《高等数学常见题型分析》求取 ⇩

前言页1

第一章函数与极限1

题型一 函数的概念性质1

（一）求函数的表达式1

（二）求函数的定义域2

（二）求函数的值域3

（四）函数的性质4

（一）经过变形求数列的极限6

题型二 求数列的极限6

（二）利用极限存在准则求极限8

题型三 求未定式的极限10

（一）o／o型的极极限010 （二）∞/∞型的极限11

（三）∞—∞型的极限011 （四）o．∞型的极限13

（五）■，■，■三类极限14

题型四 极限存在性的讨论15

题型五 极限式中常数的确定17

题型六 函数的连续性18

（一）连续性的判断018 （二）间断点及其类型的判定19

（三）闭区间上连续函数的命题的证明20

第二章导数与微分23

题型一 按定义求导数23

（一）求函数在一点处的导数023 （二）判断函数是否可导24

（三）分段函数在分点处的导数25

题型二 按公式求导数28

（一）利用基本初等函数及和、差、积、商的求导公式计算导数28

（二）复合函数求导数029 （三）利用对数求导法求导数30

（四）隐函数及反函数求导032 （五）参数方程所确定的函数求导数33

题型三 求高阶导数34

（六）变上限积分求导数34

题型四 求微分36

题型五 相关变化率37

第三章中值定理与导数的应用39

题型一 中值问题39

（一）验证中值定理039 （二）用中值定理证明等式41

（三）用中值定理证明不等式044 （四）用中值定理判定方程根的情况48

（五）用泰勒中值定理求极限50

题型二 按罗比达法则求极限51

（一）“o／o”型051 （二）“∞／∞”型053 （三）“0·∞”型、“∞—∞”型54

（四）“■”型，“■”型，“∞■”型56

题型三：求函数的单调区间与极值58

（一）求函数的单调区间058（二）求函数的极值59

（三）求函数的最大值和最小值61

题型四 求函数的拐点与凹凸区间64

题型五 作函数的图形66

第四章不定积分70

题型一 运用基本积分公式积分70

题型二 运用第一换元法（凑微分法）积分71

题型三 运用第二换元法（变量置换法）积分77

（一）∫R（■－■）dx型（丨x丨≤a）077（二）∫R（■＋■）型080（三）∫R（■－■）dx型82

（四）∫R（■＋■）dx型082（五）∫R（x，■，■）dx型083（六）其它84

题型四 运用分部积分法积分86

（一）∫■（x）■dx、∫■（x）sin mxdx、∫■（x）cosmxdx型86

（二）∫■（x）In xdx、∫■（x）arcsin xdx∫■（x）arctgxdx型89

（三）∫■sin βxdx，∫■cos βxdx型092（四）其它94

题型五 分式有理函数的积分96

题型六 三角有理式的积分98

（一）利用三角函数积化和差公式098（二）利用倍角半角公式099（三）利用万能公式099（四）其它101

题型一 定积分的性质103

第五章定积分103

（一）比较大小103（二）估值104（三）函数的均值106

（四）求函数106

题型二 定积分的计算107

（一）使用微积分基本公式107（二）利用换元法计算108

（三）利用分部积分法计算113（四）利用递推公式115

（五）利用函数的奇偶性116（六）利用定积分的定义117

题型三 有关的证明119

题型四 广义积分122

（一）无限区间上的积分122（二）无界函数的广义积分123

题型五 积分上限的函数124

（一）求函数f（x）124（二）求导数125（三）求极限127

（四）求极值129

第六章定积分的应用130

题型一 求平面图形的面积130

题型二 求曲线的长度132

题型三 求体积133

（一）求旋转体的体积133（二）求平行截面面积为已知的立体体积138

题型四 求变力所作的功139

题型五 求水压力140

题型六 求引力141

题型七 求函数的平均值142

第七章空间解析几何与向量代数143

题型一 向量的运算143

（一）向量的运算143（二）用向量运算解有关的几何问题146

题型二 曲面方程147

（一）按条件求曲面方程147（二）由方程判别曲面形状149

题型三 空间曲线的方程150

题型四 求平面方程153

题型五 求空间直线方程155

题型六 求夹角与距离157

（一）求夹角157（二）求距离158

题型七 综合题160

第八章多元函数微分法及其应用163

题型一 多元函数极限的判定与计算163

（一）判定二元函数的极限是否存在163（二）利用函数的连续性与极限四则运算性质计算极限164

（三）转化为一元函数的极限问题165（四）利用夹逼法则求极限166

题型二 求函数的偏导数167

（一）对具体的函数求偏导数167（二）对抽象的复合函数求偏导数169（三）对隐函数求偏导数170

题型三 微分法在几何上的应用175

（一）求空间曲线的切线与法平面175（二）求曲面的切平面与法线177

题型四 求函数的方向导数与梯度179

题型五 求多元函数的极值及应用181

（一）求多元函数的无条件极值181

（二）求最大（小）值的应用题182

第九章重积分185

题型一 二重积分性质的应用185

（一）利用性质进行证明185（二）利用性质估值186

（三）交换积分次序后计算192（四）交换坐标系后计算193 （五）变量替换（194）（六）利用对称性计算（196）（七）被积188

题型二 二重积分的计算188

（一）按一般步骤计算188（二）将区域分片后计算191

函数为绝对值的情况199

题型三 三重积分的计算200

（一）利用直角坐标系计算200（二）利用柱坐标系计算203

（三）利用球坐标系计算203

题型四 重积分的应用206

（一）求平面图形的面积206（二）求曲面的面积206

（二）求几何体的体积207（四）求物体的质量208

（五）求物体的重心209（六）求转动惯量210

（七）求引力211

第十章曲线积分与曲面积分213

题型一 曲线积分213

（一）对弧长的曲线积分213（二）对坐标的曲线积分213

题型二 格林公式及其推论217

（一）直接用格林公式217（二）积分与路径无关的条件220

（三）二元函数的全微分求积222

题型三 曲面积分224

（一）对面积的曲面积分224（二）对坐标的曲面积分及高斯公式）230

题型四 流量 散度 斯托克斯公式及旋度235

第十一章无穷级数238

题型一 常数项级数收敛性的判定238

（一）正项级数的比较审敛法及其极限形式238（二）正项级数的比值审敛法241

（三）正项级数的根值审敛法243（四）按级数收敛的必要条件判定243

（五）按级数收敛的定义判定244（六）交错级数收敛性及级数的绝对收敛和条件收敛性的判定245

题型二 求一般函数项级数的收敛域249

题型三 求幂级数的收敛半径与收敛区间250

（一）一般情形（■≠0）时幂级数的收敛半径与收敛式间250

（二）缺偶次（或奇次）幂项时幂级数收敛半径与收敛区间254

题型四 求幂级数的和函数255

题型五 求函数的幂级数展开式259

（一）直接展开法259（二）间接展开法259

题型六 傅立叶级数264

（一）将周期为2л的函数展开成傅立叶级数264（二）将函数展开成正弦级数或余弦级数267

（三）将周期为21的函数展开成傅立叶级数270（四）求函数的傅立叶级数的和函数271

第十二章微分方程273

题型一 一阶微分方程的求解273

（一）可分离变量的微分方程273（二）齐次方程275

（三）一阶线性微分方程276（四）全微分方程278

题型二 可降阶的高阶微分方程的求解279

（一）■＝f（x）279（二）■＝（x，■）280

（三）■＝ f（y，■）281

题型三 二阶常系数齐次方程的求解282

（一）二阶常系数齐次线性微分方程282（二）二阶常系数非齐次线性微分方程282（二）线性方程解的构造285

题型四 微分方程的幂级数解法287

题型五 微分方程的应用288

（一）求函数288（二）几何问题289（三）力学问题291

（四）热传导问题295（五）微量分析法295