《线性与非线性导论》

第一章引论与基本方程1

§1 引论1

目 录1

§2 流体动力学基本方程5

第二章一维流体中的波动7

§1 引言7

§2 波动方程7

§3 波动方程的解8

§4 简单波11

§5 Burgers方程19

§6 特征线解法28

§1 引言33

第三章线性与非线性水波33

§2 水波的基本方程34

§3 界面条件35

§4 线性水波41

§5 群速度与波的能量传递45

§6 弱非线性波49

§7 浅水非线性波的近似方程54

§8 Airy理论与Boussinesq理论60

§9 Boussinesq方程的行波解61

§10 Boussinesq方程的椭圆余弦波（cnoida？ waves）64

解64

§11 Kdv方程69

§12任意深度的线性水波的调制问题70

§13深水非线性波问题的渐近解77

§14 深水非线性波的调制问题87

第四章界面波92

§1 引言92

§2 线性界面波92

§3 流动介质中的界面波96

§4 具有传热传质的界面波的线性稳定性100

§5 具有传热传质的界面波的非线性稳定性105

第五章分层流体中的波动115

§1 引言115

§2 基本方程116

§3 分层流的一些性质120

§4 二维小振幅波的基本方程与定解条件124

§5 波的稳定性条件、波参数关系128

§6 小振幅大气背风波130

§7 变深度水池、水槽中的内波133

§8 二维不可压缩分层流的基本方程140

§9 有限振幅大气背风波143

§10二维、定常、可压缩分层流的基本方程146

§11摄动解148

第六章旋转流体中的线性与非线性波151

§1 引言151

§2 基本方程152

§3 旋转流体中的Rossby波157

§4 旋转、分层流体中的Rossbv波162

§5 旋转、分层流体中的内波167

§6 有限区域中的内波169

§7 可变N（z）的影响172

§8 纬向切变气流中的Rossby孤波175

§9 纬向基本气流与波的非线性相互作用182

§10赤道地区大气波动问题的准确解191

第七章KdV方程与孤波199

§1 引言199

§2 KdV方程的行波解202

§3 KdV方程的叠加解206

§4 孤波的相互作用210

§5 KdV方程的守恒律214

§6 Miura变换……………………………………………………（218)第八章逆散射方法（Invers Scattering method）222

§1 引言222

§2 KdV方程与Schrōdinger方程的关系223

§3 散射量随时间的演变关系225

§4 Gelfand-Levitan积分方程228

§5 KdV方程的解与Gelfand-Levitan积分方程的解的234

关系234

§6 KdV方程与孤立子236

§7 KdV方程的解的综述245

§8散射特征值问题与非线性演化方程的一般性关247

系247

§9 特征问题方程组的逆散射问题251

§10 逆散射方法解非线性Schrǒdinger方程和Sin-Gordon方程255

§11孤立子型热源问题265

第九章逆散射方法的推广与B？cklund变换274

§1 引言274

§2 GGKM用逆散射方法解KdV方程的基本条件275

§3 Lax方法275

§4 换位算子的性质276

§5 Lax方程中换位算子的选取277

§6 AKNS方法279

§7 B？cklund变换的定义283

§8 B？cklund变换的作用283

§9 B？cklund变换与逆散射方法的关系287

§10KdV方程与B？cklund变换289

§11互换原理292

§12 一类双曲型方程的B？cklund变换的求法294

第十章非线性色散与渐近解法300

§1 引言300

§2 伸缩参数法300

§3 多重尺度法308

§4 平均法317

§5 拉格朗日函数平均法321

§6 流体力学的变分原理325

§7 拉格朗日函数平均法与非线性水波问题331

§8 周期波列的线性与非线性调制333

§9 拉格朗日函数平均法的合理性341

参考文献345