《高等数学与线性代数解题指南》

第一部分高等数学1

第一章函数、极限、连续1

1-1一元函数1

一、求函数的表示式和定义域的方法1

二、求函数的值的方法3

1-2函数的极限5

一、求待定式极限的方法6

二、求非待定式极限的方法15

三、函数极限的局部逆问题的求解方法15

四、函数极限综合题的求解方法16

五、求分段函数的极限的方法17

六、无穷小的阶的比较方法18

1-3函数的连续性20

一、函数的连续性讨论20

二、确定函数的间断点及其类型21

三、在闭区间上的连续函数的性质的应用22

第二章一元函数的微分学26

2-1导数和微分26

一、求函数的导数的基本方法26

二、不同形式的函数的求导方法30

三、求函数的高阶导数的方法32

四、求函数的微分的方法34

2-2导数和微分的应用37

一、求平面曲线的切线和法线方程37

二、研究函数的单调增减性38

三、求函数的极值和最值39

四、研究曲线的凹凸性42

五、证明中值命题43

六、证明方程的根的存在性与个数47

七、证明不等式49

八、求曲线的曲率、曲率半径和曲率圆53

第三章一元函数的积分学58

3-1不定积分58

一、求不定积分的三种基本方法58

二、几种特殊类型的函数的积分法64

3-2定积分73

一、计算定积分的基本方法73

二、奇偶函数的定积分计算法75

三、分段函数（含带绝对值的函数）的定积分的计算方法75

四、证明定积分等式的方法76

五、证明定积分不等式的方法77

六、应用积分中值定理证明中值命题的方法78

七、估计定积分的值和证明具体函数的积分不等式的方法78

八、求由定积分定义的函数的极限、导数、极值和研究这种函数的单调增减性的方法79

九、广义积分的计算方法81

3-3定积分的应用86

一、定积分在几何上的应用86

二、定积分在物理学上的应用91

第四章向量代数和空间解析几何95

4-1向量代数95

一、向量的基本概念及几何意义95

二、向量的坐标表示95

三、向量的运算96

4-2空间解析几何96

一、求方程问题96

二、求距离与交角98

第五章多元函数的微分学103

5-1多元函数的基本概念103

一、二元函数的定义域与值域103

二、二元函数的极限103

三、二元函数的连续性讨论105

5-2多元函数的微分法107

一、求偏导数的基本方法107

二、求复合函数的偏导数的方法108

三、求隐函数的偏导数的方法110

四、证明偏微分方程成立及转化方程113

五、求全微分的方法115

六、利用全微分进行近似计算116

七、方向导数与梯度116

八、多元函数的连续性、偏导数的存在性、方向导数的存在性及可微性的讨论117

5-3偏导数的应用122

一、求空间曲线的切线与法平面方程122

二、求曲面的切平面与法线方程123

三、多元函数的泰勒展式126

四、求多元函数的极值127

五、多元函数极值的应用129

第六章多元函数的积分学135

6-1重积分135

一、重积分的计算135

二、重积分在几何上的应用140

三、证明积分等式的方法145

四、证明积分不等式的方法146

五、求由重积分定义的函数的极限、导数等147

六、重积分在物理、力学上的应用147

6-2曲线积分156

一、对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）的计算156

二、对坐标的平面曲线积分（第二类曲线积分）的计算159

三、对坐标的空间曲线积分的计算165

四、曲线积分的应用167

五、两类曲线积分的关系168

6-3曲面积分170

一、对面积的曲面积分的计算170

二、对坐标的曲面积分的计算171

三、曲面积分的应用174

四、曲面积分的证明题174

6-4场论初步176

一、基本概念、基本公式的测试形式176

二、奥高公式、斯托克斯公式的应用177

第七章无穷级数180

7-1常数项级数180

一、判别正项级数的敛散性的方法180

二、判别交错级数的收敛性的方法182

三、判别任意项级数的收敛性的方法183

四、关于常数项级数敛散性的证明题的证明方法184

五、求收敛的常数项级数的和的方法186

7-2幂级数189

一、求幂级数的收敛半径和收敛域的方法189

二、求幂级数在收敛域内的和函数的方法191

三、利用幂级数的和函数求收敛常数项级数的和的方法194

四、关于幂级数的敛散性的阿贝尔定理的应用195

五、将函数展开成幂级数的方法196

六、幂级数的应用199

七、求一般函数项级数的收敛域的方法200

7-3傅里叶级数203

一、狄里克雷定理的应用203

二、将函数在［-l,l］上展成傅里叶级数的方法203

三、将函数在［0,l］上展成正弦级数或余弦级数的方法205

四、利用函数的傅里叶级数展开式，求收敛常数项级数的和的方法207

五、其他情况举例208

第八章微分方程213

8-1一阶微分方程213

一、用变量分离法解方程213

二、齐次方程的解法215

三、全微分方程的解法217

四、线性方程的解法218

五、伯努利方程的解法219

8-2可降阶的高阶微分方程221

一、方程y(n)=f（x）的解法221

二、方程y″＝f（x,y′）的解法221

三、方程y″＝f（y,y′）的解法222

8-3　　高阶线性微分方程223

一、高阶常系数齐次线性微分方程的解法223

二、二阶常系数线性微分方程的解法223

三、欧拉方程的解法226

四、高阶常系数非齐次线性微分方程的解法227

五、二阶线性方程的通解讨论227

六、含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法228

七、微分方程的幂级数解法230

八、二阶齐次线性微分方程的逆问题解法231

九、求解积分微分方程231

十、杂例232

8-4微分方程的应用237

一、在几何上的应用237

二、在物理上的应用239

第二部分线性代数242

第九章n行列式242

一、计算n阶行列式的基本方法242

二、计算n阶行列式的其他方法245

三、证明行列式等式的方法249

第十章矩阵253

10-1矩阵的运算253

一、矩阵的线性运算与乘法运算253

二、求方阵的幂254

三、关于矩阵运算的证明题举例255

四、求与给定矩阵可交换的矩阵256

10-2矩阵的逆阵257

一、求矩阵的逆阵的方法257

二、解矩阵方程259

三、有关逆阵证明题的证明方法261

四、方阵的行列式的计算263

五、求分块矩阵的逆阵263

10-3矩阵的秩268

一、求矩阵的秩的方法268

二、关于矩阵的秩的证明题举例268

第十一章向量270

11-1 向量的运算270

11-2向量组的线性相关性270

一、把一个向量用一向量组线性表示的方法270

二、判别向量组线性相关性的方法272

三、向量组线性相关性的讨论274

四、证明向量组线性相关或线性无关275

五、向量组线性相关或线性无关的充要条件的证明方法276

11-3向量组的秩279

一、求向量组的秩与最大无关组的方法279

二、关于向量组的秩的证明题举例279

三、判别两向量组等价的方法280

四、关于等价向量组的证明题举例280

11-4向量空间281

一、判断一个向量集合是否构成向量空间的方法281

二、求向量空间的基底和维数的方法282

三、求向量空间中的向量在给定基底下的坐标的方法282

四、求n维向量空间的基变换和过渡矩阵283

五、求n维向量空间中的向量在不同基底下的坐标变换公式284

11-5正交向量组285

一、已知向量空间的一个基，求它的一个正交单位基的方法285

二、已知向量空间的一个正交向量组，求它的一个正交单位基的方法286

第十二章线性方程组288

12-1n阶线性方程组288

一、解n阶线性方程组的克莱姆法则288

二、n阶线性方程组的矩阵解法289

12-2齐次线性方程组290

一、齐次线性方程组恒相容（有解）290

二、齐次线性方程组解的性质290

三、齐次线性方程组解的情况290

12-3非齐次线性方程组292

一、线性方程组有解的判别定理292

二、非齐次线性方程组解的性质292

三、非齐次线性方程组解的情况293

12-4用初等行变换求解线性方程组294

一、用初等行变换求解齐次、非齐次线性方程组294

二、非齐次线性方程组的系数及自由项中含有待定参数时求解的讨论297

第十三章矩阵的特征值与特征向量301

13-1矩阵的特征值与特征向量301

一、矩阵的特征值与特征向量的概念301

二、特征值与特征向量的求法302

三、关于特征值与特征向量的逆问题的解法303

13-2相似矩阵305

一、相似矩阵的概念、性质305

二、判断方阵与对角形矩阵相似的方法307

13-3实对称矩阵的相似矩阵308

一、用相似变换化实对称矩阵为对角形矩阵的方法308

二、用正交变换化实对称矩阵为对角形矩阵的方法309

三、正交矩阵的性质及有关证明311

四、利用矩阵的对角化求方阵的幂311

第十四章二次型314

14-1二次型及其矩阵表示314

一、二次型及其矩阵表示314

二、二次型的秩314

14-2二次型的标准形315

一、用配方法化二次型为标准形316

二、用正交变换化二次型为标准形317

14-3正定二次型与正定矩阵320

一、正定矩阵的性质320

二、正定二次型（或正定矩阵）的判别方法321

三、二次型中含有待定系数时正定性的讨论323

附录1994年全国工学硕士研究生人学考试数学（试卷二）参考解答及评分标准326