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第三篇 级数论1

第一部分 数项级数和广义积分1

第九章数项级数1

1．预备知识：上极限和下极限1

习题4

2．级数的收敛性及其基本性质5

习题11

3．正项级数12

习题19

4．任意项级数20

一、绝对收敛级数20

二、交错级数22

三、阿贝尔（Abel）判别法和狄立克莱判别法24

习题29

5．绝对收敛级数和条件收敛级数的性质30

习题37

6．无穷乘积37

习题43

第十章广义积分44

1．无穷限的广义积分44

一、无穷限广义积分的概念44

二、无穷限广义积分和数项级数的关系48

三、无穷限广义积分的收敛性判别法49

四、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法51

习题55

2．无界函数的广义积分57

一、无界函数广义积分的概念，柯西判别法57

二、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法60

习题61

第二部分 函数项级数63

第十一章函数项级数、幂级数63

1．函数项级数的一致收敛63

一、函数项级数的概念63

二、一致收敛的定义64

三、一致收敛级数的性质69

四、一致收敛级数的判别法72

习题76

2．幂级数78

一、收敛半径78

二、幂级数的性质81

三、函数的幂级数展开83

习题90

3．逼近定理91

第十二章富里埃级数和富里埃变换95

1．富里埃级数95

一、富里埃级数的引进95

二、三角函数系的正交性95

三、富里埃系数97

四、狄立克莱积分98

五、黎曼引理100

六、狄尼（Dini）判别法及其推论104

七、狄立克莱-约当判别法106

八、富里埃级数的一致收敛性108

九、函数的富里埃级数展开108

十、周期为T的函数的展开112

十一、富里埃级数的复数形式114

十二、富里埃级数的逐项求积和逐项求导115

习题118

2．富里埃变换121

一、富里埃变换的概念121

二、富里埃变换的一些性质125

习题126

第四篇 多变量微积分学127

第一部分 多元函数的极限论127

第十三章多元函数的极限与连续127

1．平面点集127

一、邻域、点列的极限127

二、开集、闭集、区域128

三、平面点集的几个基本定理130

习题132

2．多元函数的极限和连续性132

一、多元函数的概念132

二、二元函数的极限134

三、二元函数的连续性136

四、有界闭区域上连续函数的性质138

五、二重极限和二次极限139

习题142

第二部分 多变量微分学144

第十四章偏导数和全微分144

1．偏导数和全微分的概念144

一、偏导数的定义144

二、全微分的定义147

三、高阶偏导数与高阶全微分150

习题153

2．求复合函数偏导数的链式法则154

习题160

3．由方程（组）所确定的函数的求导法161

一、一个方程F（x，y，z）=0的情形161

二、方程组的情形163

习题167

4．空间曲线的切线与法平面169

习题173

5．曲面的切平面与法线173

习题176

6．方向导数和梯度177

一、方向导数177

二、梯度179

习题183

7．泰勒公式183

习题185

第十五章极值和条件极值186

1．极值和最小二乘法186

一、极值186

二、最小二乘法192

习题195

2．条件极值196

习题203

第十六章隐函数存在定理、函数相关205

1．隐函数存在定理205

一、F（x，y）=0情形205

二、多变量及方程组情形210

习题214

2．函数行列式的性质、函数相关216

一、函数行列式的性质216

二、函数相关218

习题224

第三部分 含参变量的积分和广义积分225

第十七章含参变量的积分225

习题231

第十八章含参变量的广义积分233

一、一致收敛的定义233

二、一致收敛积分的判别法234

三、一致收敛积分的性质235

四、欧拉（Euler）积分239

五、阿贝尔判别法、狄立克莱判别法240

习题244

第四部分 多变量积分学246

第十九章积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质246

1．二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念246

2．积分的性质251

习题253

第二十章重积分的计算及应用254

1．二重积分的计算254

一、化二重积分为二次积分254

二、用极坐标计算二重积分261

三、二重积分的一般变量替换264

习题272

2．三重积分的计算275

一、化三重积分为三次积分275

二、三重积分的变量替换279

习题285

3．积分在物理上的应用286

一、质心286

二、矩288

三、引力290

习题291

4．广义重积分292

习题294

第二十一章曲线积分和曲面积分的计算296

1．第一类曲线积分的计算296

习题299

2．第一类曲面积分的计算300

一、曲面的面积300

二、化第一类曲面积分为二重积分304

习题309

3．第二类曲线积分309

一、变力作功与第二类曲线积分的定义309

二、第二类曲线积分的计算314

三、两类曲线积分的联系319

习题321

4．第二类曲面积分322

一、曲面的侧的概念322

二、第二类曲面积分的定义325

三、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算327

习题334

第二十二章各种积分间的联系和场论初步335

1．各种积分间的联系335

一、格林（Green）公式335

二、高斯（Gauss）公式338

三、斯托克司（Stokes）公式342

习题346

2．曲线积分和路径的无关性349

习题355

3．场论初步356

一、场的概念356

二、向量场的散度与旋度358

三、保守场368

四、算子▽370

习题372

附录向量值函数的导数374

索引383