《数学分析 上册》

上册1

序1

绪论1

第一篇极限论9

第一章变量与函数9

习题28

第二章极限33

1 极限的概念33

2 数列极限的性质和运算48

3 关于数列的几个基本定理60

4 函数极限76

5 连续函数96

6 闭区间连续函数的性质108

7 多元（二元）函数的极限与连续119

8 无穷小量、无穷大量的阶的比较130

习题132

附录 实数的理论146

第二篇微分学160

第一章导数与微分160

1 导数的引进与定义160

2 简单函数的导数164

3 求导法则166

4 不可导的函数举例175

5 微分178

6 高阶导数与高阶微分182

习题188

第二章微分学的基本定理196

1 中值定理196

2 洛必达法则202

3 泰勒公式210

习题214

第三章导数的应用，函数作图218

1 函数的上升、下降与极值218

2 一元函数作图法228

习题242

第四章多元函数的微分学245

1 偏导数与全微分245

2 二元函数的泰勒公式263

3 二元函数的极值265

习题271

第五章隐函数存在定理，函数相关276

习题297

第六章限制极值（条件极值）302

习题311

第七章微分学在几何上的一些应用313

1 平面曲线的切线和法线313

2 平面曲线的弧长微分、曲率和曲率半径314

3 空间曲线的切线和法平面317

4 曲面的切平面与法线320

习题323

下册326

第三篇积分学326

第一章不定积分326

1 不定积分与它的简单计算方法326

2 不定积分的计算330

习题353

第二章定积分概念358

1 定积分问题的提出及定积分的定义358

2 积分存在的充分必要条件362

3 可积函数类370

4 可积函数的性质373

5 定积分的计算378

6 椭圆积分388

习题392

第三章定积分的应用和定积分的近似计算396

1 曲线的弧长396

2 平面图形的面积404

3 体积411

4 旋转体的侧面积415

5 重心418

6 定积分的近似计算422

习题427

第四章含参变量的积分431

习题437

第五章各种不同形式积分（二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分）的定义及性质439

1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念439

2 积分存在的充要条件444

3 各种积分的性质447

习题449

第六章各种积分的计算及应用451

1 二重积分的计算451

2 三重积分的计算475

3 第一类曲线积分的计算490

4 第一类曲面积分的计算493

5 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分在物理上的应用500

6 第二类曲线积分及第二类曲面积分507

习题538

第七章各种积分间的联系和场论545

1 格林公式545

2 奥斯特洛格拉德斯基公式549

3 斯托克司公式553

4 曲线积分和道路的无关性557

5 场论564

习题578

第四篇无穷级数和广义积分584

第一章数项级数584

1 预备知识 上限和下限584

2 级数的收敛性及其基本性质588

3 正项级数594

4 任意项级数的收敛判别法602

5 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质611

6 无穷乘积619

习题625

第二章函数项级数629

1 函数序列和函数项级数的收敛和一致收敛629

2 一致收敛级数的性质638

3 一致收敛级数的判别法643

习题649

第三章幂级数652

1 幂级数的收敛半径和它的性质652

2 函数的幂级数展开式657

3 幂级数在近似计算中的应用664

习题666

第四章广义积分669

1 无穷限的积分669

2 无穷限积分的收敛性判别法675

3 无界函数的积分681

4 广义重积分687

习题692

第五章含参变量的广义积分696

1 含参变量广义积分的一致收敛性696

2 一致收敛积分的性质701

3 例题707

4 欧拉积分〔Beta函数B（p，q）与Gamma函数T（s）〕711

习题718

第六章富里埃级数721

1 三角级数和富里埃级数721

2 一般正交函数系727

3 狄利克来积分和黎曼引理733

4 富里埃级数的收敛性定理（狄尼判别法及其推论）739

5 狄利克来引理、狄利克来—约当判别法742

6 函数f（x）的富里埃级数展开746

7 富里埃级数的逐项积分与逐项微分753

8 平方平均迫近757

9 算术平均求和概念与费埃尔定理761

10 三角函数系的封闭性767

11 富里埃积分769

习题780