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目 录1

第一章集合论基础1

§1． 集合概念及其最基本的运算………………………………… ？§2． 集合的映射3

§3． 可数集4

第二章实数与复数，度量空间7

§1． 实数概念7

§2． 实数的算术运算12

§3． 实数集的有界子集13

§4． 实数集的完备性16

§5． 复数17

§6． 度量空间20

第三章数的序列和级数26

§1． 收敛序列26

§2． 收敛序列的基本性质29

§3． 无穷小序列，趋于士∞的序列33

§4． 子序列，波尔察诺—维尔斯特拉斯定理34

§5． 基本列，柯西准则37

§6． 数值级数39

第四章函数极限，连续函数60

§1． 单实变量函数60

§4． 具复数项的幂级数 （161

§2． 函数极限62

§3． 连续函数68

§4． 闭区间上连续函数的性质73

§5． 单调函数77

§6． 初等函数及它们的连续性80

§7． 某些极限的计算87

§8． 用极限的观点作函数比较90

§9． 函数的序列与级数91

第五章一元函数的微分和积分105

§1． 导数概念105

§2． 导数的力学和几何意义107

§3． 微分法则109

§4． 初等函数的微分法113

§5． 函数的微分116

§6． 可微函数的中值定理118

§7． 原函数与不定积分124

§8． 牛顿定积分129

§9． 牛顿定积分的中值定理132

§10． 任意阶导数135

§11． 任意阶微分138

§12． 函数序列及级数的微分与积分141

第六章台劳公式，台劳级数，幂级数147

§1． 台劳公式147

§2． 台劳级数，若干初等函数的台劳级数150

§3． 实数项幂级数155

第七章微分在极限运算与函数研究上的应用168

§1． 罗必达法则168

§2． 应用台劳公式求极限173

§3． 函数的研究174

第八章黎曼定积分184

§1． 黎曼积分的定义，可积的必要与充分条件184

§2． 黎曼积分的初等性质194

§3． 黎曼可积的函数类200

§4． 黎曼积分的中值定理202

§5． 黎曼积分的性质204

§6． 广义原函数概念210

§7． 反常积分……………………………………………………（？？）§8． 积分的近似计算223

§9． 弧长、面积和体积的计算227

第九章积分法232

§1． 原函数的寻求232

§2． 有理函数的积分233

§3． 可以化为有理函数积分的积分247

§4． 实变量的复函数的积分法250

第十章单个实变量的矢函数，平面曲线和空间曲线254

§1． 单个实变量的矢函数254

§2． 三维欧几里得空间的曲线258

第十一章多元函数279

§1． 欧几里得空间中的收敛点序列279

§2． 多元函数的极限281

§3． 多元连续函数287

§4． 多元函数的微分法291

§5． 任意阶的导数和微分302

§6． 多元函数的台劳公式306

§7． 多元函数的局部极值308

第十二章多元矢函数，曲线积分316

§1． 多元矢函数316

§2． 三维欧几里得空间中的曲线积分320

第十三章隐函数，条件极值324

§1． 隐函数基本定理324

§2． 可微映射和它们的雅可比式335

§3． 函数相关性338

§4． 方程的近似解343

§5． 条件极值351

第十四章重积分及其应用356

§1． 二重积分356

§2． 格林公式，平面上矢量场有势的条件368

§3． 二重积分中的变量替换公式376

§4． 依赖于参数的积分378

§5． 反常二重积分388

§6． 三维欧几里得空间中的曲面392

§7． 曲面积分406

§8． 斯托克斯公式，空间矢量场有势的条件411

§9． 三重积分416

§10． 奥斯特洛格拉特斯基公式422

第十五章富里哀级数，富里哀积分428

§1． 富里哀三角级数428

§2． 正交函数系的富里哀级数440

§3． 平均收敛性444

§4． 富里哀三角级数一致收敛的充分条件447

§5． 复形式的三角级数449

§6． 富里哀积分451

第十六章勒贝格积分456

§1． 零测度集456

§2． 阶梯函数序列459

§3． 勒贝格积分概念461

§4． 可测函数和可测集467

§5． 空间L2（［a,b］）468

第十七章张量分析基础471

§1． 曲面上的张量471

§2． 微分流形上的张量479

§3． 黎曼空间，协变微分484