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第一章复数与复变函数1

第一讲 复数的概念与运算1

1.复数的概念1

2.复数的代数运算2

3.复数的几何表示4

4.复球面7

5.复数的乘幂与方根9

思考题1-113

习题1-114

第二讲 区域与复变函数16

1.区域的概念16

2.平面曲线与连通域17

3.复变函数19

4.复变函数的极限与连续性22

思考题1-226

习题2-226

第三讲 初等函数27

2.对数函数28

1.指数函数28

3.幂函数30

4.三角函数和双曲函数32

5.反三角函数与反双曲函数34

思考题1-335

习题1-336

复习题37

第二章解析函数39

第一讲 解析函数概念39

1.复变函数的导数与微分39

2.解析函数的概念41

3.函数解析的充要条件43

4.初等函数的解析性48

思考题2-149

习题2-149

第二讲 调和函数及其应用51

1.解析函数与调和函数的关系51

2.调和函数与平面向量场54

3.调和函数的物理应用举例57

思考题2-262

习题2-262

复习题63

第三章复变函数的积分65

第一讲 复变函数的积分65

一、复变函数积分的概念65

1.复变函数积分的定义65

2.复积分存在的条件67

二、复积分的计算68

1.复积分的计算68

2.复积分的性质70

思考题3-171

习题3-172

第二讲 柯西定理与柯西公式73

一、解析函数的基本定理——柯西定理73

1.柯西—古莎定理73

2.复积分的牛顿—莱布尼兹公式74

3.复合闭路定理77

二、柯西积分公式80

1.柯西积分公式80

2.解析函数的高阶导数82

思考题3-285

习题3-285

复习题87

一、复数项级数及其敛散性89

1.复数列的极限89

第一讲 幂级数89

第四章级数89

2.复数项级数的敛散性90

二、幂级数93

1.幂级数的概念93

2.收敛圆与收敛半径94

3.收敛半径的求法96

4.幂级数的运算性质98

习题4-1100

思考题4-1100

一、泰勒级数101

第二讲 泰勒级数与罗伦级数101

二、罗伦级数106

思考题4-2113

习题4-2114

复习题115

第一讲 留数117

一、孤立奇点的概念117

第五章留数117

1.可去奇点118

2.极点118

3.本性奇点119

4.极点与零点的关系119

5.函数在无穷远点邻域的性态121

二、留数123

1.留数的定义与留数定理123

2.留数的计算125

3.无穷远点的留数128

思考题5-1131

习题5-1131

第二讲 留数的应用133

一、三种形式的定积分计算133

1.？R(cosθ，sinθ)dθ型积分133

2.？R(x)dx型积分135

3.？R(x)eiax dx型积分136

1.电场内总电荷与功的计算140

二、留数在力学上的应用举例140

2.流速场的流量与环量的计算141

3.机翼剖面的夏甫莱金升力公式141

4.茹可夫斯基升力公式142

思考题5-2142

习题5-2143

第三讲 对数留数与辐角原理144

1.对数留数144

2.辐角原理145

3.路西定理147

习题5-3148

思考题5-3148

复习题149

第六章保形映射151

第一讲 保形映射和分式线性映射概念151

一、保形映射的概念151

1.解析函数导数的几何意义151

2.保形映射的概念153

1.分式线性映射的分解154

二、分式线性映射及其性质154

2.分式线性映射的性质156

思考题6-1159

习题6-1159

第二讲 分式线性映射与初等函数的映射160

一、唯一决定分式线性映射的条件160

1.交比不变性160

2.唯一决定分式线性映射的条件161

3.分式线性映射的应用162

1.将上半平面Imz＞0映为上半平面Imw＞0的分式线性映射164

二、三个重要的分式线性映射164

2.将上半平面Imz＞0映为单位圆内部｜w｜＜1的分式线性映射165

3.将单位圆内部｜z｜＜1映为单位圆内部｜w｜＜1的分式线性映射167

三、几个初等函数构成的映射168

1.幂函数w=zn168

2.指数函数ez170

3.茹可夫斯基函数w=？(z+？)171

习题6-2173

思考题6-2173

第三讲 保形映射的几个定理176

一、几个一般性定理176

二、多角形映射公式179

习题6-3181

复习题182

总复习题184

习题答案191