《数学分析 上》

第一章函数1

1 实数概述1

一 实数的主要特征1

二 绝对值不等式、邻域、空心邻域2

练习1.14

2 函数概念4

一 函数的概念4

二 基本初等函数7

练习1.212

一 单调函数14

3 几种特殊类型的函数14

二 奇函数与偶函数15

三 周期函数15

四 有界函数17

练习1.318

4 函数的运算20

一 四则运算20

二 反函数21

三 复合函数23

练习1424

习题一25

1 数列极限的概念28

一 极限思想28

第二章极限28

二 数列｛(n-1)/n｝的极限29

二 数列极限定义31

练习2.135

2 收敛数列的性质36

练习2.241

3 数列的收敛判别法42

练习2.348

4 函数极限49

一 函数极限概念49

二 函数极限的定理59

三 函数极限存在的判定63

练习2.466

5 两个重要的极限67

一 lim(x→0)sinx/x＝167

二 lim(x→∞)(1＋1/x)x＝e70

练习2.572

6 无穷小量与无穷大量73

一 无穷小量73

二 无穷大量74

三 无穷小量阶的比较76

练习2.679

习题二80

一 函数在一点的连续性83

1 函数的连续性概念83

第三章函数的连续性83

二 间断点及其分类88

三 区间上的连续函数90

练习3.193

2 连续函数的性质95

一 连续函数的局部性质95

二 连续函数的运算性质95

三 区间上连续函数的基本性质98

四 一致连续性100

练习3.2104

3 初等函数的连续性106

习题三108

练习题3.3108

第四章导数与微分110

1 导数概念110

一 两个典型问题110

二 导数的定义112

三 单侧导数116

四 导数的几何意义118

五 可导性与连续性的关系119

练习4.1120

2 求导法则122

一 导数的四则运算122

二 反函数的导数126

三 复合函数的导数128

四 基本求导法则与公式134

五 隐函数求导法135

六 参数方程表示的函数的求导法138

练习4.2143

3 微分146

一 微分概念146

二 微分与导数的关系147

三 微分的几何意义148

四 微分运算法则149

练习4.3154

4 高阶导数与高阶微分155

一 高阶导数156

二 莱布尼茨公式158

三 高阶微分161

四 其他函数关系的高阶导数163

练习4.4166

习题四168

第五章中值定理与导数的应用172

1 微分学基本定理172

一 费尔马定理172

二 中值定理175

三 例181

练习5.1183

一 0/0型未定型的极限185

2 洛比达法则185

二 ∞/∞型未定型的极限189

三 其它未定型的极限191

练习 5.2193

3 泰勒公式194

一 泰勒定理194

二 几个常用函数的麦克劳林公式199

三 函数的近似计算200

练习5.3202

4 函数的单调性与极值202

一 函数单调性的判别法202

二 极值的判别法206

三 最大值与最小值的求法209

练习5.4213

5 函数图象的讨论214

一 曲线的凹凸性与拐点214

二 曲线的渐近线216

三 函数图象的讨论219

练习5.5223

6 方程的近似解224

练习5.6227

习题五227

五 聚点定理227

一 闭区间套定理229

1 实数基本定理229

第六章实数基本定理229

二 确界存在定理231

三 柯西收敛准则234

四 有限复盖定理236

六 收敛子列存在定理238

2 闭区间上连续函数基本性质定理的证明238

习题六244

第七章不定积分246

1 不定积分的概念及运算法则246

一 原函数与不定积分的定义246

二 不定积分的基本公式248

三 不定积分的运算法则250

练习7.1252

2 不定积分的计算253

一 换元积分法253

二 分部积分法261

练习7.2266

3 有理函数和可化为有理函数的积分268

一 有理函数积分法268

二 三角函数有理式 ∫R(sinx,cosz)dx 型的积分274

三 形如 ∫R(X,？ax＋b/cx＋d)dx 的积分277

四 形如 ？R(X,？ax2＋bx＋c)dx 的积分278

练习7.3281

习题七282

第八章定积分284

1 定积分的概念284

一 问题的提出284

二 定积分的概念288

练习8.1291

2 定积分的性质292

一 可积条件与可积函数类292

二 定积分的基本性质293

练习8.2303

3 定积分的计算304

一 微积分学基本定理304

二 换元积分法与分部积分法308

练习8.3316

4 定积分的近似计算318

一 矩形法318

二 梯形法319

三 抛物线法321

练习8.4325

5 可积条件326

一 可积的必要条件326

二 大和与小和328

三 可积的充要条件331

四 可积函数类334

练习8.5337

习题八338

第九章定积分的应用340

1 平面图形的面积、微元法340

一 平面图形的面积340

练习9.1345

2 已知截面面积函数的立体体积345

一 微元法345

二 已知平行截面面积函数的立体体积346

三 旋转体的体积348

练习9.2350

3 曲线的弧长、旋转体的侧面积350

一 曲线的弧长350

二 旋转体的侧面积356

练习9.3359

4 定积分在物理上的应用359

一 水压力359

二 平均值360

三 平面图形的重心362

练习9.4364

5 几个简单的一阶微分方程364

一 微分方程364

二 可分离变量的微分方程366

三 一阶线性微分方程368

练习9.5370

习题九370