《数学分析 上》

第一章 函数1

1.1 实数概述1

一 有理数和无理数1

二 实数的几何表示3

三 绝对值和绝对值不等式4

四 区间5

1.2 函数概念8

一 函数定义8

二 函数概念的进一步说明9

三 函数表示法10

1.3 几种特殊的函数13

一、有界函数13

二 单调函数15

三 奇函数与偶函数16

四 周期函数17

1.4 函数的运算21

一 函数的四则运算21

二 复合函数22

三 反函数、多值函数24

1.5 初等函数29

一 基本初等函数29

二 初等函数30

三 双曲函数30

第二章 极限32

2.1 数列极限32

一 数列的概念32

二 数列的极限35

三 证明数列极限的方法与例题33

2.2 收敛数列的性质44

一 收敛数列的性质44

二 极限的四则运算48

2.3 单调有界法则54

一 上、下确界与确界存在公理54

二 单调有界数列的极限56

2.4 数列柯西收敛准则61

一 闭区间套定理与有界数列的收敛子数列61

二 数列柯西收敛准则65

2.5 函数极限70

一 当x→∞时，函数f（x）的极限70

二 当x→a时，函数f（x）的极限74

三 证明函数极限的方法与例题79

2.6 函数极限定理87

一 函数极限的性质87

二 函数极限与数列极限的关系90

三 函数极限存在的法则92

2.7 两个重要极限95

一 第一个重要极限：limx→0sinx/x=195

二 第二个重要极限：lim(1+1/x)x=e97

2.8 无穷小量与无穷大量·阶的比较100

一 无穷小量100

二 无穷小量阶的比较102

三 无穷大量106

第三章 函数的连续性111

3.1 连续性概念111

一 函数在一点的连续性111

二 函数在区间上的连续性115

三 间断点及其分类115

3.2 闭区间上连续函数的性质120

一 有限复盖定理与聚点定理120

二 闭区间上连续函数的基本性质128

3.3 初等函数的连续性133

一 连续函数的性质和四则运算133

二 初等函数的连续性136

3.4 函数的一致连续性139

一 一致连续性概念139

二 一致连续性定理142

第四章 导数与微分149

4.1 导数概念149

一 问题的提出149

二 导数的定义152

三 单侧导数155

四 导函数157

五 导数的几何意义160

4.2 求导法则及导数公式162

一 导数的四则运算162

二 反函数的导数166

三 复合函数的导数168

四 初等函数的导数174

4.3 隐函数与参数方程求导法则179

一 隐函数求导法则180

二 参数方程求导法则182

4.4 微分186

一 微分概念186

二 微分的运算法则和公式189

三 近似计算与误差估计193

4.5 高阶导数与高阶微分197

一 高阶导数197

二 高阶微分205

第五章 微分学基本定理及其应用205

5.1 中值定理209

一 费尔马定理209

二 中值定理211

5.2 洛必达法则222

一 0/0型不定式223

二 ∞/∞型不定式226

三 其他类型的不定式230

5.3 泰勒公式235

一 泰勒公式235

二 泰勒公式的余项238

三 常用的几个展开式241

5.4 函数的单调性与极值246

一 函数的单调性246

二 函数的极值252

三 函数的最大值与最小值258

5.5 函数的图象263

一 曲线的凹凸性264

二 曲线的渐近线269

三 函数图象的讨论273

附录 希腊字母表281

习题及总练习题答案283