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第一章实数、函数与极限1

第一节实数略说1

1.1.1 有理数之特性1

1.1.2 实数之连续性3

1.1.3 实数之表达形式5

第二节函数概念6

1.2.1 函数之定义6

1.2.2 函数之图示8

1.2.3 逆函数13

第三节初等函数略论14

1.3.1 有理函数14

1.3.2 代数函数15

1.3.3 三角函数16

1.3.4 指数与对数函数17

第四节数序之极限18

1.4.1 数序18

1.4.2 极限举例21

1.4.3 极限之定义27

1.4.4 Cauchy审敛法29

1.4.5 独行数序之收敛条件30

1.4.6 极限之运算30

1.4.7 e与π32

第五节连续变数之极限35

1.5.1 再论极限之定义35

1.5.2 举例36

第六节函数之连续性38

1.6.1 连续性之定义38

1.6.2 间断点40

1.6.3 关於连续函数之定理42

第一章附录44

第一节聚点原则及其应用45

A1.1.1 聚点原则45

A1.1.2 聚点与极限46

A1.1.3 Cauchy审敛法之证明47

A1.1.4 有涯独行数序之收敛性47

A1.1.5 最大与最小聚点；数集之上下涯48

第二节关於连续函数之定理50

A1.2.1 连续函数之最大与最小值50

A1.2.2 均匀连续性51

A1.2.3 介值定理52

A1.2.4 独行连续函数之逆函数53

A1.2.5 其他定理54

第三节 再论初级函数54

第二章微积分学之基本概念与定理58

第一节定积分58

2.1.1 面积问题58

2.1.2 定积分之定义59

2.1.3 举例61

第二节导数66

2.2.1 导数与切线66

2.2.2 导数与速度69

2.2.3 求导数举例70

2.2.4 函数之可导性与连续性71

2.2.5 高重导数及其意义73

2.2.6 导数之中值定理74

2.2.7 何谓微分77

第三节不定积分之定义；微积分学之基本定理79

2.3.1 何谓不定积分79

2.3.2 不定积分之导数80

2.3.3 原函数、不定积分之普遍定义82

2.3.4 定积分之计算85

2.3.5 举例86

第四节 绘图求积分之法87

第五节 再论积分与导数之关系89

第六节积分估值法91

2.6.1 积分之中值定理91

2.6.2 中值定理之应用92

第二章附录95

第一节定积分之存在定理95

第二节 积分中值定理与导数中值定理之关系96

第三章初等函数之微积分学98

第一节求导数之法98

3.1.1 简法四则98

3.1.2 有理函数之导数100

3.1.3 三角函数之导数100

第二节不定积分之简单求法101

3.2.1 与导数公式相对峙之积分公式101

3.2.2 最简单函数之积分101

第三节逆函数及其导数103

3.3.1 逆函数之导数103

3.3.2 幂函数之逆函数105

3.3.3 三角函数之逆函数106

第四节叠函数之导数109

3.4.1 链导法109

3.4.2 举例111

3.4.3 再论xa之积分及导数112

第五节对数函数及其逆函数113

3.5.1 对数函数之定义及其特性113

3.5.2 对数函数之逆函数、指数函数116

3.5.3 普遍指数函数az及幂函数xa117

3.5.4 指数函数之另一形式118

3.5.5 指数函数之应用120

第六节双曲函数及其逆函数125

3.6.1 双曲函数之定义及其特性125

3.6.2 双曲函数之逆函数127

3.6.3 论双曲函数与三角函数之相似128

第七节函数之数量级130

3.7.1 何谓数量级130

3.7.2 指数及对数函数之数量级131

3.7.3 函数在任何一点邻近之数量级133

3.7.4 函数趋零之数量级133

第三章附录135

第一节特殊函数举例135

第二节 再论函数之可导性137

第三节求导数法杂论138

A3.3.1 二项式定理之证明138

A3.3.2 高重导数之公式139

A3.3.3 再论链导法之应用139

第四章积分学理之研讨141

第一节 最初浅之积分141

第二节变数交替法之讨论及其应用143

4.2.1 交替公式143

4.2.2 交替公式之另一证明146

4.2.3 举例148

第三节分部积分法151

4.3.1 分部积分之公式151

4.3.2 举例152

4.3.3 递演公式153

4.3.4 关於π之Wallis公式154

第四节有理函数之积分156

4.4.1 有理函数之基本式157

4.4.2 基本式之积分157

4.4.3 有理函数之分解158

第五节函数之有理化162

4.5.1 三角及双曲函数之有理化162

4.5.2 再论交替法166

第六节不能用初等函数表达之积分167

4.6.1 以积分作函数之定义167

4.6.2 总论求积分与求导数169

第七节积分概念之旁推170

4.7.1 函数之有间断点者170

4.7.2 积分变程为无限者172

4.7.3 T函数173

4.7.4 Dirichlet与Fresnel积分174

第四章附录177

积分之第二中值定理177

第五章微积分学之应用179

第一节莫大与莫小值问题179

5.1.1 审莫大及莫小值之法179

5.1.2 举例183

第二节论曲线之方程式187

5.2.1 圆坐标之应用187

5.2.2 参变数方程式188

5.2.3 论曲线之导数191

5.2.4 论曲线之几何性质194

第三节平面曲线略论196

5.3.1 论面积之正负196

5.3.2 面积之普遍公式198

5.3.3 曲线之弧长201

5.3.4 曲线之曲率205

5.3.5 质量中心与曲线矩207

5.3.6 转成面之面积与体积208

5.3.7 转动惯量209

5.3.8 举例210

第四节力学中最简单之问题214

5.4.1 力学中之基本假设214

5.4.2 举例215

5.4.3 功量概念之应用223

第五章附录226

法包线之性质226

第六章函数之展开230

第一节 近似表达法举例230

第二节Taylor定理233

6.2.1 关於整有理函数之Taylor公式233

6.2.2 关於任何函数之Taylor公式234

6.2.3 余项之估计235

第三节初等函数之展开237

6.3.1 指数函数之展开237

6.3.2 sinx，cosx，sinhx，coshx之展开238

6.3.3 二项式级数239

第四节Taylor定理在几何学中之应用241

6.4.1 曲线之接触241

6.4.2 再论曲线之曲率圆243

6.4.3 再论莫大与莫小值问题244

第六章附录245

第一节函数之不能展开者245

第二节 e为无理数之证明245

第三节 二项式级数收敛之证明246

第四节 函数之零点与无限点，所谓不定式247

第五节 插值公式及其与Taylor公式之关系250

第七章近似算法略论254

第一节积分之近似算法254

7.1.1 矩形替代法254

7.1.2 梯形替代法255

7.1.3 Simpson法255

7.1.4 举例256

7.1.5 误差之估计258

第二节中值定理及Taylor定理之应用259

7.2.1 误差问题259

7.2.2 π之计算262

7.2.3 对数之计算263

第三节求方程式之近似根264

7.3.1 Newton法264

7.3.2 佯设法265

7.3.3 叠代法266

7.3.4 举例268

第七章附录269

Stirling公式269

第八章无尽级数纲要273

第一节基本概念273

8.1.1 收敛与发散273

8.1.2 绝对收敛与相对收敛275

8.1.3 级数项之易位278

8.1.4 无尽级数之运算280

第二节绝对收敛之充分条件281

8.2.1 比较检验法281

8.2.2 与几何级数相比较282

8.2.3 与定积分相比较284

第三节函数组成之级数286

8.3.1 论函数序与曲线族之极限286

8.3.2 匀敛性288

8.3.3 匀敛之条件292

8.3.4 匀敛级数之特性293

8.3.5 无尽级数之导数问题295

第四节幂级数297

8.4.1 幂级数之收敛性298

8.4.2 幂级数之积分与导数299

8.4.3 幂级数之运算300

8.4.4 用幂级数表达之唯一性301

第五节 再论函数之展开302

第六节复变数函数理论一瞥306

8.6.1 复数略说306

8.6.2 幂级数之由复数组成者308

8.6.3 关於复幂级数之一定理309

第八章附录311

第一节级数之相乘相除311

A8.1.1 绝对收敛级数之相乘311

A8.1.2 幂级数之相乘相除312

第二节关於指数函数之极限313

A8.2.1 （1＋？）n→eχ之匀敛性313

A8.2.2 ？＝？之证明314

第三节 无尽级数与旁义积分315

第四节 无尽乘积316

第五节无尽级数举例318

A8.5.1 函数展开举例318

A8.5.2 级数中有Bernoulli数出现者320

第九章Fourier级数浅论323

第一节论周期函数323

9.1.1 周期函数之特性323

9.1.2 谐皆振动之重叠326

第二节利用复数以表达振动之重叠329

9.2.1 复数之应用329

9.2.2 用复数以表达振动之重叠331

9.2.3 一连加公式之推演332

第三节函数展开为Fourier级数之问题333

9.3.1 Fourier系数333

9.3.2 Fourier级数举例334

第四节Fourier级数之收敛性340

9.4.1 所表函数按段光滑者340

9.4.2 Fourier级数收敛性之研讨344

第九章附录347

Fourier级数之积分347

第十章关於波动现象之微分方程式349

第一节物理学中之振动现象349

10.1.1 力学中最简单之振动349

10.1.2 电振动350

第二节论自由振动351

10.2.1 齐性微分方程式之解351

10.2.2 开始条件之适应353

第三节论强迫振动354

10.3.1 齐性与不齐性微分方程式之关系354

10.3.2 不齐性微分方程式之解355

10.3.3 表达共振现象之曲线356

10.3.4 强迫振动之特性358

10.3.5 记录仪器之裂造问题略论360

定理及公式撮要362

杂题379

答案及提示400

第一章立体解析几何学及矢量解析中之重要概念437

第一节垂直坐标及矢量437

1.1.1 垂直坐标系437

1.1.2 矢量438

1.1.3 矢量之标积441

1.1.4 直线与平面之方程式442

第二节矢量之矢积447

1.2.1 三角形之面积447

1.2.2 两矢量之矢积448

1.2.3 四面体之体积450

第三节行列式之简单定理及应用452

1.3.1 行列式之简单性质452

1.3.2 行列式之应用于联立一次方程式454

第四节论仿射转换及行列式之乘法457

1.4.1 空间或平面之仿射转换457

1.4.2 仿射转换之叠合与分解460

1.4.3 行列式之乘法462

第二章两个以上自变数之函数及其导数467

第一节 函数之概念467

2.1.1 函数及其自变数之变区467

2.1.2 最简单函数举例469

2.1.3 函数之标绘470

第二节函数之连续性472

2.2.1 连续性之定义472

2.2.2 极限473

2.2.3 函数趋零之数量级475

第三节偏导数477

2.3.1 偏导数之定义477

2.3.2 函数之连续性与偏导数之存在480

2.3.3 求偏导数之程序481

第四节全微分及其几何意义484

2.4.1 论可导性484

2.4.2 沿某方向求导数486

2.4.3 求导数在几何学上之意义487

2.4.4 函数之全微分489

2.4.5 应用於误差之估值491

第五节叠函数及新自变数之输入491

2.5.1 链导法491

2.5.2 举例494

2.5.3 自变数之更换495

第六节中值定理与Taylor定理497

2.6.1 中值定理497

2.6.2 Taylor定理498

第七节矢量方法之应用500

2.7.1 矢量场与矢量族500

2.7.2 矢量在曲线理论中之应用502

2.7.3 标量之？度504

2.7.4 矢量场之散度与旋量507

第二章附录509

第一节聚点原则及其应用509

A2 1.1 聚点原则510

A2.1.2 点集理论中几种重要概念510

A2.1.3 Heinc-Borel之掩蔽定理513

第二节再论极限概念514

A2.2.1 重数序及其极限514

A2.2.2 连续变数之极限517

A2.2.3 独行函数序之歛性518

第三节 齐性函数519

第三章微分学之发展及其应用522

第一节隐函数之理论522

3.1.1 引论522

3.1.2 问题在几何意义上之阐明522

3.1.3 隐函数定理524

3.1.4 隐函数定理推广於两个以上之自变数527

3.1.5 隐函数定理之证明528

第二节曲线及曲面之出现於隐函数形式者531

3.2.1 平面中曲线之出现於隐函数形式者531

3.2.2 曲线之奇点534

3.2.3 曲面之出现於隐函数形式者536

第三节函数组转换式及摄影539

3.3.1 总论539

3.3.2 曲线坐标之应用543

3.3.3 推广於两个以上之自变数544

3.3.4 逆函数之导数547

3.3.5 摄影或辅换之分解与叠合549

3.3.6 关於逆转换之普遍定理553

3.3.7 论函数之相倚554

3.3.8 理论之推广556

第四节理论之应用559

3.4.1 曲面理论中之应用559

3.4.2 转换之保角性564

第五节曲线族、曲面族及其包线或包面566

3.5.1 曲线族及曲面族566

3.5.2 单参变曲线族之包线568

3.5.3 包线举例570

3.5.4 曲面族之包面575

第六节莫大与莫小值问题578

3.6.1 莫大及莫小值之必要条件578

3.6.2 举例581

3.6.3 附有条件之莫大与莫小值问题582

3.6.4 Lagrange方法之证明585

3.6.5 Lagrange方法之扩张587

3.6.6 举例591

第三章附录595

第一节莫大及莫小值之充分条件595

第二节 平面曲线之奇点599

第三节 曲面之奇点601

第四节 描写流体运动之两种方法602

第五节 回合曲线之切线表达法603

第四章重积分605

第一节含辅变数之定积分605

4.1.1 举例605

4.1.2 在积分符号下求导数606

第二节连续函数之重积分611

4.2.1 两重积分之几何意义611

4.2.2 重积分之解析定义612

4.2.3 举例615

4.2.4 积分之估值与中值定理616

4.2.5 三个以上自变数之积分619

4.2.6 积分与微分之关系，总量与比量620

第三节重积分迈步归於简积分621

4.3.1 积分之变区为一长方形者621

4.3.2 积分次序之互易；在积分符号下求导数624

4.3.3 所得结果扩充於较普遍之变区626

4.3.4 所得结果更扩充於多维变区630

第四节重积分之转换631

4.4.1 应用极坐标632

4.4.2 两重积分之转换式633

4.4.3 多维空间中之转换式637

第五节积分概念之旁推639

4.5.1 函数作有尽次跳跃者639

4.5.2 函数在间断点无极限可趋者640

4.5.3 函数之间断点沿线皆是者643

4.5.4 积分变区展至无穷远者643

4.5.5 旁义积分总论645

第六节几何学中之应用646

4.6.1 体积之计算646

4.6.2 体积问题之普遍讨论648

4.6.3 曲面之面积649

第七节物理学中之应用656

4.7.1 矩与质量中心656

4.7.2 转动惯量658

4.7.3 复摆660

4.7.4 吸引质量之势函数662

第四章附录665

第一节重积分之存在定理665

A4.1.1 变区之内涵及多维变区665

A4.1.2 关於光滑线段之一定理668

A4.1.3 重积分之存在证明670

第二节多维空间中之体积与面积671

A4.2.1 重积分之分解671

A4.2.2 多维空间中曲面之面积673

A4.2.3 n维空间中球面之面积与体积674

A4.2.4 所得结果之推广675

第三节旁义积分之含辅变数者678

A4.3.1 匀歛之旁义积分678

A4.3.2 旁义积分对所含辅变数求积与求导680

A4.3.3 举例683

A4.3.4 Fresnel之积分686

第四节论Fourier积分688

A4.4.1 以旁义积分表达函数688

A4.4.2 Fourier积分定理之证明690

第五节论Г函数692

A4.5.1 Г函数定义及其方程式692

A4.5.2 凸函数之特性及Bohr定理之证明694

A4.5.3 Г函数之无尽乘积698

A4.5.4 论logГ（x）及其导数701

A4.5.5 Г（x）之延拓702

A4.5.6 论Beta函数703

第六节 Abel之积分方程式706

第七节 论曲面之面积定义708

第五章线积分与面积分710

第一节线积分710

5.1.1 定义710

5.1.2 由力学观点论线积分714

5.1.3 全微分之求积715

5.1.4 线积分之基本定理716

5.1.5 单连区域之重要性722

第二节平面中线积分与重积分之关系Gauss定理723

5.2.1 Gauss定理之证明723

5.2.2 Gauss定理之矢量形式，Stokes定理726

5.2.3 Green 公式，再论Jacobian之意义728

第三节Gauss定理之阐明及其应用730

5.3.1 由物理学观点论Gauss定理730

5.3.2 由物理学观点论Stokes定理732

5.3.3 重积分之转换式734

第四节面积分735

5.4.1 变区之向旨735

5.4.2 就一曲面施展之积分740

5.4.3 面积分由物理学观点说明之743

第五节空间中之积分定理及等式743

5.5.1 Gauss定理及其在物理学上之解释743

5.5.2 Green等式748

5.5.3 空间力与曲面力748

第六节空间中之Stokes定理750

5.6.1 Stokes定理之证明750

5.6.2 再由物理学观点论Stokes定理753

第七节 就两个以上自变数再论积分与微分之关系754

第五章附录758

第一节再论Gauss及Stokes定理758

第二节 无源矢量场由旋最表达之760

第六章微分方程式略论763

第一节力学中之微分方程式763

6.1.1 质点之运动方程式763

6.1.2 能量不减原则765

6.1.3 论平衡状态766

6.1.4 平衡点旁之轻微振动768

6.1.5 行星绕日运动问题770

第二节线性微分方程式引论775

6.2.1 最简单之线性微分方程式；常数变易法775

6.2.2 变数分途法777

6.2.3 边值问题举例779

第三节线性微分方程式理论述要782

6.3.1 叠合原则782

6.3.2 二重微分方程式786

6.3.3 不齐微分方程式；常数变易法788

6.3.4 再论强迫振动791

第四节就最简单情形讨论微分方程式之基本问题793

6.4.1 初重微分方程式及其几何意义793

6.4.2 曲线族之微分方程式795

6.4.3 求全因子797

6.4.4 解之存在与唯一799

6.4.5 联立微分方程式之高重微分方程式803

6.4.6 用系数待定法求解微分方程式803

第五节吸力场之势函数808

6.5.1 质量分布之势函数808

6.5.2 势函数之微分方程式810

6.5.3 双层均匀分布811

6.5.4 势函数之中值定理813

6.5.5 以圆为变区讨论Laplace方程式之边值问题；Poisson之积分815

第六节波动之微分方程式817

6.6.1 单维波之传播817

6.6.2 空间波之传播819

6.6.3 Maxwell电学方程式820

第七章复函数之微积分学825

第一节复函数之可导性825

7.1.1 Cauchy-Riemann之微分方程式825

7.1.2 保角摄影；解析函数之逆函数828

第二节解析函数之积分830

7.2.1 积分定义830

7.2.2 Cauchy之基本定理831

7.2.3 对数函数及指数函数833

第三节解析函数展开为幂级数836

7.3.1 Cauchy公式836

7.3.2 解析函数之展开838

7.3.3 Cauchy定理之逆定理840

7.3.4 解析函数与势函数841

第四节解析函数之异点842

7.4.1 零点与孤异点842

7.4.2 复径求积法845

7.4.3 剩余定理与线性微分方程式850

第五节 回顾与前瞻852

定理及公式撮要855

杂题871

答案及提示883