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第一篇预备知识1

第一章 分形理论1

1.1 欧氏空间与非欧空间1

1.2 测度理论初步3

1.3 勒贝格（Lebesque）测度7

1.4 豪斯道夫测度与维数9

1.5 分形的定义12

1.6 分形维数的物理意义15

第二章 可求长曲线问题23

2.1 有界变差函数23

2.2 可求长曲线31

2.3 γ-函数的性质34

第三章 整数阶微积分43

3.1 整数阶导数的定义43

3.2 积分是微分的逆运算44

3.3 微分与积分的经典定义47

3.4 混合导数的运算法则49

3.5 重积分关于下限的相关性52

3.6 积的重积分的运算法则53

3.7 复合函数的求导法则55

3.8 重积分56

3.9 无穷级数的微分与积分57

3.10 幂函数的微分与积分58

3.11 超几何函数的微分与积分59

第二篇分数阶微积分63

第四章 欧氏测度下的分数阶微积分63

4.1 基本概念63

4.2 简单函数的分数阶微积分72

4.3 分数阶微积分的性质78

4.4 复杂函数的微积分99

4.5 小结119

5.1 定义122

第五章 半导数与半积分122

5.2 一般性质124

5.3 常数与幂函数126

5.4 二项式函数128

5.5 指数函数与相关函数130

5.6 三角函数与双曲三角函数132

5.7 贝塞尔函数与Struve函数136

5.8 广义超几何函数138

5.9 复杂函数140

第六章 分数阶常微分方程141

6.1 拉普拉斯变换141

6.2 数值微积分144

6.3 作为超几何函数的超越函数156

6.4 K＞L的超几何函数159

6.5 复杂超几何函数的降阶160

6.6 基本的超几何函数162

6.7 K=L超越函数的生成166

6.8 K=L—1超越函数的生成168

6.9 K=L—2超越函数的生成170

6.10 特殊的常微分方程174

6.11 半微分方程176

6.12 级数解179

第七章 分数阶偏微分方程181

7.1 基本概念181

7.2 齐次边界条件的发展型方程182

7.3 非线性输运方程187

7.4 运动边界发展方程191

7.5 分数阶波动型方程198

第八章 豪斯道夫测度下的微积分203

8.1 问题的提出203

8.2 基本概念203

8.3 基本性质206

8.4 H—导数的定义207

8.5 H—导数的性质209

8.6 一些函数的H—导数212

第三篇分形动力学215

第九章 复杂系统与复杂性215

9.1 引言215

9.2 分形动力学的研究内容216

9.3 维数、信息和熵219

9.4 分形动力学解的充分性判据221

9.5 产生分形结构的物理机制222

9.6 宏观不可逆性225

9.7 分形动力学与演化物理226

第十章 分形生长动力学227

10.1 分形生长静力学227

10.2 运动边界的物理本质229

10.3 分形生长动力学的线性模型235

10.4 线性模型的求解238

10.5 分形生长动力学的非线性模型241

10.6 有生长中心的分形生长动力学247

10.7 关于生长半径问题252

10.8 用随机微分方程描述的分形生长动力学253

第十一章 随机分形动力学256

11.1 问题的提出256

11.2 稳定分布问题257

11.3 分数布朗运动267

11.4 长时相干效应与反常扩散271

11.5 连续时间无规行走与反常输运278

11.6 时空扰动作用下的随机分形283

第十二章 演化动力学的决定论方法288

12.1 问题的提出288

12.2 演化过程的物理基础290

12.3 确定性动力学过程的演化动力学方程291

12.4 质量平衡方程295

12.5 化学反应与扩散耦合系统的演化动力学298

12.6 具有多种过程系统的热效应300

12.7 重力场中的反应扩散方程302

第十三章 系统的稳定性304

13.1 问题的提出304

13.2 轨道与结构稳定性307

13.3 稳定性理论310

13.4 突变理论313

13.5 含有两个变量的系统320

13.6 反应—扩散系统的稳定性328

13.7 非平衡线性热力学的稳定性333

13.8 非平衡态热力学的稳定性337

第十四章 在材料科学中的应用342

14.1 问题的提出342

第四篇分形动力学的应用342

14.2 介面生长动力学343

14.3 裂纹的扩展问题347

14.4 凝固问题353

第十五章 在各种演化问题中的应用357

15.1 问题的提出357

15.2 化学中的Rossler反应358

15.3 Lorenz模型361

15.4 形态生长模型364

15.5 位错密度的演化动力学368

第十六章 分形动力学的描述方法374

16.1 问题的提出374

16.2 欧氏测度下的分数阶微积分375

16.3 豪斯道夫测度下的微积分381

16.4 标度对称性与动力学重整化群383

16.5 讨论384

参考文献386