《数学分析选论》

第一章关于极限与连续性理论1

1.1 实数、绝对值、不等式1

一、实数的基本性质1

二、绝对值的基本性质2

三、几个重要不等式3

四、例7

习题1.110

1.2 数列极限的定义、性质和定理10

一、数列极限的定义10

二、收敛数列的性质和定理11

三、例13

四、几个重要数列极限24

习题1.225

1.3 函数极限的定义、性质和定理27

一、函数极限的定义27

二、函数极限的性质28

三、无穷小、无穷大，记号o、～、○29

四、例31

五、几个重要函数极限35

习题1.336

1.4 关于实数系的基本定理37

一、单调有界定理37

二、闭区间套定理38

三、有限覆盖定理39

四、确界定理41

五、聚点定理43

六、收敛子列定理44

七、上、下极限定理45

八、柯西收敛准则46

习题1.449

1.5 连续函数50

一、函数连续性概念和几个基本定理50

二、闭区间上连续函数的基本性质56

习题1.560

1.6 多元函数的极限与连续(复习)61

本章小结与学习指导69

第二章关于微分学与积分学理论77

2.1 导数的定义与性质77

一、导数的定义77

二、导数的性质79

三、例80

2.2 微分中值定理和台劳公式84

一、微分中值定理和台劳公式84

二、例88

习题2.299

2.3 定积分的定义和可积性100

一、定积分的有关定义100

二、可积条件与定积分的性质103

三、例115

习题2.3119

2.4 积分中值定理120

一、积分第一中值定理120

二、积分第二中值定理122

习题2.4128

2.5 多元函数微分法与重积分(复习)128

本章小结与学习指导135

第三章函数项级数141

3.1 常效项级数的概念和定理141

3.2 函数项级数的敛散性与一致收敛146

一、函数项级数的敛散性146

二、函数项级数的一致收敛性149

三、函数项级数一致收敛判别法153

四、函数列的收敛性与一致收敛性159

习题3.2160

3.3 和函数的分析性质161

一、和函数的分析性质161

二、极限函数的分析性质169

习题3.3169

3.4 富里埃级数170

一、富里埃级数170

二、收敛定理172

三、富里埃级数若干性质185

习题3.4186

本章小结与学习指导186

第四章含参变量积分192

4.1 广义积分的某些结果192

一、无穷积分192

二、瑕积分(略)195

4.2 含参变量常义积分195

习题4.2204

4.3 含参变量广义积分205

一、一致性收敛的定义206

二、一致收敛的判别法209

三、含参变量无穷积分的性质215

习题4.3222

4.4 Γ 函数与 B 函数223

一、Γ 函数及其性质224

二、B 函数及其性质228

三、Γ 函数与 B 函数的关系229

习题4.4233

本章小结与学习指导233

第五章隐函数237

5.1 一个方程确定的隐函数237

一、隐函数的概念237

二、隐函数存在定理239

习题5.1245

5.2 由方程组确定的隐函数组246

一、隐函数组存在定理247

二、反函数组与坐标变换253

习题5.2257

5.3 函数行列式258

习题5.3261

5.4 隐函数(组)理论的应用262

习题5.4268

本章小结与学习指导269

一、曲线积分272

6.1 曲线积分与曲面积分272

第六章场论初步272

二、曲面积分275

习题6.1284

6.2 场论初步285

一、场的概念285

二、梯度286

三、散度291

四、？？296

五、几种特殊的向量场301

六、微分算子304

习题6.2307

本章小结与学习指导308

习题解答313

习题1.1313

习题1.2316

习题1.3326

习题1.4330

习题1.5333

习题2.2336

习题2.3342

习题2.4346

习题3.2347

习题3.3352

习题3.4354

习题4.2358

习题4.3361

习题4.4365

习题5.1368

习题5.2371

习题5.3375

习题5.4376

习题6.1380

习题6.2384

附录Ⅰ有关定理的证明389

附录Ⅱ 灵活运用所学知识、思想、方法，技巧举例406