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第八章 矢量代数与空间解析几何1

§1 预备知识——二阶与三阶行列式1

1.1 二阶行列式1

1.2 三阶行列式2

§2 矢量概念及其线性运算、矢量的投影5

2.1 矢量概念5

2.2 矢量的线性运算6

2.3 矢量的投影10

§3 空间直角坐标系 矢量的坐标表达式11

3.1 空间直角坐标系11

3.2 矢量的坐标表达式12

§4 矢量的乘法16

4.1 两矢量的数量积16

4.2 两矢量的矢量积19

4.3 三矢量的混合积23

4.4 二重矢积25

§5 空间直线与平面的方程26

5.1 空间直线方程26

5.2 平面方程27

5.3 平面束方程30

5.4 有关平面和空间直线的问题31

6.1 曲面方程与空间曲线方程的概念34

§6 曲面方程与空间曲线方程34

6.2 柱面方程36

6.3 锥面方程37

6.4 旋转曲面方程38

6.5 空间曲线在坐标平面上的投影40

§7 二次曲面 坐标变换42

7.1 常见的二次曲面42

7.2 坐标变换45

习题八48

1.1 空间55

§1 多元函数的基本概念55

第九章 多元函数的微分学55

1.2 多元函数的概念57

1.3 多元函数的极限与连续59

§2 偏导数62

2.1 偏导数概念62

2.2 高阶偏导数65

§3 多元复合函数的偏导数68

3.1 全增量公式68

3.2 复合函数的偏导数69

§4 隐函数的偏导数74

5.1 多元函数全微分的概念78

§5 全微分78

5.2 全微分形式的不变性79

5.3 全微分在近似计算与误差估计中的应用82

§6 矢值函数与偏导数在几何上的应用83

6.1 矢值函数与导矢量84

6.2 空间曲线的切线与法平面85

6.3 曲面的切平面与法线87

§7 多元函数的极值与条件极值问题91

7.1 极值及其判别法91

7.2 最大最小值问题92

7.3 条件极值与拉格朗日乘数法94

7.4 二元函数的泰勒公式与极值的充分条件99

§8 方向导数与数量场的梯度102

8.1 数量场和矢量场102

8.2 方向导数103

8.3 数量场的梯度105

习题九107

第十章 重积分116

§1 点函数积分的概念116

1.1 点函数积分的定义116

1.2 点函数积分的分类名称117

1.4 点函数积分的性质118

1.3 点函数可积的条件118

§2 二重积分计算法121

2.1 二重积分在直角坐标系中的计算法121

2.2 二重积分在极坐标系中的计算法125

§3 三重积分计算法129

3.1 三重积分在直角坐标系中的计算法129

3.2 三重积分在柱坐标系中的计算法132

3.3 三重积分在球坐标系中的计算法135

§4 重积分在一般曲线坐标系中的计算法137

4.1 二重积分在一般曲线坐标系中的计算法137

4.2 三重积分在一般曲线坐标系中计算法139

习题十141

第十一章 曲面积分149

§1 第一类曲面积分计算法149

1.1 曲面的面积149

1.2 第一类曲面积分的计算法150

§2 第二类曲面积分152

2.1 双侧曲面152

2.2 第二类曲面积分的概念152

2.3 第二类曲面积分的性质154

2.4 第二类曲面积分的计算法154

§3 高斯公式157

4.1 矢量场的通量161

§4 矢量场的散度161

4.2 矢量场的散度162

习题十一165

第十二章 曲线积分170

§1 第一类曲线积分的计算法170

1.1 平面曲线积分的计算公式170

1.2 空间曲线积分的计算公式170

§2 第二类曲线积分172

2.1 第二类曲线积分的概念172

2.3 第二类曲线积分的计算法174

2.2 第二类曲线积分的性质174

§3 格林公式175

§4 平面上单连通区域内曲线积分与路径无关的条件179

4.1 曲线积分与路径无关的四个等价条件179

4.2 原函数的求法181

4.3 全微分方程182

4.4 对称型微分方程组186

§5 斯托克斯公式187

5.1 斯托克斯公式187

5.2 空间曲线积分与路径无关的条件189

§6 矢量场的旋度190

6.2 旋度191

6.1 矢量场的循环量191

§7 有势场、无源场与调和场194

7.1 有势场194

7.2 无源场197

7.3 调和场198

§8 算子？与△的运算199

8.1 ？算子199

8.2 △算子199

8.3 ？的运算规则199

§9 梯度、散度、旋度在正交曲线坐标系下的表达式201

9.1 曲线坐标下三度与调和量的一般表达式202

9.2 柱坐标下三度与调和量的表达式203

9.3 球坐标下三度与调和量的表达式203

习题十二204

第十三章 无穷级数210

§1 基本概念210

1.1 级数收敛与发散的定义210

1.2 级数的基本性质212

1.3 级数收敛的条件214

§2 正项级数215

2.1 比较判别法215

2.2 达朗贝尔比值判别法218

2.3 柯西根值判别法220

2.4 柯西积分判别法221

§3 变号项级数222

3.1 交错级数收敛性判别法222

3.2 变号项级数的绝对收敛与条件收敛224

3.3 绝对收敛级数的运算性质226

§4 函数项级数228

4.1 函数项级数的概念228

4.2 函数项级数的一致收敛性229

4.3 一致收敛判别法231

4.4 一致收敛级数的分析性质233

5.1 幂级数的收敛半径与收敛区间235

§5 幂级数235

5.2 幂级数的分析性质240

5.3 幂级数的四则运算244

§6 函数展开成幂级数245

6.1 泰勒级数245

6.2 幂级数的若干应用251

§7 傅里叶级数256

7.1 三角函数系的正交性256

7.2 傅里叶级数257

7.3 在区间［0,l］上定义的函数的傅里叶级数展开264

7.4 贝塞尔不等式267

7.5 复数形式的傅里叶级数268

习题十三271

第十四章 含参变量积分279

§1 含参变量的定积分279

1.1 含参变量定积分的定义279

1.2 含参变量定积分的分析性质279

§2 含参变量的广义积分283

2.1 无穷区间上含参变量的广义积分的定义283

2.2 含参变量广义积分的一致收敛性283

2.3 一致收敛判别法284

2.4 一致收敛的广义积分的分析性质286

2.5 二重广义积分的交换积分次序289

2.6 无界函数的含参变量的广义积分290

§3 B（Beta）函数291

3.1 Γ（s）与B（p,q）的连续性291

3.2 Γ（s）与B（p,q）的可导性292

3.3 B（p,q）的计算公式292

习题十四295

附录296

§1 微分方程解的存在唯一性定理296

§2 高阶线性微分方程的通解300

习题答案303