《数列与极限》求取 ⇩

目录1

第一章 绪论——研究数列及其极限的必要性1

§1 生产实践和科学研究的需要1

（一）物理问题1

（二）化学问题2

（三）生物问题3

（四）经验公式3

§2 数学发展的需要7

（一）几何问题7

（二）代数问题9

（三）三角问题16

§3 无穷与有限的重大差别16

习题一22

第二章　数列23

§1　数列的意义23

§2　斐波那契（Fibonacci）数列27

§3 循环数列28

（一）斐波那契数列的推广28

（二）循环数列28

（三）循环数列的确定29

（四）循环数列的性质30

（五）循环数列的通项公式31

§4　数列常见的几种类型42

（一）以相邻两项的大小关系作为区分的标志42

（二）以各项的绝对值是否有界作为区分的标志45

§5　数列的图象48

（一）在数轴上的表示法48

（二）在坐标平面上的表示法50

§6　数列求和53

（一）和的符号与性质53

（二）三种求和方法的比较54

（三）连乘积的和、自然数的方幂和59

（四）部分分式的利用63

（五）三角函数列的和72

（六）混和数列的和73

（七）求和方法的推广与局限74

§7　和的估值79

§8　应用82

习题二90

第三章　数列的极限96

§1　极限的定义96

（一）割圆术的普遍化与精确化96

（二）数列极限的定义102

（三）几何图示103

（四）极限的基本性质105

（五）依定义求极限之例106

§2　几点注意113

（一）趋势的多样性113

（二）ε的任意性115

（三）N的存在性与多值性115

（四）N的求法117

（五）极限与代数运算的异同120

（一）带量词的命题及其否定121

§3　发散数列121

（二）发散的定义128

（三）发散的类型130

§4　无穷大量与无穷小量的阶133

（一）无穷大量的比较133

（二）无穷大量的阶134

（三）无穷小量的阶135

习题三137

第四章　极限的四则运算141

§1 引言141

（一）和（差）的极限142

§2　极限的四则运算142

（二）积的极限143

（三）商的极限144

§3　关于极限存在的重要性146

（一）必不可少的前提146

（二）无穷小量与有界变量147

（三）含无穷大的待定式：∞-∞；？148

§4　四则运算的次数不能无限增多151

（一）利用求和公式使项数不变152

（二）截成两部，使之皆可任意小155

（一）三种平均值159

（三）利用夹值定理159

§5　平均值的极限及其应用159

（二）调和平均值的极限160

（三）应用161

§6　加权平均值的极限及其应用165

（一）加权平均值的意义165

（二）加权算术平均值的极限166

（三）应用169

（四）施笃兹（O·Stolz）定理172

习题四175

§1　不等式与极限179

（一）引言179

第五章 不等式的极限与夹值定理179

（二）不等式两边取极限的法则180

§2　夹值定理及其应用181

（一）夹值定理181

（二）应用之例182

§3　几何平均值的极限及其应用187

（一）几何平均值的极限187

（二）应用之例189

（三）推广——加权几何平均值191

习题五196

（一）集合的上、下界198

第六章　极限存在的判定198

§1　确界和确界定理198

（二）确界概念199

（三）实数的统一形式200

（四）确界定理200

§2　单调有界数列必有极限202

§3 求极限的另一方法203

§4 区间套定理210

（一）区间套211

（二）区间套定理211

§5　收敛的充要条件——柯西准则212

（一）收敛的必要条件213

（二）收敛的充分条件214

（三）收敛的充要条件217

（四）应用217

习题六219

第七章 e的引入及其性质221

§1 e的引入221

（一）复利的计算221

（二）稀释问题222

§2　e的定义223

（一）｛（1＋？）n｝的递增性224

（二）｛（1＋？）n｝的有界性226

（三）e的定义227

§3 e的级数表达式228

（一）级数的概念228

（二）e的级数形式229

（三）余项的估值230

（四）e是无理数231

（五）e的近似计算232

§4　自然对数235

（一）以e为底的对数函数235

（二）对数lnn的估值236

（三）欧拉常数238

（四）ln2的近似计算239

习题七241

第八章　级数243

§1　级数与数列243

§2　级数的基本性质244

（一）改变前有限个项并不影响收敛性244

（二）各项乘同一常数不影响收敛性245

（三）收敛级数可以逐项相加（减）245

（四）收敛级数具有结合性246

（六）级数收敛的充要条件247

（五）级数收敛的必要条件247

§3　正项级数248

（一）收敛的充要条件248

（二）比较判别法则251

（三）柯西判别法256

（四）达朗贝尔判别法260

（五）达朗贝尔与柯西判别法的比较262

（六）正项级数的可交换性265

§4　交错级数266

（一）收敛的判别法266

（二）收敛级数的余式268

（三）交错级数之例269

§5　绝对收敛与级数的可交换性272

（一）在级数中交换次序所产生的问题272

（二）绝对收敛274

（三）绝对收敛级数的分解275

（四）绝对收敛的级数是可交换的277

（五）非绝对收敛的级数不具有可换性278

习题八282

第九章　极限的推广289

§1　度量空间289

（一）距离的性质289

（二）度量空间的定义290

（三）度量空间之例291

（四）有界性299

§2　度量空间内的极限概念299

（一）极限的定义299

（二）性质300

§3　极限的进一步推广302

（一）极限与邻域302

（二）拓扑空间303

（三）极限的定义305

附录Ⅰ 石瓦兹（H．A．Schwarz）之例307

附录Ⅱ 三个平均值之间的大小关系311