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第十五章 数项级数1

1. 导引1

234. 基本概念1

235. 简单定理3

2. 正项级数的收敛性6

236. 正项级数收敛怀条件6

237. 级数比较定理8

238. 例10

239. 哥西检验法及达朗贝尔检验法12

240. 拉贝检验法15

241. 麦克洛林-哥西积分检验法18

3. 任意级数的收敛性21

242. 收敛性原理21

243. 绝对收敛性22

244. 交错级数24

4. 收敛级数的性质27

245. 可结合性27

246. 绝对收敛级数的可交换性28

247. 非绝对收敛级数的情形30

248. 级数乘法32

5. 无穷乘积36

249. 基本概念36

250. 简单定理。与级数的关系38

251. 例41

6. 初等函数的展为幂级数43

252. 戴劳级数43

253. 指数函数及主要三角函数的级数展开式46

254. 欧拉公式47

255. 反正切的展开式49

256. 对数级数50

257. 斯替尔灵公式52

258. 二项式级数54

259. 关于余项研究的一个长笺注56

7. 用级数作近似计算57

260. 问题的提出57

261.π的计算59

262. 对数的计算60

第十六章 函数序列及函数级数63

1. 均匀收敛性63

263. 导言63

264. 均匀收敛性及非均匀收敛性64

265. 均匀收敛性条件68

2. 级数和的函数性质70

266. 级数和的连续性70

267. 正项级数的情形73

268. 逐项取极限74

269. 级数的逐项积分77

270. 级数的逐项微分79

271. 无导数连续函数一例81

3. 幂级数及多项式级数83

272. 幂级数收敛区间83

273. 幂级数和的连续性87

274. 收敛区间端点上的连续性89

275. 幂级数的逐项积分91

276. 幂级数的逐项微分92

277. 幂级数作为戴劳级数94

278. 连续函数展为多项式级数95

4. 级数简史99

279. 牛顿及莱卜尼茲时期99

280. 级数理论的形式发展时期102

281. 严密理论的建立106

282. 带无限积分限的积分定义110

第十七章 非正常积分110

1. 带无限积分限的非正常积分110

283. 积分学基本公式的应用112

284. 与级数的相似性。简单定理113

285. 正函数情形的积分收敛性115

286. 一般情形的积分收敛性117

287. 更精致的检验法119

2. 无界函数的非正常积分122

288. 无界函数积分定义122

289. 积分学基本公式应用124

290. 积分收敛性条件及检验法126

3. 非正常积分的变换及计算129

291. 非正常积分的分部积分法129

292. 非正常积分中的变数替换130

293. 积分的技巧计算法132

294. 问题的提出137

295. 均匀趋于极限函数137

第十八章 带参变数的积分137

1. 基本理论137

296. 积分号下取极限140

297. 积分号下的微分法141

298. 积分号下的积分法143

299. 积分限带参变数的情形145

300. 例147

2. 积分的均匀收敛性148

301. 积分均匀收敛性定义148

302. 均匀收敛性的条件及充分检验法150

303. 带有限积分限的积分153

3. 积分均匀收敛性的应用154

304. 积分号下取极限154

305. 积人依参变数的积分法158

306. 积分依参变数的微分法160

307. 关于带有限积分限的积分的一个笺注161

308. 一些非法正常积分的计算162

4. 欧拉积分168

309. 第一类型欧拉积分168

310. 第二类型欧拉积分171

311.г-函数的简单性质172

312. 例177

313. 关于两极限运算次序对调的史话179

第十九章 隐函数·函数行列式182

1. 隐函数182

314. 一元隐函数概念182

315. 隐函数的存在及性质184

316. 多元隐函数188

317. 由方程组所定的隐函数190

318. 隐函数导数的计算194

2. 隐函数理论的一些应用199

319. 相对极值199

320. 拉格朗日不定乘数法202

321. 例及习题203

322. 函数独立性概念206

323. 函数矩阵之秩208

3. 函数行列式及其形式的性质212

324. 函数行列式212

325. 函数行列式的乘法213

326. 函数矩阵的乘法215

第二十章 线积分219

1. 第一型线积分219

327. 第一型线积分219

328. 化为寻常定积分221

329. 例223

330. 第二型线积分定义226

2. 第二型线积分226

331. 第二型线积分的存在及其计算228

332. 闭路线的情形。平面的定向法232

333. 例233

334. 两种类型线积分间的关系236

335. 在物理问题上的应用237

第二十一章 二重积分241

1. 二重积分定义及简单性质241

336. 柱体体积问题241

337. 化二重积分为累次积分242

338. 二重积分定义245

339. 二重积分存在条件246

340. 可积函数类248

341. 可积函数及二重积分的性质251

342. 积分作为可加性区域函数。对区域的微分法254

2. 二重积分的计算256

343. 化矩形区域上的二重积分为累次积分256

344. 化曲线区域上二重积分为累次积分261

345. 力学上的应用267

3. 格林公式271

346. 格林公式的推导271

347. 以线积分表出面积274

4. 线积分与积分路线无关的条件276

348. 沿简单闭界线的积分276

349. 沿连结任意两点的曲线的积分278

350. 与恰当微分问题的联系280

351. 在物理问题上的应用284

5. 二重积分的变数替换286

352. 平面区域的变换286

353. 以曲线坐标表出面积291

354. 补充说明294

355. 几何的推导法296

356. 二重积分中的变数更换299

357. 与单积分的相似。定向区域上的积分301

358. 例302

359. 史话305

第二十二章 曲面面积·面积分308

1. 双侧曲面308

360. 曲面的参变表示法308

361. 曲面之侧312

362. 曲面的定向法及其侧的选定315

363. 逐段光滑曲面的情形318

2. 曲面面积319

364. 希瓦尔茲的例319

365. 显式方程所给曲面的面积321

366. 一般情形的曲面面积323

367. 例326

3. 第一型面积分328

368. 第一型面积分定义328

369. 化为寻常二重积分329

370. 第一型面积分在力学上的应用331

4. 第二型面积分334

371. 第二型面积分定义334

372. 化为寻常二重积分337

373. 斯托克斯公式339

374. 斯托克斯积分应用于空间线积分的研究343

第二十三章 三重积分346

1. 三重积分及其计算346

375. 立体质量计算问题346

376. 三重积分及其存在条件347

377. 可积分函数及三重积分的性质348

378. 三重积分的计算350

379. 力学上的应用354

2. 奥斯脱罗格拉德斯基公式356

380. 奥斯脱罗格拉德斯基公式356

381. 奥斯脱罗格拉德斯基公式的几个应用实例358

3. 三重积分变数更换362

382. 空间区域的变换362

383. 体积表为曲线坐标364

384. 几何的推导法368

385. 三重积分的变数更换369

386. 例370

387. 史话373

4. 场论初步374

388. 数量与矢量374

389. 数量场与矢量场374

390. 沿给定方向的导数。梯度375

391. 通过曲面的矢量流量378

392. 奥斯脱罗格拉德斯基公式。发散量379

393. 矢量的循环量。斯托克斯公式。旋转量381

5. 多重积分384

394. m维体的体积与m重积分384

395. 例385

第二十四章 傅立叶级数388

1. 导言388

396. 周期量与调和分析388

397. 决定系数的欧拉-傅立叶方法391

398. 直交函数系394

2. 函数的傅立叶级数展开式396

399. 问题的提出。狄里希莱积分396

400. 基本预备定理399

401. 局部化原理401

402. 函数的傅立叶级数表示法402

403. 非周期函数的情形404

404. 任意区间的情形406

405. 只含余弦或只含正弦的展开式407

406. 例410

407. 连续函数展开为三角多项式级数416

3. 傅立叶积分418

408. 傅立叶积分作为傅立叶级数的极限情形418

409. 预备说明420

410. 用傅立叶积分表出函数422

411. 傅立叶公式的种种形式423

412. 傅立叶变换425

4. 三角函数系的封闭性与完备性428

413. 函数的平均逼近。傅立叶级数段的极值性质428

414. 三角函数系的封闭性431

415. 三角函数系的完备性436

416. 广义封闭性方程437

417. 傅立叶级数的逐项积分437

418. 几何的解释439

5. 三角级数简史444

419. 弦振动问题444

420. 达朗贝尔及欧拉的解法445

421. 戴劳及但尼尔·贝努里的解法447

422. 关于弦振动问题的争论450

423. 函数的三角展开式。系数的决定451

424. 傅立叶级数收敛性证明及其他问题453

425. 结尾语455

附录 数学分析进一步发展概况457

Ⅰ. 微分方程457

Ⅱ. 变分法458

Ⅲ. 复变函数论462

Ⅳ. 积分方程论465

Ⅴ. 实变函数论468

Ⅵ. 泛函分析472