《高等数学引论 第2卷 第1分册》

第一章 复数平面上的几何1

1. 复数平面1

2. 复平面上的几何学2

3. 线性变形(M?bius变形)4

4. 群与分群5

5. Neumann球7

6. 交比8

7. 圆对10

8. 圆串(Pencil)11

9. 圆族(Bundle)12

10. Hermitian方阵14

11. 变形分类17

12. 广义线性群19

13. 射影几何的基本定理21

第二章 非欧几何学22

1. 欧几里得几何学(抛物几何学)22

2. 球面几何学(椭圆几何学)23

3. 椭圆几何的一些性质25

4. 双曲几何(Лοбачевский几何)25

5. 距离26

6. 三角形29

7. 平行公理30

8. 非欧运动分类31

2. 保角变换(或称共形映照)32

1. 复变函数32

第三章 解析函数、调和函数的定义及例子32

3. Cauchy-Riemann方程35

4. 解析函数38

5. 幂函数40

6. Жуковский函数41

7. 对数函数42

8. 三角函数43

9. 一般的幂函数45

10. 保解变换的基本定理45

第四章 调和函数47

1. 中值定理47

2. Poisson公式48

3. 奇异积分51

4. Dirichlet问题52

5. 上半平面的Dirichler问题52

6. 调和函数的展开式54

7. Neumann问题55

8. 最大值最小值原理57

9. 调和函数贯58

10. Schwarz引理58

11. Liouville定理60

12. 保角变换的唯一性61

13. 映进映照61

14. 单连通域的Dirichlet问题62

15. 单连通域的Cauchy公式63

1. 收敛65

第五章 点集论与拓扑学中的若干预备知识65

2. 紧致点集66

3. Cantor-Hilbert对角线法66

4. 点集的类别67

5. 映照或变形68

6. 一致连续68

7. 拓扑映照70

8. 曲线70

9. 连通性71

10. Jordan定理的特例72

11. 连通数74

1. 解析函数的定义76

第六章 解析函数76

2. 一些几何概念77

3. Cauchy定理78

4. 解析函数的微商81

5. Taylor级数83

6. Weierstrass重级数定理84

7. 由积分定义解析函数87

8. Laurent级数88

9. 零点，极点90

10. 孤立奇点92

11. 无穷远点的解析性94

12. Cauchy不等式95

13. 解析拓展96

14. 多值函数98

15. 奇点的位置99

第七章 留数及其应用于定积分的计算102

1. 留数102

2. 有理函数沿圆周的积分102

3. 由-∞到+∞的某种积分104

4. 某些包有正弦余弦的积分105

5. 积分?xa-1?(x)dx107

6. Г函数109

7. Cauchy主值111

8. 与动量问题有关的积分112

9. 极点与零点的个数112

10. 代数方程的根114

11. 级数求和115

12. 常系数线性微分方程116

13. Bürmann,Lagrange公式117

14. Poisson-Jensen公式119

第八章 最大模原理与函数族121

1. 最大模原理121

2. Phragmen-Lindel?f定理122

3. Hadamard三圆定理123

4. 关于│f(z)│均值的Hardy定理123

5. 引理124

6. 一般均值定理125

7. (lp(r))?126

8. Vitali定理127

9. 囿函数族129

10. 正规族130

1. 定义132

第九章 整函数与亚纯函数132

2. Weierstrass分解定理133

3. 整函数的阶134

4. Hadamard分解定理136

5. Mittag-Leffler定理137

6. ctg z与sin z的表示式138

7. Γ函数141

8. ζ函数144

9. 函数方程145

10. 球面收敛147

11. 亚纯函数的正规族148

1. 重要内容概要151

第十章 保角变换151

2. 单叶函数152

3. Taylor级数求逆153

4. 域的映象155

5. 单叶函数贯155

6. 边界与内部156

7. Riemann映照定理157

8. 第二系数的估计159

9. 推论160

10. Koebe之歪扭定理162

11. Littlewood的估计163

12. 星形区164

13. 实系数166

14. 把三角形变成上半平面167

15. Schwarz反射原理169

16. 把四边形变为上半平面170

17. Schwarz-Christoffel法--把多边形变为上半平面172

18. 续174

19. 补充176

第十一章 求和法178

1. Cesáro求和法178

2. Hōlder求和法180

3. 与均值有关的两条引理181

4. (C,k)与(H,k)等价性的证明183

5. (C,a)求和185

6. Abel求和法186

7. 一般求和法简介187

8. Borel求和法188

9. Hardy-Littlewood定理191

10. Tauber定理193

11. 在收敛圆圆周上的渐近性质195

12. Hardy-Littlewood定理196

13. Littlewood的Tauber定理200

14. 解析性与收敛性202

15. Borel多角形205

第十二章 适合各种边界条件的调和函数208

1. 引言208

2. Poisson方程209

3. 双调和方程212

4. 单位圆的双调和方程213

5. Cauchy型积分的背景214

6. Cauchy型积分216

7. Cохоцкий公式217

8. Hilbert-Привалов问题220

9. 续222

10. Riemann-Hilbert问题223

11. 混合边界值问题解答的唯一性224

12. KeлдъIш-Ceдoв公式226

13. 其他域的KeлдъIш-Ceдoв公式228

14. 一个混合型偏微分方程230

1. 模233

第十三章 Weierstrass的椭圆函数论233

2. 周期函数234

3. 周期整函数的展开式235

4. 基域236

5. 椭圆函数的一般性质236

6. 代数相关性238

7. 椭圆函数的两种理论239

8. Weierstrassζ函数239

9. r(z)与r′(z)的代数关系241

10. 函数ζ(z)242

11. б(z)函数243

12. 椭圆函数的一般表达式244

13. 加法公式246

14. 椭圆函数的积分247

15. 代数函数域248

16. 反问题249

17. 模变换250

18. 基域252

19. 基域纲255

20. 模群三构造256

21. 模函数的定义和性质257

22. J(τ)259

23. 方程g2(w,w′)=a,g3(w,w′)=b的求解261

24. 任一模函数是J(τ)的有理函数261

第十四章 Jacobi的椭圆函数265

1. ?函数265

2. ?函数的零点与无穷乘积的表达式267

3. G=?(1-q2n)268

4. 用?函数表椭圆函数271

5. 诸?函数的平方的关系式273

6. 和差公式274

7. ?函数的商所适合的微分方程276

8. Jacobi的椭圆函数277

9. 周期性278

10. 解析性质279

11. Weierstrass函数与Jacobi函数之间的关系280

12. 加法公式281

13. 把K,K′表为k,k′的函数281

14. Jacobi椭圆函数的一些表达式283

15. 附记284