《微积分学引论 下》

第五章 空间解析几何1

第一节 空间直角坐标系·向量1

5.1.1 空间直角坐标系1

5.1.2 向量的基本概念3

5.1.3 向量在轴上的射影4

5.1.4 向量的加法与数乘6

习题5.111

第二节 向量的内积外积与混合积13

5.2.1 向量的内积13

5.2.2 向量的外积16

5.2.3 向量的混合积21

习题5.223

第三节 平面与直线24

5.3.1 平面的方程24

5.3.2 直线的方程29

5.3.3 直线与平面的关系35

5.3.4 平面束37

习题5.339

第四节 空间曲面41

5.4.1 球面41

5.4.2 柱面42

5.4 3 锥面44

5.4.4 旋转曲面46

5.4.5 坐标变换49

5.4.6 二次曲面的标准方程52

习题5.455

第五节 空间曲线57

5.5.1 曲线的一般式方程57

5.5.2 曲线的参数方程57

5.5.3 空间曲线在坐标平面上的投影58

习题5.560

第六章 偏微分学61

第一节 多元函数·极限·连续性61

6.1.1 欧几里得空间·点集基本知识61

6.1.2 多元函数概念64

6.1.3 二元函数极限68

6.1.4 累次极限72

6.1.5 二元函数连续性73

6.1.6 连续函数的性质·一致连续性75

习题6.177

第二节 偏导数·全微分79

6.2.1 偏导数79

6.2.2 全微分81

习题6.285

第三节 复合函数与隐函数的微分法87

6.3.1 复合函数微分法87

6.3.2 隐函数微分法92

习题6.397

第四节 高阶偏导数·高阶微分99

6.4.1 高阶偏导数99

6.4.2 高阶微分103

6.4.3 泰勒公式105

习题6.4107

第五节 偏导数在几何上的应用109

6.5.1 空间曲线的切线与法平面109

6.5.2 空间曲面的切平面与法线112

6.5.3 包络117

习题6.5121

第六节 极值·条件极值122

6.6.1 极值的定义与必要条件122

6.6.2 极值存在的充分条件123

6.6.3 最大值·最小值128

6.6.4 条件极值（拉格朗日乘数法）131

习题6.6137

第七节 方向导数138

习题6.7141

第七章 重积分142

第一节 二重积分142

7.1.1 二重积分定义142

7.1.2 二重积分的性质144

7.1.3 二重积分的计算（累次积分法）146

习题7.1（1）153

7.1.4 二重积分换元公式155

7.1.5 二重积分的计算（换元积分法）158

习题7.1（2）168

第二节 三重积分170

7.2.1 三重积分的定义与性质170

7.2.2 三重积分的计算（累次积分法）172

习题7.2（1）181

7.2.3 三重积分换元公式183

7.2.4 三重积分的计算（换元积分法）184

习题7.2（2）193

第三节 重积分的近似计算194

7.3.1 推广的梯形公式194

7.3.2 推广的辛卜生公式197

7.3.3 近似函数法201

习题7.3202

第四节 重积分的应用203

7.4.1 立体的体积203

7.4.2 曲面的面积206

7.4.3 引力211

7.4.4 质心213

7.4.5 转动惯量218

习题7.4220

第八章 曲线积分·曲面积分第一节 曲线积分222

8.1.1 空间曲线的弧长222

8.1.2 第一型曲线积分227

8.1.3 第二型曲线积分233

习题8.1242

第二节 曲面积分244

8.2.1 第一型曲面积分244

8.2.2 双侧曲面251

8.2.3 第二型曲面积分255

习题8.2264

第三节 线积分、面积分、体积分间的联系265

8.3.1 格林定理266

8.3.2 斯托克斯定理275

8.3.3 高斯定理281

8.3.4 多元微积分基本定理287

习题8.3293

第四节 曲线积分、曲面积分应用举例296

习题8.4300

第九章 场论302

第一节 基本概念302

9.1.1 向量函数的导数与积分302

9.1.2 向量场·数量场307

9.1.3 哈密顿算子？308

习题9.1311

第二节 直角坐标下的梯度散度与旋度312

9.2.1 梯度312

9.2.2 散度315

9.2.3 旋度319

9.2.4 无源场·无旋场324

9.2.5 场论在物理上的应用330

习题9.2332

第三节 正交曲线坐标下的梯度散度与旋度334

9.3.1 正交曲线坐标334

9.3.2 弧长元素·曲面元素·体积元素337

9.3.3 正交曲线坐标下的三度表达式339

习题9.3347

第十章 广义积分学348

第一节 广义积分348

10.1.1 两类广义积分的定义348

10.1.2 基本性质351

10.1.3 基本公式352

习题10.1（1）355

10.1.4 敛散性判别法356

习题10.1（2）365

第二节 广义重积分简介366

10.2.1 两类广义二重积分的定义366

10.2.2 敛散性判别法367

习题10.2369

第三节 含参变量积分369

10.3.1 含参变量定积分369

10.3.2 含参变量广义积分·一致收敛性375

习题10.3382

第四节 欧拉积分383

10.4.1 Γ函数的定义383

10.4.2 Γ函数的性质384

10.4.3 B函数的定义386

10.4.4 B函数的性质388

10.4.5 斯特林公式390

习题10.4391

附录 向量公式393

习题答案与提示394

索引418

参考文献423