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第一章 极限1

第一节 极限概念及有关定理1

一、极限定义1

二、极限运算法则2

三、极限存在准则3

四、保号定理3

五、两个重要极限4

六、无穷小量的比较及等价无穷小代换定理4

七、罗必塔法则5

第二节 二元函数的极限6

一、二重极限6

二、累次极限6

三、二重极限与累次极限的关系6

第三节 例题7

一、用极限定义求极限7

二、利用极限的基本性质和运算法则求极限9

三、连续函数求极限14

四、用极限存在准则证明极限存在或求极限14

五、用两个重要极限求极限16

六、利用等价无穷小代换求极限19

七、利用罗必塔法则求极限22

八、用函数极限与数列极限的关系求极限或证明极限不存在27

九、用左右极限与双边极限的关系求极限28

十、用泰勒公式求极限29

十一、用微分或积分求极限30

十二、杂例31

习题一35

习题一解答41

第二章 连续函数65

第一节 一元函数的连续性65

一、连续函数的定义65

二、函数的间断点65

三、函数的一致连续性66

四、连续函数的运算性质66

五、闭区间上连续函数的性质66

第二节 二元函数的连续性67

一、连续函数的定义67

二、函数的一致连续性67

三、连续函数的运算性质68

四、有界闭区域上连续函数的性质68

第三节 例题68

习题二74

习题二解答76

第三章 导数与微分81

第一节 一元函数微分法81

一、导数与微分概念81

二、导数与微分的计算82

第二节 多元函数微分法85

一、偏导数与全微分概念85

二、多元复合函数求导法则（链锁法则）87

三、隐函数微分法88

第三节 例题88

一、一元函数微分法88

二、多元函数微分法101

习题三114

习题三解答117

第四章 中值定理与泰勒公式130

第一节 微分中值定理130

一、费尔马（Fermat）定理130

二、罗尔（Rolle）定理130

三、拉格朗日（Lagrange）定理130

四、柯西（Cauchy）定理131

第二节 泰勒（Taylor）公式131

一、皮亚诺（Peano）型余项的泰勒公式131

二、拉格朗日型余项的泰勒公式131

三、麦克劳林（Maclaurin）公式131

第三节 积分中值定理133

第四节 例题133

习题四149

习题四解答152

第五章 不等式的证明164

第一节 利用数学归纳法164

第二节 利用中值定理167

第三节 利用函数的单调性169

第四节 利用函数的极值171

第五节 一些含有积分的不等式174

第六节 杂例180

习题五184

习题五解答187

第六章 极值与最大最小值203

第一节 一元函数情形203

一、函数的增减性203

二、函数的极大值与极小值203

三、函数的最大值与最小值204

四、函数的凸性及曲线的拐点204

第二节 多元函数情形206

一、二元函数的极大值与极小值206

二、偏导数的几何应用207

第三节 例题209

一、一元函数情形209

二、多元函数情形224

习题六236

习题六解答238

第七章 不定积分256

第一节 不定积分的概念与性质256

一、定义256

二、性质256

第二节 基本计算方法257

一、换元法257

二、分部法257

第三节 特殊类型函数的积分法257

一、有理函数的积分法257

二、三角有理函数的积分法258

三、简单无理函数的积分法258

第四节 例题259

习题七272

习题七解答273

第八章 定积分283

第一节 定积分定义与性质283

一、定义283

二、性质284

第二节 积分中值定理284

一、积分第一中值定理284

二、积分第二中值定理285

第三节 定积分的计算法285

一、牛顿-莱布尼兹公式285

二、换元法与分部法286

第四节 常用定理286

第五节 广义积分287

一、第一类广义积分287

二、第二类广义积分287

三、广义积分的极限审敛法288

第六节 例题289

一、定积分部分289

二、广义积分部分301

三、应用及其它306

习题八312

习题八解答315

第九章 重积分329

第一节 二重积分329

一、概念及性质329

二、计算方法330

三、二重积分的应用333

第二节 三重积分334

一、三重积分的计算方法335

二、三重积分的应用337

第三节 例题338

一、二重积分部分338

二、三重积分部分350

习题九357

习题九解答360

第十章 曲线积分与曲面积分375

第一节 曲线积分375

一、曲线积分概念及计算公式375

二、曲线积分的性质377

第二节 基本定理377

一、格林定理377

二、曲线积分与路径无关的等价条件378

第三节 曲面积分379

一、对面积（或第一型）的曲面积分379

二、对坐标（或第二型）的曲面积分380

第四节 基本公式381

一、高斯（Gauss）公式381

二、斯托克斯（Stokes）公式382

第五节 例题382

一、曲线积分部分382

二、曲面积分部分394

习题十405

习题十解答409

第十一章 无穷级数426

第一节 数项级数426

一、概念及性质426

二、正项级数判敛法427

三、任意项级数判敛法428

第二节 函数项级数428

一、基本概念428

二、一致收敛判别法429

三、关于一致收敛级数的性质430

第三节 幂级数431

一、基本概念431

二、收敛半径和收敛域的求法431

三、幂级数的性质432

四、关于函数的幂级数展开433

第四节 级数求和法435

一、直接求和法435

二、构造幂级数法435

三、其他方法435

第五节 傅立叶（Fourier）级数435

一、基本概念435

二、收敛定理——狄里赫勒充分条件436

三、傅立叶级数的性质436

四、周期函数和非周期函数展开成傅立叶级数437

五、复形式的傅立叶级数440

第六节 例题440

习题十一464

习题十一解答467

第十二章 常微分方程488

第一节 常微分方程基本概念488

一、常微分方程488

二、线性微分方程488

三、常微分方程的解488

第二节 一阶微分方程及其解法489

一、一阶可分离变量方程及一阶齐次方程489

二、一阶线性方程及伯努利（Bernoulli）方程491

三、全微分方程及积分因子492

第三节 高阶可积型微分方程及其解法494

一、类型及解法494

第四节 变系数线性微分方程及其解法495

一、二阶变系数线性齐次方程解法495

二、二阶变系数线性非齐次方程解法495

第五节 常系数线性微分方程及其解法496

一、二阶常系数线性齐次方程解法（特征根法）496

二、二阶常系数线性非齐次方程解法（待定系数法及算子法）497

三、欧拉（Euler）方程解法502

第六节 例题503

一、常微分方程基本概念503

二、一阶微分方程解法505

三、高阶可积型微分方程解法511

四、变系数线性微分方程解法515

五、常系数线性微分方程解法517

六、微分方程应用题举例521

习题十二527

习题十二解答529

参考文献548