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目录1

开篇　预考1

高等数学预考试题（A卷）1

高等数学预考试题（B卷）2

（3）z＝∞的留数（111）4

试题A（答卷）4

试题B（答卷）6

第一讲　求极限12

（1）用不等式“夹挤”13

（2）用求解方程的方法14

（3）利用变量变换法15

（4）利用已知极限的结果16

（5）用先取对数的方法17

（6）利用有关公式、恒等式18

（7）利用有关定理20

（9）其它23

（8）利用求等价量的方法23

一、求导数24

第二讲　导数的应用24

二、在分析中的应用28

（1）用洛必达法则求极限28

（2）利用函数的单调性讨论问题30

（3）利用中值定理解决问题30

（4）求极值32

三、在几何中的应用34

（1）作图34

（2）曲线（面）的法线和切线（面）37

（3）曲率39

四、在物理中的应用41

第三讲　求不定积分43

一、有理函数的不定积分44

（1）用换元法求无理函数的不定积分（（a）f(x)＝R(x,？)　（b）f(x)＝R(x,？)　（c）f(x)＝xm(a＋bxn)p)46

二、换元法46

（2）用换元法求超越函数的不定积分（（a）f(x)＝R(cosx,sinx) （b）其它）52

三、分部积分法54

（1）直接求法54

（2）递推型55

（3）循环型56

（4）其它（（a）？(x)为有理函数，？′(x)＝f(x) （b）？(x)为无理函数，？′(x)＝f(x)）58

四、不能表达为一个初等函数的不定积分59

（1）无理函数的情形59

（2）超越函数的情形60

第四讲 无穷级数61

（1）比较判别法61

一、正项级数收敛性的判别法61

（2）达朗贝尔判别法62

（3）柯西判别法63

（4）积分判别法67

（5）一个特殊的判别法69

（6）两个著名的级数不等式（（a）荷尔德不等式　（b）闵可夫斯基不等式）71

二、级数的一致收敛性74

（1）级数的一致收敛性概说74

（2）级数一致收敛的判别法（（a）外尔斯特拉斯判别法 （b）狄利克莱判别法）78

（3）级数一致收敛的性质与应用（（a）级数和的连续性　（b）逐项求极限　（c）逐项求积分　（d）逐项求导数）80

三、幂级数84

（1）幂级数概述（（a）基本概念 （b）收敛半径的求法）84

（2）函数按幂级数展开（（a）泰勒展开 （b）利用幂级数的代数运算进行展开 （c）利用幂级数的分析运算进行展开）87

第五讲　广义积分与含参变量积分93

一、无穷区间广义积分93

（1）与无穷级数的联系94

（2）无穷区间广义积分收敛性的判别法（（a）比较判别法 （b）柯西判别法 （c）另一个判别法）96

二、无界函数广义积分98

（1）无穷区间广义积分与无界函数广义积分的联系98

（2）无界函数广义积分的收敛性（（a）柯西判别法 （b）平方可积的性质　（c）荷尔德不等式与闵可夫斯基不等式）99

三、广义积分的求法101

四、含参变量的积分103

（1）含参变量积分一致收敛的判别法103

（2）含参变量积分的性质与应用（（a）交换极限与积分次序 （b）连续性 （c）交换积分次序 （d）交换微分与积分次序）105

五、欧拉积分108

　（2）Г-函数的性质109

（1）В-函数的性质109

第六讲　留数及其在定积分计算中的应用110

一、留数定理110

（1）留数110

（2）留数定理111

留数的计算方法（（a）在极点处的留数　（b）m阶极点的判定 （c）在本性奇点处的留数）112

二、留数定理在定积分计算中的应用115

（1）有关引理（（a）引理1　（b）引理2　（c）引理3　（d）引理4）115

（2）几种计算定积分的模型和特例（（a）？R(cosx,sinx)dx （b）？f(x)dx　（c）？F(x)comxdx,？G(x)sinmxdx （d）几个特例）118

第七讲 重积分，曲线、曲面积分的计算及应用129

（1）用直角坐标计算重积分130

一、重积分130

（2）用极坐标计算二重积分132

（3）用圆柱坐标计算三重积分136

（4）用球坐标计算三重积分139

二、第一类曲线积分140

（1）第一类曲线积分的计算（（a）？用参数来表示 （b）？用直角坐标来表示）140

（2）在几何、物理中的应用141

三、第二类曲线积分143

（1）第二类曲线积分的计算（（a）？用参数来表示 （b）？用直角坐标来表示）143

（2）在几何、物理中的应用144

四、曲线积分的两点注记146

（1）两类曲线积分的联系146

（2）曲线积分与路径无关的条件146

（1）第一类曲面积分的计算149

五、第一类曲面积分149

（2）应用150

六、第二类曲面积分152

（1）第二类曲面积分的计算152

（2）应用154

（3）两类曲面积分的联系154

七、曲线积分，曲面积分，重积分的联系155

（1）三个基本定理（（a）格林定理 （b）奥斯特洛格拉特斯基—高斯定理 （c）斯托克斯定理）155

（2）几个重要公式（（a）由格林定理可以导出的公式 （b）由奥—高定理可以导出的公式）156

第八讲　矢量分析158

一、矢量分析概说158

（1）矢量的导数158

（2）空间曲线几何学159

（3）微分算子？163

（4）微分算子公式164

二、正交曲线坐标系下的拉普拉斯算子165

（1）梯度、散度、旋度的表示式165

（2）拉普拉斯算子的表示式（（a）柱坐标系（ρ,？,z） （b）极坐标系（ρ,？） （c）球坐标系（r,θ,？） （d）椭圆—双曲柱坐标系（η,ψ,z））166

第九讲　解微分方程169

一、几种初等积分法169

（1）分离变量法（（a）可分离变量方程 （b）齐次方程 （c）可化为齐次方程的方程）169

（2）可化为一阶线性的方程（（a）一阶172

线性方程 （b）贝努里方程 （c）黎卡提方程）172

（3）恰当方程（全微分方程）（（a）恰当方程 （b）求解方法 （c）积分因子）173

（4）一阶隐式方程（（a）y＝f(x,y′)型 （b）x＝f(y,y′)型 （c）F(x,y′)＝0型 （d）F(y,y′)＝0型）178

（5）高阶方程（（a）y(n)＝f(x)型 F（b）(x,y(n))＝0型 （c）F(y(n－1),y(n))＝0型 （d）F(y(n－2),y(n))＝0型）182

（1）常系数方程（（a）若f(x)＝b0＋b1x＋ ＋bmxm （b）若f(x)＝b0eαx　（c）若f(x)＝eαx(b0cosβx＋b1sinβx) （d）若f(x)＝eαx(Pm(x)cosβx＋Qm(x)sinβx）184

二、线性常微分方程184

（2）变系数方程186

（3）幂级数解法（（a）x＝x0为方程的解析点 （b）x＝x0为方程的正则奇点）188

三、一阶微分方程组192

四、一阶偏微分方程193

（1）线性齐次方程193

（2）拟线性方程194

第十讲　富里埃级数展开196

一、正交函数族196

二、周期函数的富里埃级数展开199

（1）周期为2l的函数199

（2）偶的周期函数205

（3）奇的周期函数206

（1）在（-l,l）上定义的函数208

三、在有限区间上定义的函数展开208

（2）在（0,l）上定义的函数210

四、复数形式的富里埃级数213

五、广义富里埃级数215

（1）二阶线性常微分方程的本征值问题215

（2）本征函数族的例218

（3）按本征函数族展开的例220

第十一讲　富里埃变换与拉普拉斯变换及其应用223

一、富里埃变换223

（1）富里埃积分223

（2）富里埃变换227

（3）δ-函数229

二、富里埃变换的性质231

（1）在频谱分析中的应用233

三、富里埃变换的应用233

（2）在常微分方程中的应用235

（3）在数学物理方程中的应用237

四、拉普拉斯变换238

五、拉普拉斯变换的性质240

六、拉普拉斯变换的反演公式244

七、拉普拉斯变换的应用247

（1）在常微分方程中的应用247

（2）在数学物理方程中的应用250

第十二讲 解数学物理方程定解问题257

一、定解问题257

二、分离变量法259

（1）分离变量法的求解步骤259

（2）非齐次方程（（a）利用本征函数族展开 （b）利用积分形式转化）266

（3）非齐次边界条件的处理274

（4）高维的情形（（a）拉普拉斯方程　（b）波动方程及热传导方程）275

三、达朗贝尔解法276

（1）无限长弦的自由振动问题281

（2）行波282

（3）半无限长弦的自由振动问题283

（4）有界弦的振动问题287

四、格林函数解法290

（1）非齐次波动方程与热传导方程290

（2）拉普拉斯方程与泊松方程（（a）基本积分公式 （b）泊松方程与拉普拉斯方程第一边值问题的求解公式 （c）格林函数的求法）294

一、保角变换308

（1）拉普拉斯算符308

第十三讲　保角变换及其应用308

（3）几种常见的保角变换（（a）线性变换　（b）分式线性变换　（c）幂函数变换 （d）根式函数变换 （e）指数函数变换　（f）对数函数变换）312

（2）解析函数变换的保角性316

（4）许瓦兹——克利斯多菲变换319

二、举例与应用320

（1）举例320

（2）应用325

第十四讲　特殊函数331

一、勒让德方程及其应用332

（1）勒让德方程332

（2）本征值问题（（a）勒让德多项式 （b）正交性 （c）模　（d）按勒让德多项式广义富里埃级数展开）336

二、勒让德多项式的母函数及递推公式339

（1）母函数339

（2）递推公式340

（3）勒让德多项式在解数学物理方程问题中的应用342

（1）缔合勒让德函数344

三、缔合勒让德函数与球函数344

（2）按球函数展开345

四、贝塞耳方程及其本征值问题347

（1）贝塞耳方程347

（2）本征值问题（（a）问题的提出 （b）正交性　（c）模　（d）按贝塞耳函数广义富里埃级数展开）348

五、贝塞耳函数的母函数与递推公式353

（1）母函数353

（2）贝塞耳函数的积分形式353

（3）递推公式354

六、虚宗量贝塞耳函数与球贝塞耳函数356

（1）虚宗量贝塞耳函数356

（2）球贝塞耳函数359

（1）线性变换362

第十五讲　矢量空间的线性变换与二次型362

一、矢量空间的线性变换362

（2）解析表达式364

（3）性质365

二、线性变换的特征根理论366

（1）线性变换的化简366

（2）在解微分方程组中的应用374

三、内积空间376

（1）几个特殊的矢量空间（（a）线性赋范空间 （b）内积空间　（c）酉空间 （d）欧几里德空间）376

（2）酉空间与欧几里德378

空间的性质378

（3）酉变换与正交变换（（a）定义 （b）酉方阵（实对称阵）的对角化）382

四、实二次型的化简384