《表1 周期倍化分岔点：一类弹性碰撞振动系统周期倍化分岔预测及其神经网络控制》

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《一类弹性碰撞振动系统周期倍化分岔预测及其神经网络控制》

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图3（a）和（b）为在σpPoincaré截面上物块的速度随激励频率ω和间隙δ变化的周期倍化分岔序列图及Lyapunov指数谱图，即在图2中沿ω=2.6及δ=0.1两条虚线变化时的分岔图和Lyapunov指数谱图。随着ω和δ的分别增加，q=1/1周期运动经历倍化分岔序列，演变为q=2/2，q=4/4，q=8/8，…周期运动直至混沌。随后混沌吸引子与其吸引域边界发生边界激变，造成混沌运动的消失，系统演变为q=2/3周期运动。根据Lyapunov指数判据:当系统所有Lyapunov指数λi<0，则系统渐进稳定；当最大Lyapunov指数λ1=0，其他λi<0，则系统发生分岔；若至少有一个λi>0，则系统进入混沌运动状态。图中PDi（i=1，2，…）表示周期倍化分岔点，CPi（i=1，2，…）表示Lyapunov指数突变点。各点具体数值如表1和2所示。