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第7章 微分的理论与应用1

§1 微分中值定理1

费马定理1

罗尔定理2

拉格朗日定理5

柯西定理9

§2 不定型的极限11

0/0型的洛必达法则12

*/∞型讨论14

其他不定型16

§3 泰勒展开21

拉格朗日余项23

几个初等函数的泰勒展开26

泰勒展开的几点应用30

§4 函数方程的牛顿迭代法35

§5 曲率与凸函数40

曲率40

凸函数44

§6 函数的增减与极值51

导数符号与函数的单调性51

局部极大(小)值54

函数的最大值与最小值57

函数图形60

§7 渐屈线与渐伸线65

第8章 积分的应用与计算73

§1 分部积分和换元法的应用73

沃利斯公式73

极坐标下的面积公式77

§2 有理函数的积分83

部分分式法83

§3 根式函数和三角函数的积分93

欧勒代换94

万能代换99

§4 黎曼-施蒂尔杰斯积分104

有界变差函数104

曲线弧长108

施蒂尔杰斯积分113

§5 旋转体的体积和侧面积121

旋转体的体积123

旋转体的侧面积124

重心与形心127

§6 万有引力定律131

开普勒三定律131

引力场作功135

§7 椭圆积分137

单摆周期137

椭圆周长138

§8 数值积分142

中点规则142

梯形规则143

辛普森规则144

欧勒-麦克劳林公式146

n1的初步估计154

第9章 函数项级数158

§1 函数项级数的一致收敛性158

收敛性158

函数项级数与函数序列159

一致收敛性160

§2 一致收敛性判别法170

韦尔斯特拉斯判别法170

阿贝尔判别法171

狄利克雷判别法172

和函数的连续性175

§3 一致收敛级数的基本性质175

狄尼定理176

逐项积分179

逐项微分180

点点不可微的连续函数181

§4 幂级数184

收敛半径，柯西-阿达玛定理185

幂级数的基本性质，无限次可微性189

§5 函数的幂级数展开196

泰勒级数196

余项的积分形式198

初等函数的展开200

§6 连续函数的多项式逼近209

伯恩斯坦多项式209

韦尔斯特拉斯一致逼近定理211

三角级数214

第10章 傅里叶级数214

§1 傅里叶系数214

三角函数系的正交性215

欧勒-傅里叶公式216

§2 一致逼近与均方逼近219

韦尔斯特拉斯一致逼近定理219

平方平均偏差223

§3 傅里叶级数的收敛性226

狄利克雷积分226

黎曼引理228

狄尼定理，利普希茨判别法234

狄利克雷引理，狄利克雷-约当判别法236

§4 函数的傅里叶级数展开240

周期为2π的函数240

周期为T的函数245

逐项积分248

§5 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分248

傅里叶系数的一个必要条件252

逐项微分252

§6 傅里叶积分254

傅里叶级数的复数形式255

傅里叶变换与逆变换258

傅里叶变换的几点性质，卷积261

第11章 欧几里得空间264

§1 n维空间264

距离265

内积，范数266

§2 点集拓扑的基本概念268

邻域，极限268

开集与闭集270

区域274

嵌套矩形定理275

§3 R2的几个基本定理275

有界点集276

波尔查诺-韦尔斯特拉斯定理277

紧集278

海涅-波莱尔定理279

柯西收敛准则281

§4 多元函数282

二元函数的概念282

二元函数的极限284

二元函数的连续性288

紧集上连续函数的性质290

二重极限与二次极限295

§5 向量值函数301

向量值函数的概念301

向量值函数的极限303

连续映射304