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第一篇单实变函数1

第一章 实数系1

引言1

1. 不能使之有序的无限域12

2. 按两种不同途径使之有序的域12

3. 不完全的有序域13

4. 非Archimedes有序域14

5. 无法使之完全的有序域15

6. 有理数在其中不稠密的有序域15

7. 不是全序域的Cauchy完全有序域15

8. 不能唯一析因的整环16

9. 没有最大公因子的两个数17

10. 不能唯一地化简成最低项的分数17

11. 假如数系是不完全的，闭区间上的连续函数将失去某些熟知的性质17

a. 函数在闭区间上连续，但是无界。(由于是有界区间，所以这个函数还是不一致连续的。)17

b. 函数在闭区间上连续且有界，但不一致连续18

c. 函数在闭区间上一致连续(因而有界)但没有最大值18

d. 函数在闭区间上连续，但介值性质失效18

e. 可微的非常值函数，它的导数在闭区间上恒等于零18

f. Rolle定理(因而又有中值定理)失效的可微函数18

g. 保有介值性的、单调的、一致连续的非常值函数，它的导数在区间上恒等于零18

第二章 函数与极限19

引言19

1. 无处连续的函数，其绝对值却处处连续21

2. 仅在一点连续的函数21

3. 以一个任意的非紧集为定义域的连续的无界函数22

4. 以一个任意的非紧集为定义域的无界但是局部有界的函数22

5. 处处有限而又处处局部无界的函数22

6. 以一个任意的非紧集为定义域的连续的有界函数，没有极值23

7. 定义域为紧集的有界函数，没有相对极值23

8. 无处半连续的有界函数24

9. 没有最小正周期的非常值周期函数24

10. 无理函数24

11. 超越函数25

12. 函数y=f(u),u∈？和u=(x),x∈？,其复合函数y=f(g(x))处处连续，并适合？f(u)=c,？g(x)=b,？f(g(x))≠c25

13. 乘积不一致连续的两个一致连续的函数26

14. 在区间上连续和一对一的函数，而其反函数不连续26

15. 在每个无理点连续，而在每个有理点间断的函数27

16. 间断点集合为稠密集的半连续函数27

17. 函数有一个稠密的间断点集合，其中每个间断点都是可去的27

18. 以任意可数集(还可以是稠密集)的点为间断点的单调函数27

19. 函数的连续点集是稠密集，间断点集也是稠密集，间断点都不是可去的28

20. 两个区间之间一个无处单调的一一对应28

21. 无处单调的连续函数29

22. 在任意给定的闭集上间断的函数29

23. 在任意给定的Fσ集上间断的函数30

24. 不能作为任何连续函数序列的极限的函数31

25. 定义域为［0，1］的一个函数，在［0，1］的每个非退化的子区间上，其值域都是［0，1］32

26. 不连续的线性函数33

27. 对于每个n∈？，满足下面两个条件的n(2n+1)个函数φij(xj),j=1,2,…，n;i=1,2,…，2n+134

(a) 所有的φij(xj)在［0，1］上连续34

(b) 对于在？上连续的任何函数f(x1,x2,…，xn)，都有2n+1个在？上连续的函数？i=1,2,…，2n+1,使得f(x1,x2…，xn)=？34

第三章 微分法35

引言35

1. 不能成为导函数的函数35

2. 具有间断导数的可微函数35

3. 处处有导数(不必是有限的)的不连续函数36

4. 在某点有极值的可微函数，其导数在该点不是简单地变换符号36

5. 导数于某点取正值的可微函数，但在该点的任何邻域内都不是单调的36

6. 一个函数，其导数为有限，但在一个闭区间上却无界37

7. 一个函数，其导数存在并且有界，但是导数在一个闭区间上没有(绝对)极值37

8. 处处连续而无处可微的函数38

9. 中值定理失效的可微函数39

10. 自变量为正数时函数值取正数，自变量为负数时函数值恒等于零的无穷可微函数40

11. 在单位区间内取正值，而在单位区间之外恒等于零的无穷可微函数40

12. 函数值在(+∞，0］上等于零；在［0，1］上严格单调；在［1，+∞)上等于1的无穷可微的“连接函数”40

13. 无穷可微的单调函数而有？40

第四章 Riemann积分42

引言42

1. 定义在闭区间上的有界的然而不是Riemann可积的函数42

2. 没有原函数的Riemann可积函数42

3. 在任何区间上都没有原函数的Riemann可积函数42

4. 函数在闭区间上有原函数，但仍不Riemann可积43

5. 有着稠密的间断点集的Riemann可积函数43

6. 函数f,且g(x)?f(t)dt处处可微，但在一个稠密集上，g(x)的导数异于f(x)44

7. 两个不同的半连续函数之间的“距离”为零44

8. 以任意零测度的Fσ集作为间断点集的Riemann可积函数44

9. 一个Riemann可积函数的Riemann可积函数而不是Riemann可积的45

10. Riemann可积函数的有界单调序列的极限，却不是Riemann可积的45

11. Cauchy主值为有限的发散广义积分45

12. 在［1，+∞)上收敛的广义积分，其被积函数是正值连续函数，在无穷远点并不趋向于零46

13. 在［0，+∞)上收敛的广义积分，其被积函数在每个形如［a+∞)的区间上无界，此处a>046

14. 函数f和g,在［a,b］和［b,c］上f对于g都是Riemann-Stieltjes可积的，但在［a,c］上则否46

第五章 序列48

引言48

1. 有界的发散序列48

2. 以任意闭集作为极限点集的序列48

3. 对每个正整数P，都有？的发散序列{an}50

4. 对任意严格递增的正整数序列{φn}={φ(n)}，能使？的发散序列{an}51

5. 两个序列{an}和{bn}，适合？51

6. 一列序列？，满足？52

7. 两个一致收敛的函数序列，它们的乘积序列不一致收敛52

8. 发散的集合序列52

9. 集合序列{An}收敛于空集合，但是它们的基数→+∞53

第六章 无穷级数55

引言55

1. 通项趋于零的发散级数56

2. 收敛级数∑an,与发散级数∑bn,适合？，n=1,2,…56

3. 收敛级数∑an,与发散级数∑bn,适合？，n=1，2，…56

4. 任意给定的正项级数，或优于发散级数，或收敛级数优于它56

5. 具有发散重排的收敛级数56

6. 对于任一条件收敛级数∑an,和任一实数x,序列{sn},其中|sn|=1，n=1,2，…，能使∑snan=x58

7. 满足标准交错级数定理的三个条件中任意两个的发散级数58

8. 通项趋于零的一个发散级数，适当地引进括号后变成收敛于任意的和59

9. 对于给定的以零为下极限的正数序列{bn},有一个正项发散级数∑an,其通项趋于零并适合？60

10. 对于给定的以零为下极限的正数序列{bn},有一个正项收敛级数∑an,适合？60

11. 对于一个下极限为零的正数序列{cn}，有一个正项收敛级数∑an和一个正项发散级数∑bn,能使an/bn=cn,n=1,2,60

12. ？上的正值连续函数，使得？收敛而？发散61

13. ？上的正值连续函数，使得？发散而？收敛61

14. 比值判敛法失效的级数61

15. 根值判敛法失效的级数63

16. 比值判敛法失效但能用根值判敛法的级数64

17. 两个收敛级数，它们的Cauchy乘积级数发散64

18. 两个发散级数，它们的Cauchy乘积级数绝对收敛65

19. 对于正项收敛级数的一个给定序列？，n=1,2,…，有一个不便与？中任何级数相比较的正项收敛级数？66

20. Toeplitz矩阵T，以及被T变换成收敛序列的发散序列68

21. 对于给定的Toeplitz矩阵T=(Tij),a4=±1的序列{aj}经过T的变换式{bi}发散69

22. 仅在一点收敛的幂级数72

23. 一个函数，它的Maclaurin级数处处收敛，但仅在一点表示这个函数72

24. 一个函数，它的Maclaurin级数仅在一点收敛72

25. 不是Fourier级数的收敛三角级数74

26. 函数f(x)无穷可微且有？f(x)=0,但它不是任何Lebesgue可积函数的Fourier变换式76

27. 对任一可数集？［-π，π］，一个连续函数，它的Fourier级数在E的各点发散，而在［-π，π］\E的各点收敛78

28. 在［-π，π］上的(Lebesgue)可积函数，其Fourier级数处处发散78

29. 有理数序列？，对于每个在［0，1］上连续且f(0)=0的函数f,都存在一个严格递增的正整数序列{nv},n0=0,使得？在［0，1］上的收敛性是一致的78

第七章 一致收敛81

引言81

1. 处处间断的函数的序列一致收敛于处处连续的函数81

2. 无穷可微函数的序列一致收敛于零，其导函数序列却处处发散81

3. 有界函数的非一致极限，它是无界函数82

4. 连续函数的非一致极限，它是间断函数82

5. Riemann可积函数的非一致极限，它却不是Riemann可积函数84

6. 积分的极限不等于极限的积分的函数序列84

7. 导数的极限不等于极限的导数的函数序列85

8. 在每个闭的子区间上都是一致的，但在整个区间上不一致的收敛性85

9. 在［0，+∞)上一致收敛于零的序列{fn},而使？86

10. 级数不一致收敛，而其通项却一致地趋于零86

11. 一个不一致收敛的序列，有一个一致收敛的子序列86

12. 满足Dini定理的四个条件中任何三个条件的非一致收敛的序列87

第八章 实轴上的集与测度88

引言88

1. 完备的疏集90

2. 测度为零的不可数集91

3. 一个测度为零的集，其差集包含原点的一个邻域92

4. 正测度的完备疏集94

5. 无理数的完备疏集95

6. 一个稠密开集，它的补集的测度不等于零96

7. 第二范畴的集96

8. 不是Fσ集的集96

9. 不是Gσ集的集97

10. 集A，对于它，不存在用A作为间断点集的函数97

11. 不可测集98

12. 对于每个可测集A，能使？的集D100

13. 测度为零的集A，而每个实数都是集A的凝聚点101

14. 实数的一个疏集A，以及从A到单位闭区间［0，1］上的一个连续映射101

15. 一个连续单调函数，其导数几乎处处为零103

16. 破坏了集的可测性和零测度的一个闭区间的拓扑映射105

17. 可测的非Borel集105

18. 两个并非相差一个常数的连续函数，却具有几乎处处相同的导数(在有限或无穷的意义上)105

19. ［0，1］内测度等于1的第一范畴的集106

20. ［0，1］内测度等于零的第二范畴的集106

21. 非Fσ集的零测度集107

22. 集的测度为零，而没有函数--Riemann可积或否--能以它作为间断点集107

23. ［0，1］内两个完备疏集是同胚的，但只有一个为零测度108

24. 两个不相交的非空疏实数集，任一集的每个点都是另一集的极限点109

25. 属于不同范畴的两个同胚的实数集109

26. 两个同胚的实数集，一个是稠密集，另一个是疏集111

27. 定义于？上的一个几乎处处等于零的函数，它在每个非空开区间上的值域都是？111

28. ？上的一个函数，它的图形在平面内稠密112

29. 一个函数f,处处适合？，但在每个非空开区间(a,b)上？112

30. 一个连续的严格单调函数，其导数几乎处处等于零113

31. 有界半连续函数，它既不Riemann可积，也不与Riemann可积函数等价113

32. 一个有界可测函数，它不与Riemann可积函数等价113

33. 连续函数的有界单调极限，它既不Riemann可积，也不与Riemann可积函数等价113

34. Riemann可积函数f和连续函数g都定义于［0，1］上，但复合函数f(g(x))在［0，1］上既不Riemann可积，也不与Riemann可积函数等价114

35. 闭区间上的一个有界函数有原函数，但不Riemann可积115

36. 一个函数，它的广义(Riemann)积分存在，但不Lebesgue可积116

37. Lebesgue可测但不Borel可测的函数117

38. 可测函数f(x)和连续函数g(x),而复合函数f(g(x))不可测117

39. 连续单调函数g(x)和连续函数f(x)，适合？117

40. 按照不同意义收敛的函数序列117

41. 测度空间(X，S)上的测度μ关于另一个测度ν绝对连续，但不存在函数f,使得对于所有的E∈S，成立？120

第二篇 多维的问题123

第九章 二元函数123

引言123

1. 分别对于各个变量连续的间断函数123

2. 一个二元函数在原点没有极限，但沿着任一直线逼近原点时又给出了极限值为零124

3. 前例的改进124

4. 处处都有一阶偏导数的间断(从而也不可微)二元函数125

5. 以下三种极限？恰有两个存在并且相等的函数f125

6. 三种极限？恰有一个存在的函数f126

7. ？都存在但不相等的函数f127

8. 函数f(x,y)有？f(x,y)=g(x)存在并于x一致，？f(x,y)=h(y)存在并于y一致，又有？(x)=?h(y),但是？f(x,y)不存在127

9. 可微但不连续可微的二元函数128

10. 二阶混合偏导数不相等的可微函数128

11. 两个自变量x和y的连续可微函数f,在平面区域R内？恒等于零，但是f在R内并非与y无关129

12. 不是齐性的，但是局部齐性的连续可微的二元函数130

13. 在原点没有极值的可微二元函数，如限定于通过原点的任一直线上，则函数在原点有严格的相对极小值131

14. 前例的改进131

15. 一个函数f,对于它，？尽管每个积分都是正常积分132

16. 一个函数f，对于它，？虽然每个积分都是正常积分133

17. 二重级数？，虽然按行或按列都有收敛性，但是？133

18. 微分Pdx+Qdy，在平面区域R内是局部恰当的，但不是恰当的134

19. 定义于单连通区域内的不具有向量势的螺线向量场136

第十章 平面集138

引言138

1. 距离为零的两个不相交的闭集140

2. 有界平面集而没有包含它的最小闭圆盘140

3. 不是简单孤的“薄”连通集141

4. 两个不相交的平面通路，包含于同一个正方形内且各自连接两个对顶点141

5. 区间［0，1］到正方形［0，1］×［0，1］上的一个映射143

6. 平面内的一个填满空间的弧143

7. 几乎处处在一个可数集内的填满空间的弧145

8. 几乎处处可微的填满空间的弧145

9. ［0，1］到［0，1］上的一个连续映射，每个值取的次数不可数145

10. 单位正方形内的一个简单弧，其平面测度可以任意接近1146

11. 不是弧的连通紧集149

12. 与自己的闭包的内部不同的平面区域149

13. 有共同边界的三个不同的平面区域149

14. 与自己的闭包的内部相等的非Jordan区域151

15. 边界的测度为正数的有界平面区域151

16. 长度无限的简单弧151

17. 长度无限并且在每一点都有切线的简单弧152

18. 每两个不同点之间的弧段长度无限的简单弧152

19. 光滑曲线C上有一点P，就C上各点对于C的凹侧的任何一个点来说，P绝不是最近的点153

20. 单位正方形S=［0，1］×［0，1］的一个子集A在S内稠密，而且与S相交的每一条铅直或水平直线恰好交A于一点153

21. 与任一直线至多有两个公共点的不可测平面集154

22. 一个非负的二元函数f(x,y)，适合？，但是？并不存在，其中S=［0，1］×［0，1］157

23. 图形为不可测平面集的单实变实值函数157

24. 从一个连通集只移走一个点，它就变成完全不连通集158

第十一章 面积160

引言160

1. 没有面积的有界平面集161

2. 没有面积的紧平面集161

3. 没有面积的有界平面区域162

4. 没有面积的有界平面Jordan区域162

5. 一条简单闭曲线，它的平面测度比它围成的有界区域的平面测度还要大162

6. 定义在［0，1］上的两个函数φ和ψ，适合(a) φ(x)<ψ(x),x∈［0，1］162

定义在［0，1］上的两个函数φ和ψ，适合(b) ？［ψ(x)-φ(x)］dx存在且等于1163

定义在［0，1］上的两个函数φ和ψ，适合(c) ？没有面积163

7. 指定一个任意大的有限数或无穷大作为直立圆柱侧面面积的方法163

8. 三维空间的曲面S，对于两个正数ε和M来说，适合(a) S同胚于球面166

三维空间的曲面S，对于两个正数ε和M来说，适合(b) S的曲面面积存在且小于ε166

三维空间的曲面S，对于两个正数ε和M来说，适合(c) S的三维Lebesgue测度存在且大于M166

9. 在一个平面测度任意小的平面集内，长度等于1的直线段的方向能够经过连续运动而反转过来167

第十二章 度量空间与拓扑空间168

引言168

1. 非空闭有界集的一个下降序列，其交集为空集172

2. 取离散拓扑的不完全度量空间173

3. 完全度量空间内非空闭球的一个下降序列，其交集为空集173

4. 开球O与闭球B的中心和半径都相同，但是B≠O174

5. 半径分别为r1和r2的闭球B1与B2，虽然r1>r2,却有？174

6. 拓扑空间X和它的一个子集Y，而Y的极限点不能构成闭集175

7. 一个拓扑空间，其中序列的极限不是唯一的175

8. 有不可分子空间的可分空间175

9. 不满足第二可数公理的可分空间176

10. 用于给定集合的两个不同的拓扑，而有相同的收敛序列176

11. 拓扑空间X，集？以及A的一个极限点，它不是A内任何序列的极限179

12. 拓扑空间X，它的点都是函数，其拓扑相当于逐点收敛，它不是可度量化空间182

13. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是连续的，但既不是开的也不是闭的182

14. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是开的和闭的，但不是连续的183

15. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是闭的，但既不是连续的也不是开的183

16. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是连续的和开的，但不是闭的184

17. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是开的，但既不是连续的也不是闭的184

18. 从一个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射是连续的和闭的，但不是开的185

19. 拓扑空间X，它的子空间Y内有两个不相交的开集，不能得自Y与X的不相交开集之交185

20. 两个不同胚的拓扑空间，每一个都是另一个的连续的一对一映象185

21. 三维Euclid球B分为五个不相交的子集S1，S2，S3，S4，S5的一个分解(其中S5仅由一点组成)，和五个刚体运动R1，R2，R3，R4，R5，适合？187

22. 给定了ε，M>0，半径分别为ε和M的两个Euclid球Bε和BM，Bε分为有限多个不相交的子集S1，S2…，Sn的一个分解，和n个刚体运动R1，R2，…，Rn,适合BM=R1(S1)∪R2(S2)∪…Rn(Sn)187

第十三章 函数空间188

引言188

1. 两个单调函数，它们的和不是单调函数191

2. 两个周期函数，它们的和不是周期函数191

3. 两个半连续函数，它们的和不是半连续函数192

4. 两个平方Riemann可积函数，它们的和不是平方Riemann可积的193

5. 两个平方Lebesgue可积函数，它们的和不是平方Lebesgue可积的194

6. 函数空间是线性空间，但既不是一个代数，也不是一个格194

7. 线性函数空间是一个代数，但不是一个格194

8. 线性函数空间是一个格，但不是一个代数195

9. 用于［0，1］上的连续函数空间C(［0，1］)的两种度量，使得按照一种度量的单位球的补集在另一种度量下的单位球内是稠密的195

参考书目197