.一个两两不相交的集序列{An},使?202

18.一族可测集,其交集不可测203

19.一个有界的零测度集 E,使 E-E 为一不可测集203

17.一族可测集,其并集不可测203

20.R1的一个子集 A,使 A 和 A°的每一可测子集其测度均为零205

21.对每一有理数 a,使{x:f(x)＝a}均为不可测集的函数 f206

22.[0,1]内的一个不可测集 M,使 m*M＝0,m*M＝1208

23.导数几乎处处为零的单调的连续函数209

24.函数 f 和 g 具有相同的导数,而 f 和 g 并不相差一个常数210

25.导数几乎处处为零的严格单调的连续函数212

26.闭区间上具有原函数的有界函数而不(R)可积216

27.(R)可积函数 f 和连续函数 g,构成不(R)可积的复合函数 f·g218

28.一个收敛的单调一致有界的连续函数序列,其极限函数不(R)可积219

29.[0,1]上的一个可微函数 g,使 g″(0)存在,而对任何 b＞0,g′在[0,b]上并不(R)可积220

30.一个同胚映射,它把一个测度为零的集映成测度大于零的集221

31.[0,1]上的一个严格递增的连续函数?和集 A?[0,1],使 mA＝0而 m?(A)＝1223

32.对任一完备疏集 E?[0,1],一个从[0,1]到[0,1]上的同胚映射 f,使 mf(E)＝0225

35.一个 Borel 测度为零的集,其中含有非 Borel 可测集227

34.一个同胚映射,它把一个可测集映成不可测集227

33.可测的非 Borel 集227

36.两个 Borel 可测集 B1,B2,使得 B1-B2＝{x-y:x∈B1,y∈B2}不是 Borel 可测的228

37.两个同胚的实数集,其中一个是第一纲集而另一个是第二纲集228

38.两个同胚的实数集,其中一个是稠密集而另一个是疏集230

39.定义于 R1上的一个几乎处处为零的函数,它在每个非空开区间上的值域都是 R1230

40.R1上的一个函数,它的图形在平面内稠密231

第八章可测函数232

引言232

1.一个收敛的递增的简单函数序列,其极限函数不是简单函数234

2.一个非零函数,它与任何函数之积恒为可测函数235

3.一个不可测函数,其绝对值是可测函数236

4.一族可测函数,其上确界函数并不可测236

5.R1上的一个可测函数 f,使 ?|f(x+t)-f(x-t)|不可测236

6.一个在任何(L)正测度集上均非(L)可测的函数,它在任何非空区间上取每个实数作为函数值可达?次237

7.函数 f,使对任意实数 a,E[x:f(x)＝a]恒为可测集,而 f 在 E 上并不可测238

9.可测函数 f 和递增函数 g,构成不可测的复合函数 f·g239

8.可测函数 f 和连续函数 g,构成不可测的复合函数 f·g239

10.[a,b]上的一个一致有界的不可测函数序列{fn},使对任一不可数集 A?[a,b],{fn}中不存在在 A 上收敛的子列240

11.任给趋于零的数列{an},可构造一个有界可测函数 f,使{f(x-an)}并不几乎处处收敛于 f(x)241

12.Еrоров定理的结论不能加强为除掉一个测度为零的集外,{fn}一致收敛于 f241

13.R1上的一个函数序列,使Еrоров定理不成立242

14.一个不可测函数序列,使Еrоров定理不成立244

15.一族函数{f(x)}(t≥2),对每一固定的 t,它是 x 的可测函数,而对每一固定的 x,它是 t 的可测函数,且 ?ft(x)＝0,但{f1(x)}并不近一致收敛244

16.[0,1]上的一个连续函数,它在[0,1]上几乎处处取有理数值,而在任何非空子区间上均非常值函数246

18.不能把Лузин定理中的连续函数改为多项式248

17.一个无处连续的可测函数,不论怎样改变此函数在任何测度为零的集上的值,它仍然是无处连续的248

19.[0,+∞]上的函数序列{fn}和{gn},使{fn}和{gn}在[0,+∞]上分别依测度收敛于 f 和 g,而{fngn}在[0,+∞]上并不依测度收敛于 fg249

20.一个依测度收敛的可测函数序列{?n}和连续函数 F,而构成并不依测度收敛的复合函数序列{?}250

21.一个无处连续的(L)可测函数,它不是(B)可测的250

22.两个函数仅在一个(B)测度为零的集上彼此相异,其中一个(B)可测而另一个非(B)可测251

23.不与第一类函数中的任何一个函数对等的可测函数252

24.属于不同类的两个函数,而有相同的间断点254

26.一个(R)可积函数,它不是第一类的函数255

25.一个 F?型集的特征函数,它不是第一类函数255

27.不与(R)可积函数对等的有界可测函数256

第九章Lebesgue 积分257

引言257

1.[0,1]上的一个(L)可积函数 f,使∞∑(n＝1)nmE[x:f(x)≥＝＋∞262

2.[0,+∞]上的一个非负连续的(L)可积函数 f,使 lim?f(x)＝0不成立262

3.可测集 E 上的非负有界可测函数序列{fn},使?fn(x)dx＝0,而{fn}却无处收敛于零263

4.[0,1]上的一个实值连续函数序列{fn},使 f1(x)≥f2(x)≥…≥0,且若有连续函数 f 适合 f2(x)≥f(x)≥0(n＝1,2,…),则 f≡0但 lim(n→∞)?f(x)dx≠0264

5.一个在 E 上并不依测度收敛于零的函数序列{fn},使对每一可测集 e?E,都有 lim(n→∞)?fn(x)dx＝0265

6.任给趋于零的数列{an},可构造一个非负可测函数序列{fn},使∞∑(n＝1)an?fn(x)dx 收敛,而{fn}在 E 上无处收敛于零267

7.一个(L)可积函数 f 和有限个区间的并集 I(n),使 lim(n→∞)?f(x)cosnxdx≠0268

8.(L)可积而不(R)可积的有界函数269

9.广义(R)可积而不(L)可积的函数269

10.(L)可积而不广义(R)可积的非负函数270

11.任给非几乎处处有界函数 f,可构造一个(L)可积函数 g,使 fg 不(L)可积271

12.[0,1]上的一个有界可测函数 f,使对任何(R)可积函数 g,都有∫[0,1]|f(x)-g(x)|dx＞0272

13.在每个子集上都(L)可积,但在并集上并不(L)可积的函数273

15.函数 f,处处适合0≤f(x)＜+∞,但在每个非空开区间(a,b)上,?f(x)dx＝+∞274

14.R1上的一个非负(L)可测函数 f,使对任何区间(a,b)(a＜b)及 r∈R1,恒有 m{(a,b)∩{x:f(x)≥?}＞0,但∫Bf(x)dx≠＋∞274

16.任给 f∈L[a,b],可构造集 A?[a,b],使 mA＝b-a,且对任一 r∈R1和任一 x∈A,都有lim(h→0)1/h|f(t)-r|dt＝|f(x)-r|275

17.[0,+∞]上的一个非负的上半连续函数 f,使?f(x)dx＝＋∞,而对每一 h＞0,有∞∑(n＝1)f(nh)＜＋∞276

18.R1上的一个一致有界的(L)可测函数序列{fn},使对任何区间[a,b],{fn}中都不存在在[a,b]上几乎处处收敛的子列278

19.Lebesgue 有界收敛定理中 mE＜+∞的条件不可去掉279

20.Lebesgue 有界收敛定理中函数序列一致有界的条件不可去掉280

21.Lebesgue 控制收敛定理中控制函数的可积性的条件不可去掉280

22.Vitali 定理中 mE＜+∞的条件不可去掉281

23.使 Fatou 引理中等号不成立的函数序列281

24.一个变号的收敛可测函数序列,使 Fatou 引理的结论不成立282

25.Levi 定理中函数序列非负性的条件不可去掉282

26.两个平方(L)可积的函数,它们的和不是平方(L)可积的283

27.一个非负函数 f,使 f∈L2[1,+∞],但?283

28.不属于任何 Lp(0,1)(p＞0)的非负可测函数284

29.属于 Lp-δ(0,a)而不属于 Lp(0,a)的非负可测函数,其中0<δ284

31.函数 f 和 g,使?这里,0＜p＜1285

30.属于 L2(0,+∞)而不属于任何 Lp(0,+∞)(p＞0,p≠2)的非负可测函数285

32.连续单调函数 g 和连续函数 f,适合?f(x)dg(x)≠?f(x)g′(x)dx286

33.函数 f 与 g,使 f 关于 g 是 Lebesgue-Stieltjes 可积而不是 Riemann-Stieltjes 可积286

34.使?不成立的函数 f287

35.L∞(R1)中的一个函数 f,使不存在 R1上的连续函数序列{fn),适合?287

36.R1上的一个非负(L)可积函数,使对任何非空区间[a,b],它在[a,b]上都不是本性有界的288

37.一个(L)可积函数,它的某个近似连续点不是 Lebesgue 点289

38.存在函数 f,使 f(x?)是其不定积分在 x?的导数,但 f 在点 x? 并不近似连续291

第十章不同意义收敛的函数序列293

引言293

1.几乎处处收敛与测度收敛之间的关系294

2.近一致收敛与几乎处处收敛之间的关系296

3.一致收敛与平均收敛之间的关系297

4.几乎处处收敛与平均收敛互不蕴涵298

5.几乎处处收敛与弱收敛互不蕴涵299

6.测度收敛与弱收敛互不蕴涵300

8.测度收敛而非近一致收敛的函数序列301

7.近一致收敛与平均收敛互不蕴涵301

9.弱收敛而非平均收敛的函数序列302

10.γ次幂平均收敛而不 P(1≤γ＜P)次幂平均收敛的函数序列302

11.[0,1]上的一个函数序列{fn},适合?,{fn}在[0,1]上处处收敛于 f,但?303

12.一个在 E 上几乎处处收敛于 f 的函数序列{fn}?L(E),使?,而{fn}并不弱收敛于 f303

13.R1上的一个(L)可积的连续函数序列{fn},适合(ⅰ)lim(|x|→∞)f?(x)=0,(ⅱ)sup?＜＋∞,(ⅲ){fn}在 R1上一致收敛于 f,但{fn}中不存在子列{fnk}使?304

第十一章有界变差函数与绝对连续函数306

引言306

1.一个非有界变差函数,其绝对值是有界变差函数308

2.全变差为无穷大的可微函数308

3.不满足任何阶 H?lder 条件的有界变差函数309

4.满足 a(0＜a＜1)阶 H?lder 条件而不是有界变差的函数309

5.不满足任何a(a＞0)阶 H?lder 条件且不是有界变差的连续函数313

6.在[0,1]上连续而在[0,1]的任一非空子区间上皆非有界变差的函数314

7.在[0,1]上有界变差而在[0,1]的任一非空子区间上都不连续的函数315

8.两个有界变差函数,构成非有界变差的复合函数316

10.一个有界变差函数序列,其上确界函数并不有界变差317

9.两个皆非有界变差的函数,构成有界变差的复合函数317

11.一个一致收敛的有界变差函数序列,其极限函数并不有界变差318

12.一个不是有界变差的函数序列,却一致收敛于一个有界变差函数319

13.一个有界变差函数序列,它的任何子列都有不收敛的点319

14.一个有界变差函数序列,其全变差并不一致有界,但有收敛的子列321

15.任给不连续函数 f,可构造一个有界变差函数 g,使 f 关于 g 的积分?f(x)dg(x)不存在321

16.任给全变差为无穷大的函数 g,可构造一个连续函数 f,使 f 关于 g 的积分?f(x)dg(x)不存在321

17.一个一致收敛的有界变差的函数项级数,而不能几乎处处逐项微分324

18.一个可微的有界变差函数 f,使 V(x)＝?|f′(t)|dt 不可微326

19.[0,1]上的一个有界变差函数 f,使 ?(f)≠?K(y)dy,其中 K(y)代表适合 f(x)＝y 的 x 的个数327

20.非常值的局部循环的无处单调的有界变差函数327

21.[0,2π]上的一个一致收敛于某个有界变差函数 f 的有界变差函数序列{fn},使?328

22.[0,1]上的一个可微函数 f,使 Z＝{x:f′(x)＝0}及 Z°均在[0,1]中稠密,但 f′在[0,1]上并不(L)可积329

23.[0,1]上的一个可微函数 f,使 f′有界且 Z＝{x:f′(x)＝0}及 Z°在[0,1]内稠密,Z≠{x:f′在 x 连续}332

24.一个绝对连续函数 f,使|f|p(0＜P＜1)不是绝对连续函数332

25.一致连续而不绝对连续的函数333

26.两个绝对连续函数,构成不绝对连续的复合函数333

28.不满足某些 H?lder 条件的绝对连续函数334

29.无处单调的绝对连续函数334

27.两个皆非绝对连续的函数,而构成绝对连续的复合函数334

30.一个可微函数,其导数在任何非空区间上(L)可积而不(R)可积335

31.一个具有性质(N)的函数,它不是绝对连续的函数336

32.一个一致收敛的绝对连续函数序列,其极限函数并不绝对连续337

33.一个不是绝对连续的函数序列,却一致收敛于一个绝对连续的函数338

34.任给[0,1]中测度为零的集 E,可构造[0,1]上的一个不减的绝对连续函数 f,使对第一 x∈E,都有 f′,(x)＝+∞339

35.一个严格递增的连续函数,它并不绝对连续340

36.一个在[0,1]上严格递增的连续函数,它在任何非空区间[α,β]?[0,1]上都不是绝对连续的340

37.一个严格递增的绝对连续函数,它把某个测度大于零的集映成测度等于零的集340

38.一个严格递增的绝对连续函数,其反函数并不绝对连续342

第十二章Fourier 矿级数343

引言343

1.Dini 判敛法和 Jordan 判敛法互不蕴涵347

2.Young 判敛法与 Dini 判敛法互不蕴涵348

3.Young 判敛法与 de la Vallée Poussin 判敛法互不蕴涵349

7.一个处处收敛的三角级数,其和函数并不(L)可积351

6.Dini 判敛法失效但能用 de la Vallée Poussin 判敛法的 Fourier 级数351

4.Jordan 判敛法失效但能用 de la Vallée Poussin 判敛法的 Fouricr 级数351

5.Jordan 判敛法失效但能用 Young 判敛法的 Fourier 级数351

8.一个收敛的三角级数,它不是某个(L)可积函数的 Fourier 级数353

9.一个三角级数,它不是 Fourier-Lebesgue 级数,但却是 Fourier-Stielties 级数353

10.任给趋于零的正数序列{εn},可构造连续函数 f,使 f 的 Fourier 系数有以下关系：|an|≥εn 或|bn|≥εn 对无穷多个 n 成立354

11.一个(R)可积函数,其 Fourier-Riemann 系数并不趋向于零355

12.任给数列{λn},lim(n→∞)λn＝+∞,λn＝0(n),可构造(R)可积函数 f,它的 Fourier-Riemann 系数 bn＞λn 对无穷多个 n 成立356

13.一个连续函数 f,使对任何ε＞0,级数∞∑(n＝2)(|an|?+|bn|?)发散,其中 an,bn 是 f 的 Fourier 系数357

14.Hα[0,2π](0＜α≤1)中的一个函数 f,使级数∞∑(n＝2)(|an|α+|bn|β)发散,其中β＝2/(2α+1)359

15.H1/2[0,2π]中的一个函数,其 Fourier 级数并不绝对收敛360

16.一个三角级数,它在某个可数集上收敛,但其系数并不趋向于零361

17.系数趋于零而又处处发散的三角级数361

18.Hα[0,2π)(0＜α＜1)中的一个函数,其 Fourier 系数 cn≠o(n?)362

19.一个连续的有界变差函数,其 Fourier 系数不等于 o(1/n)363

20.一个余弦级数,其系数单调递减且趋向于零,但其和函数并不(L)可积366

22.一个(L)可积函数 f,使级数∞∑(n＝2)an/n 发散,其中?368

21.一个有界变差函数,其 Fourier 级数并不绝对收敛368

23.一个以2π为周期的连续函数,其 Fourier 级数仅仅在 x＝0(mod2π)这些点发散,而在 x≠0(mod2π)各点收敛369

24.L[0,2π]中的一个函数 f,其 Fourier 级数在[0,2π]上几乎处处无界发散371

25.一个 Fourier 级数,其共轭级数不是 Fourier 级数377

26.一个(L)可积函数,其共轭函数在任何非空闭区间上都不(L)可积379

27.L[0,2π]中的一个函数,其 Fourier 级数在[0,2π]上几乎处处有界发散380

28.L(ln+ln+L)1-ε中的一个函数,其 Fourier 级数几乎处处发散386

29.[0,2π]上的一个(L)可积函数 f,它的共轭函数 f 也是(L)可积的,并且 f 与 f 的 Fourier 级数在[0,2π]上都是几乎处处发散的386

30.任给 F？型集 E?[0,2π],可构造函数 f∈L[0,2π),它的 Fourier 级数在 E 上收敛,而在[0,2π)\E 上为无界发散394

第十三章平面点集396

引言396

1.序列{xn}与{yn}均有聚点,而{(xn,yn)}没有聚点398

2.一个可数集 E,使 E′具有连续统的势,且 E∩E′＝φ398

3.具有不可数闭包的孤立点集399

4.距离为零的两个不相交的闭集399

5.平面上的一个开集,它不能表成有限个或可数个两两不相交的开区间①的并集399

6.单位正方形内的一个可测子集,它不能表成可数个“矩形”?的并集401

7.一个平面点集 E,一方面 E 可表威两个不相交的集 A 与 B 的并,另一方面,E 分别 A 及 B 可合402

8.平面完备疏集——Sierpi?ski 地毯、Sierpi？ski墓垛和 Cantor 栉402

9.任给实数 a(0406

10.Sierpi?ski 连续点集407

11.平面上的一个(L)可测集,它在坐标轴上的射影都不是(L)可测的408

12.单位正方形[0,1]×[0,1]内的一个子集,它在[0,1]×[0,1]内稠密,但在任一平行于坐标轴的直线上都是无处稠密的408

13.单位正方形 I=[0,1]×[0,1]的一个子集 A 在 I 内稠密,而且与 I 相交的每一条铅直或水平直线恰好交 A 于一点409

15.与任一直线至多有两个公共点的不可测平面集410

14.平面内的一个稠密集,它不含有三个共线的点410

16.区间[0,1]到正方形[0,1]×[0,1]上的一个映射412

17.充实空间的连续曲线413

18.充实空间的连续曲线的简单例题416

29.R? 内的一条简单弧,它在平面上的投影成为一个三角形①422

20.[0,1]到[0,1]上的一个连续映射,每个值取的次数不可数425

21.Cantor 曲线、Jordan 曲线和平面上连结区域的边界,这三个概念两两相异425

22.不可求长的简单弧427

24.每两个不同点之间的弧段长度无限的简单弧428

25.[0,1]上的一个递增的连续函数 f(x),它所对应的曲线之长不能用(L)积分?来表示428

23.不可求长并在每一点都有切线韵简单弧428

26.一个有界变差函数,使 lims?(△)=s 不成立431

27.一个不连续函数,而有 lims?(△)=s432

28.单位正方形内的一条简单弧,其平面测度可以任意接近1432

29.有共同边界的四个两两不相交的平面区域433

30.与自己的闭包的内部不同的平面区域433

31.与自己的闭包的内部相等的非 Jordan 区域434

32.边界的测度为正数的有界平面区域434

33.图形为不可测平面集的单实变实值函数434

34.没有面积的有界平面集435

35.没有面积的紧平面集435

36.没有面积的有界平面区域436

37.没有面积的有界平面 Jordan 区域436

38.一条简单闭曲线,它的平面测度比它围成的有界区域的平面测度还要大436

39.一个曲面,它的内接多面体的面积不收敛于它的面积436

引言439

第十四章二元函数439

1.两个累次极限都存在而不相等的函数442

2.两个累次极限存在且相等,但二重极限不存在的函数442

3.二重极限存在而两个累次极限都不存在的函数443

4.二重极限和一个累次极限存在,而另一个累次极限不存在的函数444

5.仅有一个累次极限存在的函数444

6.在原点没有极限,但沿着任一直线逼近原点时极限值都为零的函数444

8.函数 f(x,y),它沿着从点(x?,y?)引出的任何直线在(x?,y?)都是连续的,但 f(x,y)在(x?,y?)并不连续446

7.分别对各个变量连续的间断函数446

9.[0,1]×[0,1]上的一个无处连续函数 f(x,y),使对每一 y∈[0,1],f(x,y)是 x 的连续函数447

10.具有各阶偏导数的不连续函数447

11.二阶混合偏导数相等而不连续的函数448

12.函数 f,使 fx(0,y)是 y 的连续函数,而 fy(x,0)不是 x 的连续函数449

13.两个偏导数在某点连续,而本身在该点的任何邻域内不连续的函数449

14.偏导数存在,但沿任何其它方向的导数都不存在的函数451

15.函数 f,使 f?(x,y)存在而 fx(x,y)不存在451

16.仅在一点连续并可微的函数451

18.函数 f,它在某点的邻城内连续且有有界的偏导数,但 f 在该点仍不能微分452

17.可微而不连续可微的函数452

19.偏导数均不连续的可微函数453

20.二阶混合偏导数不相等的可微函数455

21.在某点沿任何方向可微,而在该点并不连续的函数455

22.有关的一切偏导数都存在,但复合函数求导公式不成立的函数456

23.在平面区域 D 内 f?(x,y)≡0,但是 f 在 D 内并非与 y 无关的连续可微函数457

25.函数 f,使 maxminf(x,y)＜minmaxf(x,y)458

26.函数 f,使 fx(x0,y0)=0,fy=(x0,y0)=0,但(x0,y0)并非 f(x,y)的极值点458

24.函数 F(x,y),尽管 Fy(x0,y0)=0,但在(x0,y0)的某个邻城内,由方程 F(x,y)=0 能唯一确定 y 为 x 的函数 y=f(x),并且 y0=f(x0)458

27.一个可微函数,它在定义域内只有一个驻点,而且这驻点是局部极大(小)点,但它不是最大(小)点459

28.函数 f,它在某点的偏导数不存在,但能在该点取得极值462

29.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数462

30.函数 f,它在原点无局部极值,但对任一过原点的直线,f 沿此直线上,原点为其取得局部极小值的点462

31.函数 f(x,y),对每一 x,它是 y 的 Borel 可测函数,对每一 y,它是 x 的 Borel 可测函数,但 f(x,y)并不(L)可测464

第十五章二重积分465

引言465

1.两个(R)累次积分存在而不相等的函数466

2.两个(R)累次积分存在且相等,但(R)二重积分不存在的函数467

3.(R)二重积分存在而两个(R)累次积分都不存在的函数469

4.(R)二重积分不存在,而只有一个(R)累次积分存在的函数471

5.(R)二重积分存在,但只有一个(R)累次积分存在的函数473

6.一个发散的广义(R)二重积分,它的两个累次积分都存在474

7.广义(R)二重积分∫10∫10f(x,y)dxdy 存在,且对每一 x∈[0,1],积分∫10f(x,y)dy 存在,但累次积分 ?dx?f(x,y)dy 不存在的函数 f477

8.函数 f(x)与 g(y),它们分别在0≤x＜+∞与0≤y＜+∞上广义(R)可积,但 f(x)g(y)在[0,+∞]×[0,+∞]上并不广义(R)可积479

9.[0,1]×[0,1]上的一个(L)可积函数 f(x,y),而并不对每一 x∈[0,1],使把 f(x,y)看作 y 的函数时,它在[0,1]上是(L)可积的480

10.[0,1]×[0,1]上的一个不可测函数,它的两个(L)累次积分均存在且相等481

11.[0,1)×[0,1]上的一个不可测函数,它的一个(L)累次积分存在而另一个不存在482

12.[0,1]×[0,1]上的一个不可测函数,它的两个(L)累次积分存在而不相等483

13.一个可测函数,它的两个(L)累次积分一个存在而另一个不存在484

14.一个可测函数,它的两个(L)累次积分存在而不相等486

15.一个可测函数,它的两个(L)累次积分存在且相等,但它并不(L)可积487

16.[0,1]×[0,1]上的一个函数 f,使对任意可测 E?[0,1],F?[0,1],恒有?dx?f(x,y)dy＝?dy?f(x,y)dx,但 f 在[0,1]×[0,1]上仍不(L)可积489

17.一个间断函数 f,使?f(x,y)dx 是连续函数495

18.函数 f,使∫1?f(x,y)dx 是间断函数496

19.一个连续函数 f,使∫0∞f(x,y)dx 是间断函数496

20.一个一致收敛的参变量积分,不能以与参数无关的收敛积分为优函数497