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第一部分开始语1

1.关于数学3

1.1 数学与思维有不解之缘3

1.2 历史是最好的启发式4

1.3 数学是怎样生成和发展的5

1.4 数学的趣味性6

1.5 数学是研究模式的学问7

第二部分数学，作为锻炼思维的手段9

2.数学与思维11

2.1 逻辑思维11

2.2 形象思维17

2.3 直觉思维20

2.4 小结22

3.像数学家那样思维24

3.1 像数学家那样学习和思维24

3.2 思维方式和思维方法25

3.3 毕达哥拉斯的数学思想26

3.4 莱布尼茨的数学思想29

3.5 克莱因的数学思想32

3.6 数学家们的思路36

4.解题思路40

4.1 引言40

4.2 双轨迹模式41

4.3 笛卡儿法则44

4.4 笛卡儿模式47

4.5 教学与学习49

第三部分历史是最好的启发式51

5.数学思想史53

5.1 数学与经验53

5.2 到数学史中去探寻57

5.3 数学思想史58

5.4 数学思想史的分期59

5.5 数学史给我们的启示60

6.几何学发展的三阶段61

6.1 第一阶段：无意识的几何学61

6.2 第二阶段：科学的(或者实验的、经验的、归纳的)几何学62

6.3 第三阶段：论证的(或者实际的、有系统的)几何学65

6.4 希腊的奥秘69

6.5 “个体发育再现系统发育”法则71

7.三角学73

7.1 历史概述73

7.2 希帕克的天文学74

7.3 梅内劳斯的球面三角学75

7.4 托勒密的弦表79

7.5 托勒密之后的发展81

8.对数85

8.1 耐普尔对数85

8.2 一段趣事87

8.3 对数发明的思路88

8.4 造对数表的方法92

9.解析几何94

9.1 追本溯源94

9.2 笛卡儿95

9.3 费尔马100

9.4 简短评述102

10.微积分学104

10.1 思路和渊源104

10.2 积分概念的三个支柱105

10.3 问题引路108

10.4 近在咫尺111

10.5 牛顿和莱布尼茨的工作112

10.6 质疑120

10.7 严谨化121

11.1 渊源与序幕124

11.几何学的解放124

11.2 罗巴切夫斯基几何127

11.3 黎曼几何131

11.4 物理学与几何学132

12.代数学的解放133

12.1 四元数、向量、矩阵133

12.2 群论139

12.2 开闸之后152

第四部分数学，多么有趣153

13.数学与猜想155

13.1 猜想的重要性155

13.2 猜想的慢镜头158

13.3 哥德巴赫猜想163

13.4 四色猜想165

13.5 数学猜想是怎样发现的167

14.1 从直观证明到逻辑证明169

14.数学证明169

14.2 亚里士多德和墨子171

14.3 公理学和证明论173

14.4 提高证明能力的有效途径175

14.5 证明的功用176

14.6 反证法181

14.7 存在性证明183

14.8 不可能性证明185

15.数学游戏187

15.1 从游戏到数学游戏187

15.2 麦比乌斯带188

15.3 从142857谈起192

15.4 博弈论194

15.5 一段轶事197

16.数学问题199

16.1 科学来源于问题199

16.2 历史上的著名问题200

16.3 论数学问题203

17.数学方法207

17.1 作为方法的科学和研究科学的方法207

17.2 庖丁解牛新解208

17.3 从问题到方法209

17.4 研究数学的方法210

17.5 数学方法的本质213

17.6 探寻数学方法的方法215

18.数学怎样成为可应用的217

18.1 “渗透”与“被渗透”217

18.2 测量地球的大小219

18.3 在物理学中的应用220

18.4 在化学中的应用221

18.5 在生物学中的应用223

19.数学模型226

19.1 从模式谈起226

19.2 数学模型227

19.3 斐波纳契序列229

19.4 由运输问题引出的数学模式239

19.5 光合作用的数学模型241

第五部分结束语245

20.数学究竟是什么247

20.1 语言、思维、逻辑247

20.2 猜想与证明248

20.3 历史是最好的启发式249

20.4 数学与艺术249

20.5 数学的趣味性249

20.6 数学是研究模式的学问250

20.7 一种文化体系251

20.8 数学之树252

20.9 数学与文明252

参考书目254

后记256