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第一章 引言1

第二章对称性和量子数3

2.1 对称性和原子的量子数3

2.2 对称性的等级关系5

第三章由正则矩阵构成的群7

3.1 群的公设7

3.2 正则矩阵群8

3.3 一些特殊矩阵的性质10

3.4 连续矩阵群10

3.5 矩阵的指数函数14

第四章李群的局部性质17

4.1 群元素的参数化17

4.2 连通性17

4.3 李群的定义18

4.4 无穷小群生成元19

4.5 二维转动群SO（2）21

4.6 无穷小转动23

4.7 一般变换23

4.8 李群的无穷小算子25

4.9 无穷小算子的一些实例27

4.10 李群的构造常数30

4.11 有限群元的生成33

4.12 有限变换37

第五章李群和李代数40

5.1 李代数40

5.2 基底的变换41

5.3 同态和同构42

5.4 自同构和自同态43

5.5 李代数和子代数43

5.6 理想和真理想44

5.8 实李代数的复扩充45

5.7 李代数的伴随表示45

5.9 单纯李代数和半单纯李代数46

5.10 基林形式和半单纯李代数的嘉当判别准则46

5.11 实例：SO（4）48

5.12 实例：E250

5.13 李代数的导出代数50

5.14 可解李代数51

5.15 幂零李代数52

5.16 直和与半直和52

5.17 反对称张量53

5.18 卡塞米尔算子54

5.19 卡塞米尔算子的推广55

5.20 紧李代数和非紧李代数55

5.21 李群和李代数56

6.2 半单纯李代数的标准形式58

6.1 引言58

第六章根向量和典型李代数58

6.3 根的一些性质59

6.4 根的对称性质60

6.5 求得标准形式61

6.6 关于根的另一些定理62

6.7 嘉当-外尔规范化65

6.8 根向量的图形表示66

6.9 2秩李代数68

6.10 秩l＞2的李代数70

6.11 例外李代数72

第七章单纯根和邓金图74

7.1 单纯根74

7.2 实例：B2和B376

7.3 邓金图77

7.5 嘉当矩阵的一些例子78

7.4 嘉当矩阵78

7.6 嘉当矩阵列举各根81

7.7 应用：G2代数81

7.8 若干单纯李代数的构成85

第八章舍瓦累基底88

8.1 互补权和舍瓦累基底88

8.2 舍瓦累基底中的位相89

8.3 su（3）代数中的舍瓦累基底91

第九章李群和李代数的表示93

9.1 群的表示93

9.2 实表示和复表示94

9.3 逆步表示95

9.4 伴随表示95

9.5 酉表示和非酉表示96

10.1 权和权空间98

第十章权和既约表示的标记98

10.2 关于权的一些定理100

10.3 外尔反射群101

10.4 权和既约表示的分类102

10.5 计算权的完全集合103

10.6 计算权的一些实例107

第十一章克罗内克乘积110

11.1 定义110

11.2 表示的克罗内克乘积111

11.3 克罗内克乘积的权空间111

11.4 克罗内克乘积的约化112

第十二章表示，权，标记方法114

12.1 基本表示114

12.2 克罗内克乘幂115

12.3 初等表示117

12.4 初等表示的权119

12.5 群Bn和Dn的旋量表示122

12.6 既约表示的标记124

12.7 记号问题127

第十三章例外群129

13.1 例外群的基本表示129

13.2 例外群表示的标记131

第十四章既约表示的维数135

14.1 基本权的标积135

14.2 既约表示的维数137

第十五章卡塞米尔不变算子142

15.1 二次卡塞米尔算子的本征值142

15.2 广义卡塞米尔不变算子143

15.3 非半单纯李群的不变算子144

15.4 SO（3）和SO（2,1）的卡塞米尔算子146

16.1 拓扑邻域154

第十六章李群的一些整体性质154

16.2 拓扑空间155

16.3 拓扑空间的例子156

16.4 同胚映射157

16.5 拓扑空间的直积157

16.6 豪斯道夫空间158

16.7 度量空间159

16.8 连通空间160

16.9 紧空间161

16.10 同伦道路162

16.11 单连通和多连通空间164

16.12 基本群165

16.13 通用覆盖群166

16.14 拓扑群167

16.16 拓扑群的同构169

16.15 拓扑群的直积169

16.18 不变拓扑子群170

16.17 拓扑子群170

16.19 陪集空间及商群171

16.20 齐性空间173

16.21 流形与李群173

16.22 实单纯李群和李代数174

16.23 李群和李代数的同构179

16.24 通用覆盖群181

第十七章一些三参数李群的表示184

17.1 三参数李群184

17.2 标准形式184

17.3 卡塞米尔算子186

17.4 初等表示186

17.6 用玻色子算子来实现表示188

17.5 旋量表示的基底188

17.7 其它表示的构成190

17.8 酉表示194

17.9 L12和L±的矩阵元196

17.10 有限变换198

17.11 非紧生成元的对角化203

17.12 耦合系数203

17.13 特例SO（3）207

17.14 SO（2,1）的耦合系数209

17.15 耦合系数和解析延拓212

第十八章su（1,1）型谱生成代数216

18.1 引言216

18.2 su（1,1）的一个实现216

18.3 离散的本征值谱218

18.5 三维各向同性谐振子220

18.4 连续本征值谱220

18.6 准广的开普勒问题221

18.7 二维开普勒问题223

18.8 莫斯势225

18.9 su（1,1）的局限性226

第十九章维格纳-爱卡尔脱定理和张量算子228

19.1 引言228

19.2 一些符号229

19.3 张量算子230

19.4 SO（3）的张量算子231

19.5 半单纯李群的张量算子231

19.6 耦合系数232

19.7 耦合构成的恒等表示233

19.8 维格纳-爱卡尔脱定理236

19.10 对SO（3）的应用238

19.9 选择定则238

19.11 广义重新耦合系数240

19.12 SO（3）的重新耦合系数243

19.13 SO（4）的重新耦合系数247

19.14 拉卡因子分解引理252

19.15 同位标量因子254

19.16 伴随张量算子255

19.17 耦合系数的对称性质257

19.18 互反性和同位标量因子260

19.19 相规约261

19.20 简单的同位标量因子262

19.21 逐步计算原理263

19.22 同位标量因子的另一种计算方法274

19.23 耦合张量算子277

19.24 SO（3）的耦合张量算子279

20.2 二次量子化和谐振子282

20.1 引言282

第二十章研究专题Ⅰ：各向同性谐振子282

20.3 群U（3）和SU（3）284

20.4 转动对称性285

20.5 SU（3）的一些张量算子286

20.6 约化矩阵元289

20.7 二次卡塞米尔算子292

20.8 SU（3）中的阶梯算子293

20.9 SU（3）的另外一些张量算子293

20.10 交换关系295

20.11 谐振子的一个更大的群297

20.12 Sp（6,R）的子群298

20.13 谐振子的另一个群300

20.14 谐振子的动力学群301

20.15 群约缩和动力学群303

20.17 子群SO（2,1）×SO（3）的张量算子305

20.16 N维各向同性谐振子305

20.18 多极算子的矩阵元307

第二十一章研究专题Ⅱ：氢原子313

21.1 引言313

21.2 SO（4）和氢原子的能级316

21.3 球面张量与SO（4）318

21.4 A的约化矩阵元319

21.5 SO（4）中的阶梯算子320

21.6 玻色子算子和SO（4）322

21.7 氢原子的动力学群324

21.8 卡塞米尔算子328

21.9 子群SO（4,1）329

21.10 SO（4,2）的另一些子群329

21.11 SO（4,2）的基底和氢原子331

21.12 SO（4,2）的坐标实现336

21.13 SO（4,2）的物理实现337

21.14 氢原子的倾斜态338

21.15 用膨胀算子实现SO1（2,1）×SO2（2,1）340

21.16 电偶极子算子342

21.17 伽利略速度变换347

21.18 洛仑兹速度变换349

21.19 无限分量的波动方程350

21.20 例子：氢原子355

21.21 SO（4,2）的有限维实现358

21.22 狄拉克电子理论的重新表述362

21.23 有自旋的氢原子363

21.24 共形群和SO（4,2）364

21.25 结束语366

第二十二章研究专题Ⅲ：费米子和壳层结构368

22.1 引言368

22.2 费米子壳层状态369

22.3 超群370

22.4 两个重要的子群372

22.5 一个酉子群374

22.6 张量算子及湮灭和产生算子375

22.7 耦合张量算子375

22.8 另一些子群376

22.9 i=7/2壳层的分类377

22.10 高位数380

22.11 准旋形式380

22.12 状态的准旋分类382

22.13 湮灭算子和产生算子的准旋384

22.14 算子的对称性分类385

22.15 有心力场中粒子的相互作用388

附录 休尔函数和杨氏图形395

参考文献411